由一道题谈求平面向量最值的思路

郑尚东

平面向量最值问题具有较强的综合性，解答此类问题，需灵活运用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量的加减和数乘运算法则、向量的数量积公式、向量的模的公式以及向量的坐标运算法则.下面结合一道例题谈一谈求解平面向量最值问题的思路.

例题：如图1所示，OA，OB的模长为1，其夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC=xOA +yOB，求x+y的最大值.

本题看似简单，其实较为复杂.由于C为动点，所以我们很难快速确定C的位置，求得OC，便无法求得x+y的最值.需灵活运用坐标系法、向量的数量积公式、正余弦定理來求解.

思路一：运用坐标系法

运用坐标系法求解平面向量最值问题，需先根据题意和图形，建立合适的平面直角坐标系，将向量、点的坐标表示出来，通过向量的坐标运算求得问题的答案.

运用坐标系法解题的关键是建立恰当的平面直角坐标系，这里以O点为原点，以OA为x轴，垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，便能快速求得各个点的坐标和向量的坐标，求得x+y的表达式，运用正弦函数的有界性求得最值.

在建立平面直角坐标系后，求得x、y的表达式，便可根据同角的三角函数关系式sin2θ+ cos2θ=1建立关于x、y的关系式，再运用基本不等式求得最值.坐标系法的优点在于将向量问题转化为代数运算问题，这样便于快速求得最值.

思路二：利用向量的数量积公式

向量的a与b的数量积a.b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角.用向量的数量积公式可以表示出两个向量与夹角之间的关系.在求解平面向量最值问题时，可根据题意构造出两个向量，将二者相乘，运用向量的数量积公式，根据夹角的取值范围来求得最值.

通过数乘运算，构造出两个向量的数量积，运用向量的数量积公式和向量的模的公式求得x、y的表达式，进而根据正弦函数的有界性求得最值.

结合图形，运用正余弦定理可快速建立三角形边角之间的关系，这样便能快速求得x+y的表达式，再根据正弦函数的有界性即可求得最值.

解法5主要运用了正弦定理，解法6主要运用了余弦定理，求得x、y的关系式.再结合基本不等式即可求得最值.

可见，求解平面向量最值问题的思路很多，解题的关键在于求得目标式，可运用坐标系法，也可利用向量的数量积公式，还可以运用正余弦定理，最后利用三角函数的有界性和基本不等式，便可求得最值.