巧用平面几何性质 妙解解析几何问题

李秋阳

(江苏省包场高级中学,226151)

直线与圆是解析几何中最基本的内容,直线和圆的性质以及直线与圆的位置关系十分重要,在高考中常以填空题的形式考查．利用性质解题可以简化运算,被称为“优美解法”．在教学中应注意将几何性质渗透到课堂教学的过程中,让学生体会利用性质解题的优越性．笔者在平时的教学中发现圆的一个性质经常在不同的题型中出现,本文就这个性质的应用作一个简单阐述．

性质从圆C外一点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则

(1)两条切线长相等且∆PAC,∆PBC全等；

(2)P,C,A,B四点共圆且以PC为直径；

(3)两切点所在的直线方程即为两圆的公共弦所在的直线方程．

一、利用性质解决最值或范围问题

例1已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.

变式设C上存在点P,过点P向圆C1:x2+y2-2y-4=0作两条切线PA,PB,切点为A,B,四边形PAC1B的面积为10,求实数m的取值范围.

评注例题和变式都是利用圆心、圆外的点和切点构成的三角形面积相等的性质来操作的,再使用数形结合,转化与化归的思想处理就轻而易举了．这个性质可以拓展延伸:“过圆x2+y2=r2外一点P(m,n)引圆的两条切线,切点为A,B,探究SΔPAB的值与定点和半径的关系”．

二、利用性质解决定点问题

例2在平面直角坐标系xOy中,已知圆P的方程为x2+y2=4,过直线y=x-4上一点Q,作圆P的两条切线,切点分别为A,B,证明直线AB恒过定点,并求出定点坐标．

变式已知圆C:x2+(y-4)2=1,直线l:2x-y=0,点P在直线l上,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别为A,B.求证:经过A,P,C三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标．

评注这两道题目是利用两切点的直线即为公共弦以及两切点、圆外的点、圆心四点共圆的性质来解决恒过定点问题的．这个性质还可以拓展延伸为:“已知圆的方程是x2+y2=r2,点P(m,n)是圆外一点，探究过点P的圆的切线与两切点的直线方程的关系”．

三、利用性质解决实际问题

例3如图1,阴影部分为古建筑物保护群所在地,其形状是以O1为圆心、半径为1 km的半圆面,公路l经过点O,且与直径OA垂直,现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上,点Q在公路l上),T为切点．

(1)按下列要求建立函数关系:① 设∠OPQ=a(rad),将∆OPQ的面积S表示为α的函数;② 设OQ=t(km),将∆OPQ面积S表示为t的函数;

(2)请您选用(1)中的一个函数关系,求∆OPQ的面积S的最小值．

评注这道题目已知条件提供两种方法,设角和设边建立函数关系式．在设角的思路中,题目已经规定好设∠OPQ.本题解法是从隐含的几何性质出发,再寻求一种设角的方案,思路也比较清晰,操作简单．同时还可以拓展延伸:“四边形OBCD是边长为3的正方形,P在边BC上,Q在边OD上，如何求四边形OBPQ面积的最小值?”其中有关作切线的问题应用比较广泛,不仅体现解析几何的计算优势,而且还可以体现数学思想．

例4平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0,若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作圆的两条切线互相垂直,求实数k的取值范围．

解 圆C的方程为x2+y2-4x=0,故圆心为C(2,0),半径为R=2.设两个切点分别为A,B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有可得点P的轨迹为(x-2)2+y2=8.又点P在直线上,即转化为直线和圆有公共点,所以圆心到直线的距离小于等于由解得