结合机器人柔体动力学和关节力矩反馈的振动控制

李 琳， 古智超， 张 铁

(华南理工大学 机械与汽车工程学院， 广州 510641)

由于工业机器人机械结构限制，其传动系统广泛采用同步带、谐波减速器等刚度较低的柔性传动部件，伺服电机通过柔性传动部件驱动外部刚性连杆运动，导致机器人末端振动问题，严重降低轨迹运动精度和系统稳定性。为提升机器人伺服系统的控制性能，抑制机器人快速启动时的末端振动现象，故研究针对柔性关节特性的振动控制方法。

伺服系统的振动控制方法包含被动振动控制和主动振动控制方法，被动振动控制方法主要为利用陷波滤波器对系统指令中特定频率振动信号滤波衰减以抑制振动，工程应用范围广，如三自由度机器人[1]、数控加工平台[2]。多自由度机器人的关节惯量随运动位置而改变，陷波滤波器的鲁棒性仍有待提高。输入整形器通过衰减输入信号中的谐振频率成分而抑制系统振动，因其无需设计状态估计器和修改系统的反馈控制结构而得到广泛应用，如柔性梁[3]、工业机器人[4], 移动臂式起重机[5]。典型的输入整形器存在时延问题，直接对多自由度机器人的关节轨迹输入整形会导致笛卡尔轨迹的轮廓误差问题。主动振动控制方法基于状态反馈实现振动控制，如负载位置反馈[6]、关节力矩反馈[7]等，状态反馈控制需要设计系统状态估计器，增加了应用难度。

关节力矩反馈是状态反馈控制方法，能抑制双惯量伺服系统在反共振频率(anti-resonance frequency, ARF)处的谐振现象。基于配置关节力矩传感器的柔性关节伺服控制系统，国内外学者对JTF控制进行了深入的研究[8-10]。由于制造成本问题，大部分商用工业机器人在关节端无配置力矩传感器，故需要进行关节力矩估计。Shi等[11]提出一种具有自适应鲁棒性和根据关节负载变化进行最优调整特点的关节力矩估计方法，在谐波减速器传动的单关节试验平台上验证了估计方法的有效性。Zhang等[12]提出一种基于负载位置测量的关节力矩估计方法，在配置谐波减速器的机器人关节上验证了可行性并实现关节力矩反馈控制。Zhu等[13]建立了谐波减速器动力学模型，并提出基于动力学模型控制和自适应摩擦补偿控制算法，试验结果表明所述算法在关节力矩和关节位置控制模式下具有可行性。

除准确估计关节处的摩擦力矩外，重力项力矩也是不可忽略的估计项，工业机器人的动力学模型为重力项和摩擦力矩估计提供新的解决思路。典型的刚体动力学模型忽略关节柔性，辨识试验得到耦合的最小参数集模型，不利于各关节的解耦控制[14-15]。Pham等[16]忽略机器人重力项力矩，提出考虑关节柔性的机器人动力学建模和辨识方法，试验结果验证该动力学模型的可行性。Choi等[17]以不同频率的正弦轨迹作为激励轨迹，实现惯性力矩、重力项力矩和摩擦力矩等动力学模型力矩的分离辨识，并在六自由度机器人上验证了有效性。Luca等[18]在柔性关节机器人(flexible joint robot, FJR)上，基于可测量的电机角度实现实时重力补偿控制，试验结果表明补偿控制方法有效减小电机端的跟踪误差。

一方面考虑到无法利用传感器直接测量关节力矩，另一方面必须对机器人的重力项力矩和摩擦力矩进行估计，因此基于工业机器人的柔体动力学模型提出了实时关节力矩估计方法，本文将在第2章详细分析该估计方法。本文的研究目标为基于柔体动力学模型实现关节力矩反馈控制，并分析该抑振方法对机器人末端振动的控制效果。

1 关节力矩反馈振动控制原理

图1 柔性关节传动系统Fig.1 Flexible joint transmission system

图2 柔性关节控制系统结构图
Fig.2 Flexible joint control system structural diagram

当忽略扰动力矩Td且不开启补偿环节和关节力矩反馈(即F(s)=0)时，系统闭环传递函数G(s)为

(1)

关节角度的振动特性与G(s)在反共振频率处的幅频响应特性|G(jωa)|直接相关

(2)

为获得较好的动态响应，KP,KV设定值较大，使得系统在频率ωa处存在谐振峰值，从而引起机械振动。

(3)

(4)

由此可得|G(jωa)|PD<|G(jωa)|P<|G(jωa)|，故增加关节力矩反馈环节能减小系统谐振峰值，抑制系统的振动现象。

2 电机位置的稳态误差分析

在柔性关节控制系统中，稳态误差主要由重力项力矩和摩擦力矩等未建模的扰动力矩引起。在扰动力矩Td(s)作用下，电机位置的误差信号Ed(s)为

(5)

此时，电机位置的稳态误差为

(6)

(7)

从式(7)可知，引入关节力矩反馈控制后，由扰动力矩导致的电机位置稳态误差增大。为克服此不足，可对机器人的重力项力矩和摩擦力矩进行补偿，以减小电机位置控制器为抵消扰动力矩而产生的电机位置误差，如图2中的补偿环节所示。

3 基于柔体动力学的实时关节力矩估计方法

目前大部分工业机器人无配置关节力矩和角度传感器，仅能采集伺服电机力矩和角度数据，故需要通过动力学建模估计关节力矩。在Pham等提出的柔体动力学模型基础上，忽略科氏力并考虑机器人的重力项和摩擦力矩，得到简化的动力学方程为

(8)

式中:fvli为关节i的黏性摩擦因数；fvmi为第i个电机轴的黏性摩擦因数；fsmi为第i个电机轴的库仑摩擦因数；Mli1，Mli2为关节i的重力项系数；Hli1,Hli2为关节i的重力项相关位置量；Ml,Hl的表达式由后面的重力项力矩推导给出。

典型的六自由度工业机器人结构示意图如图3所示，考虑到机器人末端振动现象主要由前三关节的柔性部件引起，且第4、5、6关节运动对前三关节重力项力矩影响较小，对前三关节重力项力矩进行简化分析，如图4所示。

图3 工业机器人结构示意图Fig.3 Structural diagram of industrial robot

图4 前三关节重力项力矩简化示意图Fig.4 First three joints’ gravity torque simplified diagram

(9)

结合机器人的坐标关系，以-θm/n替换θl，代入式(9)得Ml,Hl表达式为

Ml11=Ml12=0,Hl11=Hl12=0

(10)

由于无法采集关节角度数据，依据式(8)将其表示为可测量的电机力矩和电机角度的表达式

(11)

将式(11)代入式(8)并整理得可辨识线性方程为

(12)

式中:

x7=fsmi,x8=Mli1/ni,x9=Mli2/ni

由于电机轴上的力矩平衡方程可近似为

(13)

由动力学模型得重力项和摩擦力矩估计值为

(14)

从而得关节力矩估计值为

(15)

第2章中的重力项和摩擦补偿力矩为

(16)

综上，完成柔体动力学参数辨识后可估计重力项和摩擦力矩，进而以式(15)实时计算关节力矩估计值，以式(16)实时计算重力项和摩擦补偿力矩。

4 柔体动力学参数辨识方法

当采集机器人L个采样时刻的测量数据后，依据式(12)整理电机力矩向量Tmi∈RL×1和观测矩阵Ai∈RL×Q如下

(17)

(18)

激励轨迹是指机器人动力学参数辨识试验中使用的关节轨迹，其应具备激发机器人的动力学特性并且对传感器测量噪声不敏感的特点，以提高辨识精度。采用有限傅里叶级数的周期性激励轨迹为

(19)

(20)

(21)

综上，对柔体动力学建模、参数辨识以及实时关节力矩估计的计算流程进行总结，如图5所示。

图5 动力学参数辨识计算流程图Fig.5 Flow chart of dynamic parameters’ identification

5 试验及结果

5.1 试验平台

基于六自由度工业机器人搭建试验平台，机器人本体配置电机位置和电机力矩传感器，查询机器人产品手册得到前三关节的减速比和电机轴惯量如表1所示，利用三向加速度传感器测量机器人末端振动信号，传感器测量范围为±30g，模拟量由倍福模组采集。实时控制系统为研华510工控机，采用EtherCAT总线通讯，控制采样频率为1 000 Hz，试验平台如图6所示。

表1 前三关节的减速比和电机轴惯量Tab.1 First three joints’ reduction ratio and motor inertia

图6 试验平台Fig.6 Test platform

5.2 柔体动力学参数辨识试验及结果分析

首先设计动力学参数辨识轨迹，取ωf=0.08 Hz,N=6，为评价所述柔体动力学模型的估计精度，设计一组激励轨迹和验证轨迹进行对比，如图7所示。激励轨迹运行过程为依次运行前三关节的辨识轨迹，每次仅运行单个关节，其余关节保持起始点位置不运动；验证轨迹则以多关节联动方式运行。

(a) 激励轨迹

(b) 验证轨迹图7 激励轨迹和验证轨迹Fig.7 Excitation trajectory and verification trajectory

运行激励轨迹并按照第4章所述辨识方法，在MATLAB软件中进行离线数据处理，得到柔体动力学参数估计值如表2所示，物理量参数估计值如表3所示。利用式(21)计算验证轨迹前三关节的电机力矩先验估计值，运行验证轨迹后得到电机力矩测量值，估计误差如图8所示，估计误差的平均值、标准差和均方根误差(RMSE, Root Mean Square Error)如表4所示。

表2 柔体动力学参数估计值Tab.2 Estimation of flexible dynamic parameters

表3 物理量参数的估计值Tab.3 Estimation of physical parameters

表4 估计误差分析Tab.4 Analysis of estimated error N·m

由图8和表4可知，辨识的动力学模型能准确估计验证轨迹的电机力矩，采用式(20)所示的变量替换是可行的，说明所述动力学模型能较好地描述工业机器人柔体动力学特性。图8中前三关节电机力矩估计误差存在尖点值，这是由于在关节运动转向时，摩擦力矩会表现出较强的非线性特性，所采用的“库仑+黏性”摩擦模型会出现一定偏差，从而引起误差尖点值。

(a) 关节1

(b) 关节2

(c) 关节3图8 柔体动力学模型的估计误差Fig.8 Estimated error of flexible dynamic model

5.3 关节力矩反馈振动控制试验及结果分析

基于上述辨识的动力学模型，进行关节力矩反馈控制试验，分别设计比例反馈和比例-微分反馈控制器，控制参数如表5所示。采用线性插补函数设计笛卡尔空间的圆弧和直线轨迹如图9所示，圆弧和直线轨迹的前三关节的启动速度分别-0.95 rad/s、-0.94 rad/s、-0.42 rad/s和0.62 rad/s、-0.68 rad/s、-0.39 rad/s，运动时间为1 000 ms。利用三向加速度传感器测量机器人末端的加速度作为振动信号，以量化评价振动控制效果。

图9 圆弧和直线轨迹Fig.9 Cartesian arc and linear trajectory

表5 反馈控制器参数Tab.5 Parameters of feedback controller

图10 目标速度与反馈速度对比Fig.10 Comparison of target velocity and feedback velocity

图11 关节力矩微分估计值滤波方法Fig.11 Filtered method for joint torque differential estimation

在圆弧轨迹中，采用比例反馈控制器时，关节力矩估计情况如图12所示。从图12可知，通过去除电机力矩中的重力项力矩、摩擦力矩等成分，得到在y=0上波动的关节力矩估计值，表明本文所提出的实时关节力矩估计方法能满足关节力矩反馈控制的应用要求。

图12 关节力矩估计值与电机力矩对比Fig.12 Comparison of joint torque estimation and motor torque

在圆弧轨迹中，两种控制器的反馈控制量对比如图13所示。从图13可知，采用比例-微分控制器时，前三关节的反馈控制量均无严重突变现象，表明所述滤波方法能满足关节力矩反馈控制的信号降噪要求。

err(t)=

(22)

图13 关节力矩反馈的控制量Fig.13 Control quantity of joint torque feedback

在圆弧轨迹中，前三关节的电机位置跟踪误差如图14所示。从图14可知，在启动阶段，开启关节力矩反馈后，跟踪误差有所增大；改进的“补偿+比例-微分反馈控制”则能有效减小电机位置的跟踪误差。

图14 电机位置的跟踪误差Fig.14 Tracking error of motor position

图15 圆弧轨迹跟踪误差Fig.15 Tracking error of arc trajectory

图16 直线轨迹跟踪误差Fig.16 Tracking error of line trajectory

圆弧和直线轨迹中三向加速度传感器的各轴的加速度信号分别如图17和图18所示，利用式(23)计算振动信号能量，考虑到振动信号衰减情况，取前500 ms振动信号计算，计算结果如表6所示。

(23)

图17 圆弧末端振动信号Fig.17 End vibrational signal of arc trajectory

图18 直线末端振动信号Fig.18 End vibrational signal of linear trajectory

表6 振动信号能量比较Tab.6 Comparison of vibrational signal energyE/( m2·s-3)

与未采用关节力矩反馈控制相比，在加速度传感器X、Y和Z轴振动信号能量上，采用比例控制器时，圆弧轨迹分别减少7.63%、26.74%和27.61%，直线轨迹分别减少20.95%、23.98%和26.25%；采用比例-微分控制器时，圆弧轨迹分别减少15.52%、31.76%和37.56%，直线轨迹分别减少34.49%、29.51%和41.00%；采用改进的“补偿+比例-微分反馈控制”时，圆弧轨迹分别减少15.90%、31.04%和38.32%，直线轨迹分别减少5.42%、23.91%和45.63%。振动控制试验结果表明关节力矩反馈控制能有效抑制工业机器人的末端振动，提高其运动稳定性。改进的“补偿+比例-微分反馈控制”方法在保证振动控制效果的同时，能有效减小轨迹跟踪误差。

6 结 论

针对工业机器人的末端振动问题，分析了振动现象成因。基于柔体动力学模型实现实时关节力矩估计，提出了一种在无配置关节力矩传感器的工业机器人上应用关节力矩反馈控制的振动控制方法，试验结果表明所述方法的可行性和有效性，得到结论如下：

(1) 建立工业机器人的柔体动力学模型，并采用最小二乘法辨识系统模型参数，该模型能准确地估计电机力矩，满足关节力矩反馈控制与重力项和摩擦力矩补偿控制的应用要求；

(2) 基于动力学模型实时计算关节力矩估计值，并进行关节力矩反馈控制，采用比例控制器时，圆弧和直线振动能量最大分别减少达27.61%和26.25%；采用比例-微分控制器时，圆弧和直线振动能量最大分别减少达37.56%和41.00%；采用改进的“补偿+比例-微分反馈控制”时，圆弧和直线振动能量最大分别减少达38.32%和45.63%，表明所述的振动控制方法能有效抑制工业机器人的末端振动，改进的“补偿+比例-微分反馈控制”方法能兼顾振动控制性能和轨迹跟踪性能。

关节力矩反馈控制方法在不改变输入信号的情况下，实现了工业机器人的振动控制，在今后的工作中，将对JTF控制器的设计进行更深入的研究。