拓展的灰色GM（1，1）模型及其在苏州GDP 预测中的应用

刘 昀， 程毛林

（苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009）

灰色系统理论中把对信息掌握程度的0 与1 表示为黑箱与白箱，对处于这之间的部分，即内部特性既有已知又有未知的系统称为灰色系统。 该理论的主要任务是充分挖掘已知信息，寻求系统运行的数学规律，并进行对未来变化的定量预测[1]。在灰色系统研究中，GM 预测模型是灰色预测理论的基本模型，而GM（1，1）模型作为其中的核心和基础，因其要求样本量低、结构简单、计算简便等特点而成为研究最广泛、应用最广泛的预测模型[2-3]。 近些年来，学者们基于邓聚龙教授提出的核心基础模型[4]，对GM（1，1）模型进行了多角度切入与深入研究改进。 这些改进主要集中在：累加生成方法的改进[5-8]、初始值优化[9-10]、背景值优化[11-15]、参数估计方法[16-17]、残差序列优化[18-20]以及其中一些方法的组合使用[21-23]等。

在这其中，针对灰色作用量b 进行白化方程修正的研究相对较少。 崔杰等人[24]用kb 替换b，构建了NGM（1，1，k）模型，拓宽了传统灰色模型的应用广度；徐华锋等人[25]发现，随着时间和空间的变化，灰色作用量也应当体现动态变化，以b1+b2k 代替传统模型中的b 作为灰色作用量可以有效提高模型预测精度；刘常丽等人[26]利用灰色模型的指数特性，把白化方程中的灰色作用量b1+b2k 改进为（b1+0.5b2）+b2t，得到一种对指数序列适应性好的优化GM（1，1）模型。

为了研究高增长时间序列的数学建模，解决因白化方程为常系数微分方程而引起的问题，笔者对传统灰色模型结构进行两种拓展（拓展模型1 与拓展模型2），在满足高增长时间序列建模需要的同时，增添了三角函数以给予波动性适应更多的建模需要，并在最后给出这两种模型的建模实例。

1 传统的灰色GM（1，1）模型

传统灰色GM（1，1）模型基本形式为

式中，x（0）（k）为k 个元素的原始数据数列，x（1）（k）为x（0）（k）的1-AGO 生成数列，z（1）（k）是x（1）（k）的紧邻均值序列。

将时刻k 视为连续的变量t，可得到GM（1，1）灰微分方程对应的白化方程为

式中，a，b 为待估计常数，a 称为发展系数，b 称为灰色作用量。

可求出时间响应式为

则可得出原始数据的预测值为

2 拓展的灰色GM（1，1）模型

2.1 拓展的灰色GM（1，1）模型的建立

由第1 节可以看出原始序列应为指数变化，且经过分析，易知预测精度与增长快慢有关。 为了研究高增长时间序列的数学建模（比如文中用到的例子——苏州市GDP），下面对传统灰色模型结构进行拓展，以适应此类建模的需要。

设拓展的GM（1，1）灰色模型基本形式为

它的白化方程为

为了既保证预测精度又避免过拟合，以下取p=2，q=2，即该拓展的灰色模型GM（1，1）的灰微分方程为

其白化方程为

若建立这样的灰色GM（1，1）拓展模型，其背景值z（1）（k）的生成系数α 为等权常数（α=0.5），即

此建立的模型称为拓展模型1。

若建立这样的灰色GM（1，1）拓展模型，对于变化趋于陡峭的序列数据，为了减少误差，其背景值z（1）（k）的生成系数α 为不等权常数（0＜α＜1 且α≠0.5），α 的值由优化方法确定，即背景值表示为

此建立的模型称为拓展模型2。

2.2 拓展的灰色GM（1，1）模型的时间响应方程

由上一小节可知，拓展灰色GM（1，1）模型的白化方程为

两边同时积分可以求得解为

2.3 修正的拓展灰色GM（1，1）模型的参数估计

拓展的灰色GM（1，1）模型的灰微分方程为

它的白化方程为

即

则

由于z（1）（k）=αx（1）（k-1）+（1-α）x（1）（k），当生成系数为等权常数，即α=0.5 时，对给定的θ1，θ2，有参数估计值

其中

事实上，θ1，θ2是需要求出的，此处使用优化的方法来确定θ1，θ2的值

当生成系数为不等权常数，即α 为常数且满足0＜α＜1，α≠0.5 时，对给定的α，θ1，θ2，有参数估计值

其中

事实上，α，θ1，θ2是需要求出的，此处使用优化的方法来确定α，θ1，θ2的值

2.4 拓展的灰色GM（1，1）模型的应用实例

为了掌握未来苏州地区经济发展态势，更具有针对性与前瞻性地制定发展计划，如何更准确地对苏州地区年生产总值进行预测就成为了一个亟待解决的问题。 文中根据历史数据从定量上建立苏州地区年生产总值的预测模型。 苏州市年生产总值记为x（0）（t）（单位：亿元），相关资料见表1。

表1 苏州地区年生产总值数据及传统GM（1，1）有关计算结果

若建立传统灰色GM（1，1）模型，计算得

所以

可以看出，由传统模型计算得到的结果与实际数据走向不够贴合，还有很大改进空间。

若建立拓展模型1，计算得

于是，时间响应方程为

表2 苏州地区年生产总值数据及拓展模型1 有关计算结果

可以看出，拓展模型1 相较原始GM（1，1）模型而言，在各项平均相对误差上都有了很大改善，但在预测精度上还有一定改进的可能性。 对比表2 中近三年（2017—2019 年）的预测数据可以发现，模拟值的增长速度相对实际值较慢，故在拓展模型2 中，通过引入变量生成系数α 来改善这一状况，使得数据变化趋于持续的陡峭增长，从而更加符合原始数据指数增长的特征。

若建立拓展模型2，计算得

于是，时间响应方程为

表3 苏州地区年生产总值数据及拓展模型2 有关计算结果

表4 拓展模型2 下苏州地区年生产总值2020—2024 年预测值

可以看出，拓展模型2 相较拓展模型1 而言又有了一定程度的改进，尤其体现在预测精确度上。根据以上传统模型与2 种拓展模型的实例分析结果，可以得到如图1 所示的误差对比直方图。

图1 传统模型与2 种拓展模型误差对比直方图

3 结语

传统灰色GM（1，1）模型适用于原始数据的统计规律为指数变化模式，但对于原始数据呈现增长很快的指数变化的情况，则效果不够理想，归根究底是其白化方程为常系数微分方程的原因。 文中提出的2 种新的拓展模型，经过对苏州市近20 年GDP 数据进行实例分析数据检验，效果均优于传统模型，其中模型2 的结果最优，无论拟合还是预测模型效果均能更为贴切地反映出数据走向，故可以适用于GDP 预测。在实际应用中遇到类似上述高增长趋势的数据时，可以考虑用该拓展模型来代替传统模型进行拟合预测，以期更真实地反映和预测数据，对下一步经济发展战略的制定也有更好的参考价值。