如何运用函数的单调性解题

郭丽娜

函数的单调性，也称函数的增减性，是函数的重要性质之一.在求函数的单调区间、求函数的最值、判断函数的单调性、证明不等式等问题时，往往要运用到函数的单调性.下面结合实例，谈一谈如何运用函数的单调性来解答下列三类问题.

一、求函数的单调区间

一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于当x₁2时，都有f（x₁）2），那么函数f（x）在区间D上是增函数;当x₁2时，都有f（x₁）>f（x₂），那么函数f（x）在区间D上是减函数.运用函数的单调性求函数的单调性区间，需灵活运用函数单调性的定义.首先在函数定义域内的某个区间D上任意选取两个自变量的值x₁，x₂（x₁2），然后将f（x₁）与f（x₂），作差或作商，比较出二者的大小若f（x₁）2），则该区间为函数的递增区间;若f（x₁）>f（x₂），则该区间为函数的递减区间.

解：由题意可知x²+3x-10>0，

解得x>2或x<-5，

当x<-5时，随着x的增大u减小，而y增大;

当x>2时，随着x的增大u增大，而y减小.

二、求函数的最值

一般地，若函数y=f（x）在某个区间[a，b]上单调递增，则函数在该区间上的最大值为f（b），最小值为f（a）;函数y=f（x）单调递减，则函数在该区间上的最大值为f（a），最小值为f（b）.在运用函数的单调性求函数的最值时，要首先确定函数的定义域以及在定义域上的单调性，然后将区间的端点值代入函数解析式中，即可求得函数的最值.

若已知函数的单调性或易判断函数的单调性，则可直接根据函数的单调性来求函数的最值，这样可以大大提升解题的效率.若函数存在多个单调区间，可结合函数的图象来找到最大值和最小值.

三、证明不等式

在证明不等式时，可根据不等式的结构特征，构造函数模型，然后根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，便可根据函数的单调性求得最值，或比较出不等式左右两边式子的大小.

可见，函数的单调性是解题的重要“工具”.同学们在日常学习中，要熟练掌握函數单调性的定义，熟记一些简单基本函数的单调性，这样在求函数的单调区间、求函数的最值、证明不等式时，就能根据函数的单调性，建立合适的关系式，快速求得问题的答案.6D5550D2-61F0-48AE-954F-357FF8B98DB2