刍议数学解题中的辩证关系

王高明

(江苏省清河中学,223001)

数学题目千变万化,解题方法也多种多样,有时一个方法能解多个题目,有时一个题目能用多种方法来解,有时一种方法只能解一个题目,有时题目类似却不能用同一种方法来解.

其实,如果利用唯物辩证法的观点来审视数学解题,那么不难发现,许多解题方法并不是孤立的,方法之间往往存在着某种联系,甚至存在着某种辩证关系.在解题教学中，如果能正确揭示这些关系,那么对提高学生的数学解题能力无疑将会有很大帮助.本文就一些常见的问题和解法进行探究.

一、特殊与一般

一般包含特殊,特殊反映一般,没有特殊也就没有一般.一般与特殊的关系,既相互区别又相互联系,二者是对立统一关系.解数学题时,有时会从特殊到一般进行推理,有时又会从一般到特殊进行推理.

二、整体与部分

事物是由各个部分构成的,不仅各个部分之间存在着相互联系,而且整体与部分之间也存在着相互联系.整体与部分的关系,既相互区别又相互联系,二者是对立统一关系.在解数学题时,有时可以从整体出发,有时又可以从部分出发.

例3在高三(4)班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.

(1)若4个舞蹈节目排在一起,则有多少种不同的节目安排顺序?

(2)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,则有多少种不同的节目演出顺序?

评析问题(1)的解题思路是先捆后松,相当于先整体后部分;问题(2)的解题思路也是先整体后部分.不过,问题(2)还有另一种思路,即插空.由于不能改变原来节目的相对顺序,可以认为该部分已排好,故只要把后加的节目排好即可.

三、共性与个性

一般对象的性质称为共性,是个别事物之间共同的本质;特殊对象的性质称为个性,是一事物区别于其它事物的特殊性质.共性寓于个性之中,没有个性也就没有共性.共性与个性的关系,既相互区别又相互联系,二者是对立统一关系.解数学题时,既要突出抓事物的共性,但又不能忽视事物的个性.

例4(2021年全国高考题)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )

(A) eb

(C) 0

评析上面的解法是通法,是共性,是解决这类问题的一般思路.但本题是选择题,故还可以考虑个性,考虑特殊方法,可用估算法来求解.若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则点(a,b)应在曲线y=ex的下方,且在x轴的上方,可得0

四、分析与综合

分析，一般是从目标出发,执果索因;综合，一般是从条件出发,由因导果.如果分析是拆解,那么综合就是组装.分析与综合的关系,既相互区别又相互联系,二者是对立统一关系.解数学题时,有时可以用综合法,有时可以用分析法,有时还可以将两者结合起来使用.

评析分析和综合是两种常见的思维方法,对一些较难的题目,往往会先分析后综合.又由于一些学生在使用分析法时,会将执果索因写成由因导果,故提倡用分析法寻找思路,用综合法表述解题过程.

五、运动与静止

物质是运动的,没有不运动的物质,故运动是普遍的、永恒的和无条件的,因而是绝对的.静止是运动的一种特殊形态,静止总是暂时的、有条件的,因而是相对的.运动的绝对性和静止的相对性是对立统一关系.解数学题时,有时会动中取静,以静制动;有时又会静中求变,以变寻静.

评析本题就是让静的问题动起来,在运动变化过程中确定静的状态.不过,也有些题目本身就是动态的,这往往需要在变化中寻找不变的因素,在静态中寻找问题的突破口.

(A) 存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直

(B) 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直

(C) 存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

(D) 对任意位置,三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

思路探求作AH⊥BD,交BD于点H,延长AH至点E,使AH=HE.则∆ABD在翻折过程中,点A的轨迹是一个圆,其在平面BCD上的射影A′始终在线段AE上.故要研究平面的一条斜线与平面内的一条直线是否垂直,只需要研究这条斜线在平面内的射影与这条直线是否垂直.易知选B.这里的线段AE就是不变的因素,就是解题的突破口.

六、分与合

这里的分是指变形方式或分类方式,比如将某个变量或某个部分从关系式中分离出来,或将事物分成几部分.分与合(不分),既相互区别又相互联系,二者是对立统一关系.解数学题时,有时需要分,有时又需要合.

评析所谓分离参数法,一般是指通过等价变形,将参数分离到等式或不等式的一侧来研究.由于研究一个变量要比同时研究两个变量来得简单,故为多数学生所首选.但事物是复杂的,不是所有的含参问题都能用分离参数法来做.如下面的问题:已知函数f(x)=xex-x-ax2.当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.本题宜直接求解:f(x)=x(ex-1-ax),令g(x)=ex-1-ax,则g′(x)=ex-a.若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,而g(0)=0,故当x∈[0,+∞)时,g(x)≥0,即f(x)≥0; 若a>1,则当x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又g(0)=0,故当x∈[0,lna)时,g(x)