由一道习题引发的思考

周建 韩丹娜

在教学中，细心的教师会发现，教材中的很多习题具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.对于此类习题，教师可以将其作为重要的教学资源，在课堂教学中引导学生对其进行深入地探究、挖掘，以便学生掌握同一类题目的通性通法，帮助他们提升学习的效率.本文主要对人教A版选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的一道课后习题进行了探究.

一、对习题及其解法的探究

人教A版选择性必修第二册第99页的第12题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）e>1+x，x≠0;（2）lnx<x<e，x>0.

证明：（1）设f（x）=e-1-x，∴f′（x）=e-1，

∴f′（x）=e-1=0，∴x=0，

∵f′（x）>0，∴x>0，f′（x）<0，∴x<0，

∴函数f（x）在（0，+∞）为单调递增，在（-∞，0）为单调递减，

∴函数在x=0处取得最小值，

∴f（x）>f（0）=0，∴f（x）=e-1-x>0，

即e>1+x.

事实上，这个结论经常出现在很多试题中，不少教师在教学中也将该结论列为常用结论，并要求学生加以记忆.于是，笔者引导学生对该结论的背景和几何意义进行推导和探究.

还可以得到：e≥1+x，x∈R.这就是上述习题的第一个结论.

对于习题的第二个结论，可根据e≥1+x≥x，x∈R，用任意函数f（x）替换x，得到一个通式：e≥1+f（x）≥f（x）.令f（x）=lnx，x>0，即可得到e>lnx，即x>lnx，所以e>x>lnx，（x>0）.

根据e>1+x，x≠0、lnx<x<e，x>0分別画出图1、图2.由图象可知，结论lnx<x<e，x>0的几何意义：直线y=x+1为函数y=e在x=0处的切线.

二、结论的应用

教师可引导学生灵活运用习题中的两个结论来放缩不等式，这样能有效地提升解题的效率.

证明：由题意可知x为函数y=f（x）在（0，+∞）上的零点，

设g（x）=2e-2x-2-x，

则g′（x）=2e-2x-2=2（e-x-1），

由e≥1+x，x∈R，知g′（x）=2e-2x-2=2（e-x-1）>0，

即g（x）=2e-2x-2-x为单调递增函数，

解答本题主要运用了习题中的第一个结论：e≥1+x，x∈R，从而判断出g′（x）>0，这样便可快速判断出函数的单调性.与导数有关的不等式证明题一般难度较大，尤其是在遇到放缩不等式的问题时，学生经常会出现无从下手的情况.在教学中，教师可要求学生对一些常用的结论进行研究，并将其熟记，这样不仅能让他们知其形，还能知其意，在解题时就能做到信手拈来.

例2.已知a，a，a，a成等比数列，且a+a+a+a=ln（a+a+a），若a>1，则（）.

A.a<a，a<aB.a>a，a<a

C.a<a，a>aD.a>a，a>a

解：由a+a+a+a=ln（a+a+a），

因为a>1，所以q<0，

若q≤-1，则a+a+a+a=a（1+q）（1+q）≤0，

所以ln（a+a+a）>0，这与a+a+a+a≤0相矛盾，

所以-1<q<0，所以a-a=a（1-q）>0，a-a=aq（1-q）<0，故答案为B.

该解法中用到了结论e≥1+x，x∈R，便能将已知关系式放缩，从而证明a≤-1.由习题的第一个结论，可得到通式：e≥1+f（x）.对于本题，我们令f（x）=ln（x+1），（x>-1），即可得到不等式：e>1+ln（x+1），于是ln（x+1）<x，这样就能快速求得问题的答案.

在面对不同类型、不同设问方式的题目时，教师要引导学生深入探究问题的本质，将相关的题目关联起来，发现其中千丝万缕的联系，得出相应的结论，并对其进行拓展、延伸，这样学生就能熟练掌握这些结论，并将其灵活地应用于解题当中.