受轴压力柱的屈曲载荷研究

陆健炜， 鲍四元

（苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011）

柱在工程中的运用广泛，像航天航空业、机械制造业、船舶工业、建筑业等领域都有涉及。 柱的受压稳定性是一个非常重要的问题，许多学者对其展开了深入研究。

对于柱的屈曲载荷研究有多种经典方法，如平衡法、能量法、动力法、有限单元法等。 窦超等[1]为了研究均布径向压力作用下单轴对称截面均匀受压圆弧拱的弹性弯扭屈曲临界荷载，采用平衡法推导得到了均匀受压圆弧拱的面外屈曲临界荷载的理论解。 谢海等[2]基于弹性力学的最小势能变分原理，对一类具有连续变截面的压杆进行了稳定性计算，得到了临界压力的表达式，解决了可变截面形状和边界约束的适应性问题，计算更加简便，精度较高。 张强等[3]提出慢动力法计算管柱的压扭屈曲问题，分析了慢动力法中载荷的施加、阻尼和子步数的选取策略等。王俊飞等[4]针对伸缩臂抗屈曲失稳能力，采用理论结合有限单元分析法，以U型截面为例，分析了截面尺寸对伸缩臂屈曲失稳性能的影响，为设计者提供一定的设计参考依据。 Tuan 等[5]研究了焊接高强度工字钢的屈曲特性，在屈曲强度公式中引入了与材料性能相关的参数，并通过ABAQUS有限元模拟提出了受弯构件的一种新的屈曲曲线。 王克林等[6]通过傅里叶级数法分析解决正交各向异性矩形板在各种边界条件下的屈曲。 Shahba 等[7]基于Euler-Bernoulli 梁理论运用微分求积单元法研究了轴向功能梯度锥形梁自由振动和屈曲稳定性问题。 Yuan 等[8]用精确动态刚度方法研究了Euler-Bernoulli 梁和Timoshenko 梁的自由振动和屈曲稳定性问题。 Wang 等[9]对顶端和中间受轴向载荷的柱进行屈曲分析。 文献[10-15]利用最小势能原理研究梁、柱、桩等结构屈曲的稳定性。 杨旭等[16]对于柔管侧向的屈曲进行了数值模拟和分析。

上述研究主要局限于简支、固支、自由等经典边界，难以对一般弹性边界条件进行求解。 因此，笔者着重于研究具有任意弹性边界条件下的轴压柱屈曲载荷。 在建立弯曲位移函数时，传统傅里叶级数在边界处存在导数不连续和收敛性差的问题，笔者利用改进傅里叶级数法[17-18]假设挠度函数并建立系统的能量表达式，推导出轴压柱屈曲时的特征方程。求解特征值获得模型的屈曲载荷，并与已有文献的结果对比验证。该方法能获得任意边界条件下的受轴压柱屈曲载荷，具有精度好、适合一般弹性边界条件的特点。

1 理论推导

1.1 柱屈曲受力模型

弹性边界条件下轴压柱的屈曲受力模型如图1 所示。 在柱的两端分别设置横向弹簧和旋转约束弹簧， 并引入参数k0、K0来模拟x=0 处的边界条件，其中k0表示底部横向弹簧的刚度值，K0表示底部旋转约束弹簧的刚度值。 同样，可模拟x=L 处的约束条件，参数k1、K1分别表示横向弹簧和旋转弹簧的刚度值。可以通过改变参数k0、K0、k1、K1的取值，模拟柱两端的不同边界条件。 例如：两端均为简支边界条件时，需将横向弹簧的刚度值k0、k1设置为无穷大， 同时将两端的旋转弹簧的刚度值K0、K1设置为0。

图1 中间和端部都受压的柱屈曲受力模型

1.2 位移函数

柱的位移函数使用改进傅里叶级数表达如下

式中An和Bn为展开系数，λn=nπ/L。 与传统的余弦型傅里叶级数（即式（1）中右端划线部分）相比，该函数多出了4 个正弦项，这些辅助正弦项函数能使位移函数在求解域中三阶导数连续并且四阶导数处处存在。

1.3 基于最小势能原理的屈曲模型

为确定位移方程（1）中的未知系数，文中采用瑞利-里兹方法。 瑞利-里兹法属于一种变分法，其主要的思想是构造一种试函数，通过求驻值得到假设试函数中的未知系数满足的关系，并由系数有非零解得到问题的近似解。

将式（1）的位移函数改写为基底函数表示的形式

其中，基底函数为

柱子的弹性势能为

其中，E、I 为柱的弹性模量和截面惯性矩，w″（x）为w（x）对x 的二阶导数。

轴向力的荷载势能为

其中，P1、P2为柱的末端载荷和柱的中间截面的载荷，w′（x）为w（x）对x 的一阶导数。

系统中弹簧的势能为

系统的总势能为

利用最小势能原理有

其中，M 与式（1）中的位移级数展开有关。 实际计算中，式（1）中的位移级数不可能取无穷多项，故对式（1）展开时n 的最大值取为截断数M。

将式（7）中的势能∏代入式（8），化简得

式中i，j=-4，…，M。 f′（x）表示df（x）/dx，f″（x）为d2f（x）/dx2。

定义如下参数

则方程（9）可表示为

式（11）为轴压柱屈曲时位移展开系数应满足的方程。 该齐次线性代数方程组有非零解的条件是其系数行列式为零，求解P1或P2后得到n 个根，这些根中的最小值就对应于柱的屈曲载荷。

2 算例

选取等截面轴压柱参数如下：EI=400 N·m2，L=10 m。 在末端作用载荷P1，在中间aL 处作用载荷P2，其中参数a 反映了P2的作用位置。 为了方便研究，采用字母E、C、S 和F 分别表示弹性、固支、简支和自由的边界条件。经典边界通过取横向弹簧和旋转约束弹簧的刚度值为零或一个足够大的数来模拟（具体取值见2.1 节的讨论）。

为方便计算，对刚度值进行无量纲化处理

引入以下屈曲载荷系数α1、α2及载荷比β

其中，β 的数值反映P1和P2的载荷比值。

2.1 屈曲载荷的收敛特性

表1 一端弹性约束一端自由（E-F）柱的屈曲荷载随不同截断数的收敛情况 单位：N

表2 两端弹性约束（E-E）柱的屈曲载荷随不同截断数下的收敛情况 单位：N

2.2 文中方法的精度

为验证文中方法的准确性， 对一端固定一端自由柱， 参数a 分别取为0.1、0.3、0.5、0.7、0.9，β 分别采用0.25、0.5、0.75，表3 将文中所得到的屈曲载荷系数α1与文献[9]的结果作比较。 其中固定支座处无量纲无穷大刚度值取为108。 由表3 可知，此方法与解析法最大的误差仅为0.006 2%，说明该方法具有较好的精度。

表3 一端固定一端自由柱的屈曲载荷系数及误差

当边界条件为两端固定时，分别取a 为0.1、0.3、0.5、0.7、0.9，β 为0.25、0.5、0.75，表4 给出文中的屈曲载荷系数α1，并与文献[9]的结果做比较。 由表4 可知，此方法与解析法的最大误差为0.020 1%，证明该方法具有较好的精度。

表4 两端固定轴压柱的屈曲载荷系数及误差

2.3 柱受中间载荷时的屈曲分析

当只有中间轴向载荷P2作用时。 载荷势能式（5）变为

故计算式（11）中的系数cij时，需令式（10）中P1为零。 参数a 取为0.1、0.3、0.5、0.7、0.9，利用文中方法计算出固定-自由（C-F）、两端简支（S-S）、固定-简支（C-S）、两端固定（C-C）等不同边界条件下仅有中间轴向载荷时柱的屈曲载荷系数当边界条件为固定时， 固定支座处无量纲的无穷大刚度值采用108。 表5 中给出在不同边界条件下利用此方法计算的屈曲载荷系数与文献[9]的屈曲载荷系数及误差。 由表5 可知，此方法与解析法的误差最大值为0.462 3%。

表5 仅中间受载时柱的屈曲载荷系数及误差

2.4 弹性边界条件下柱的屈曲分析

将2.2 节中的两端固定柱中的一端边界进行放松，以模拟固定-弹性边界条件。 设弹性支座处的无量纲横向弹簧刚度值取为10i（其中i 是－6 至8 之间的整数），且无量纲旋转弹簧刚度值取为0，固定端处无量纲的无穷大刚度值取为108。 参数a＝β＝0.5，利用文中方法得到屈曲载荷系数α1的结果见表6，并绘制出轴压柱屈曲载荷系数α1随弹簧刚度对数值坐标的变化图（如图2 所示）。从图2 可以看出在弹性边界处柱的屈曲载荷系数α1随横向弹簧的刚度值的增大而增大，且当横向弹簧刚度值大于102后对应的屈曲载荷系数不再变化，所以可模拟简支边界。 而弹簧刚度值取值在10-4至102之间时能模拟弹性边界，故此方法能够适用于任意边界条件下的柱屈曲载荷求解。

图2 柱的屈曲载荷系数随弹簧刚度对数值的变化曲线

表6 固定-弹性边界条件下柱的屈曲载荷系数

2.5 弹性边界柱受不同位置荷载的屈曲算例

对作用于单个集中荷载的一般弹性边界柱的屈曲进行分析。算例中分析三种弹性支座（固定-弹性、简支-弹性、弹性-弹性）。 设弹性支座处的无量纲横向弹簧刚度值和无量纲旋转弹簧刚度值相等，分别取为2、5、8、10、50、80。 固定端处线弹簧和旋转弹簧无量纲的刚度值取为108，简支端处将线弹簧的无量纲刚度值设为108，旋转弹簧的无量纲刚度值设为0。 为研究单个集中载荷作用不同位置处的屈曲载荷系数变化情况，相关参数a 取0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1（a=1 时，相当于作用在末端）。利用文中方法得到屈曲载荷系数α2的结果见表7， 从表7 中可以看出三种边界条件下无量纲的弹簧刚度值取相同值时，固定-弹性边界的屈曲载荷系数为最大，弹性-弹性边界的屈曲载荷系数最小。 另外，屈曲载荷系数随着弹簧的刚度值的增加而变大。 在单个集中力作用下，集中力的作用位置离柱的底部越远，屈曲载荷系数越小。

表7 不同弹性边界条件下柱的屈曲载荷系数

3 结语

利用改进傅里叶级数建立了柱上不同位置受轴向载荷的屈曲模型。 在柱的两端分别设置横向支撑弹簧和旋转约束弹簧，通过改变弹簧刚度的数值来模拟不同的边界。 模型中首先根据改进傅里叶级数法假设位移函数表达式，然后利用最小势能原理得到轴压柱的特征方程，并求解其特征值获得模型的屈曲载荷。 该方法在求解受轴压力柱的屈曲载荷的工程中解决了传统傅里叶级数在边界处存在导数不连续的问题，具有求解精度好和适合一般弹性边界条件的特点。