基于自适应变分模态提取的低速重载滚动轴承故障诊断方法

俞惠惠， 郑近德， 潘海洋， 童靳于， 刘庆运

(安徽工业大学 机械工程学院，安徽 马鞍山 243032)

滚动轴承作为机械设备的核心部件之一，其状态的好坏直接影响到整个机械系统的正常运行。因此，开展滚动轴承的故障诊断研究是机械系统安全持续工作的保障。对于低速重载工况下的滚动轴承[1]，由于振动频率较低，故障冲击间隔较长，其诊断难度[2]较大。同时，工况的复杂化和多变性，致使振动信号多表现为非平稳、非线性等特征[3-4]。因此，如何有效、快速的从非平稳、非线性信号中提取故障特征是滚动轴承故障诊断的关键。

针对振动信号的非线性和非平稳特点，Lei等[5-7]提出的经验模态分解(empirical mode decomposition,EMD)可以将一个信号分解为多个内禀模态函数(intrinsic mode function，IMF)和趋势项之和。但是，EMD在进行信号分解过程中会产生模态混叠和端点效应等问题。Lei等[8]借助于白噪声的特性来辅助分解，提出了总体经验模式分解(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)，可以有效地抑制模态混叠。但是，EEMD仍然采用极值点包络来筛选分量信号，无法从根本上解决模态混叠[9]问题。针对该问题，一种非递归自适应的多分量分解方法[10-13]——变分模态分解(variational mode decomposition，VMD)被提出。VMD通过构造约束变分求解手段，将信号分解问题转化为优化问题，将待分析信号分解为多个分量信号。文献[14]运用VMD 方法的等效滤波特性与包络谱特征因子优化参数结合提取滚动轴承早期故障信号的微弱特征信息；文献[15]提出了VMD-Leaky-ESN的电力系统短期负荷多步预测方法，并将其应用到电力系统短期负荷预测中；文献[16]采用VMD方法对现场爆破信号进行趋势项消除和时频特征提取，得到了良好的应用效果。令人遗憾的是，VMD虽然可以得到信号完整的时频分布，但无法确定信号中可用模态的数量(K)以及合适的加权因子(α)。如果K值设置较低且α值较高，则信号的某些模态将被视为噪声模态；如果K值设置较高且α值较低，则会出现重复模态的情况。因此，VMD参数设置问题制约着其进一步发展及应用。

针对VMD算法在提取特定模态过程中增加不必要计算的问题，相关学者提出了变分模态提取[17](variational mode extraction，VME)，并将其应用到医疗领域，实现了期望模态的快速提取。但是，VME只能针对一个中心频率提取一个分量，无法实现多分量信号的自适应分解。基于此，本文提出一种自适应变分模态提取方法(adaptive variational mode extraction，AVME)。首先，根据信号数据长度与带宽来自适应设置多分量模态中心频率参数，实现了参数的自适应设置；其次，利用循环约束的方式依次获得多分量期望模态，把信号分解问题转化为多模态优化问题，实现了对多分量信号的自适应分解。最后，为了实现滚动轴承的精确诊断，采用融合指标优选(optimization of fusion index，OFI)方法筛选最优解调分量，增强了信号特征和信息[18]。

综上，通过对滚动轴承模拟故障特征信息和低速重载滚动轴承特征信息进行包络分析，可以得到轴承的故障特征频率。同时，将其与EMD、EEMD和VMD进行对比，结果表明了论文所提方法在降噪性和耗时上的优越性。

1 自适应变分模态提取

1.1 变分模态提取

VME算法本质是一种以极低计算复杂度提取特定信号模态的方法。在提取过程中，VME将信号分解过程转化到变分框架内求解变分问题。假设一输入信号f(t)被分解为两种信号：期望模态(ud(t))和残余信号(fr(t))，则相应的变分问题构造过程可以概述如下：

(1) 对于期望模态ud(t)，它通过Hilbert变换其解析信号，然后紧凑在预估的中心频率处。其变分表达式为

(1)

式中：δ是狄拉克分布;*表示卷积。

(2) 残余信号fr(t)与期望模式ud(t)的频谱重叠部分为零，即残余信号的能量在期望模态所在频带处值最小。因此，引入惩罚函数

(2)

式中，β(t)是所用频率响应滤波器的脉冲响应。

(3) 在满足f(t)=ud(t)+fr(t)条件下，寻找期望模态的变分问题

minud,ωd,fr{αJ1+J2}

s.t.ud(t)+fr(t)=f(t)

(3)

式中，α是用于平衡J1和J2的参数。

VME将约束性变分问题转化为无约束性变分问题，利用交替方向乘法算子(alternate direction method of multipliers，ADMM)求取拉格朗日函数的鞍点[19]，即式(3)最优解，获得期望模态。

1.2 自适应变分模态提取

AVME以VME为基础，其根据信号数据长度(L)与带宽(α)来确定自适应设置多分量模态中心频率参数，把信号分解问题转化为多模态优化问题，具体实现步骤如下

②n=n+1，执行整个循环；

(4)

④根据式(5)更新ωd；

(5)

⑤根据式(6)更新所有ω>0的拉格朗日乘子；

(6)

在整个循环步骤中，AVME处理信号数据边界方法依旧采取将信号每一侧的镜像扩展为其长度的一半。AVME通过已知数据长度和步长来确定各期望模态中心频率，将各期望模态逐步从剩余信号频谱中剥离出来，再通过判断剩余信号在期望模态的中心频率处能量值为零，实现信号的自适应变分模态提取。

2 基于AVME的低速重载滚动轴承故障诊断方法

低速重载轴承一般承受较大的载荷和转速较低，故障特性有冲击间隔长、冲击响应频率低与噪音大等特点[20-21]，一般很难提取其故障频率。针对这一信号特点，模拟低速重载轴承故障信号，采用AVME算法不断对信号提取期望模态，通过变分构造手段求最值问题来获得所有期望模态，然后通过融合指标优选(optimization of fusion index，OFI)选择有用分量，即计算各分量的峭度、相关系数和正交性，然后，挑选出各个单一指标值的前三位数值及信号位次，当三指标的前三位数值中存在同一位次，选为最优分量并进行重构。最后，对重构信号进行包络分析并成功获得故障信息。综上，基于AVME的滚动轴承故障诊断方法流程图，如图1所示。

图1 基于AVME的滚动轴承故障诊断方法流程图Fig.1 Flow chart of rolling bearing fault diagnosis method based on AVME

3 仿真模拟信号分析

为了验证所提滚动轴承故障诊断方法的有效性，采用式(7)所示的非平稳周期性冲击仿真信号进行验证

x=7e-g×2πft×sin(2πft×cos(2πt))

(7)

式中：阻尼系数g=0.03;共振频率f=4 500，采样频率为1 000 Hz。x为周期性冲击信号的基本函数，通过添加信噪比为-5 dB的高斯白噪声，构成特征频率为5 Hz的仿真信号，其时域波形图和平方包络谱如图2(a)、2(b)所示。从模拟故障仿真信号的平方包络谱中可以看出，特征频率淹没在噪声中，无法判断是否具有故障。

(a) 模拟故障信号时域波形图

(b) 模拟故障信号平方包络谱图2 模拟故障信号时域波形及其平方包络谱Fig.2 Time domain waveform and its square envelope spectrum of analog fault signal

采用AVME方法对模拟故障信号进行信号分解，得到 10个分量，分解分量时域波形如图3所示。从图3可以看出，分量信号具有一定的调制信息，可以判断该信号可能存在故障。进一步采用OFI方法对AVME分解分量进行选择，表1为OFI挑选出最优分量融合指标值，最优分量为v2。对最优分量进行重构，重构信号时域波形如图4(a)所示。最后，对重构信号进行包络分析，结果如图4(b)所示。从图4(b)中可以清晰看出故障频率及其倍频成分，因此，可以判断该信号故障类型。

图3 AVME分解分量时域波形图Fig.3 Time domain waveform of AVME decomposition component

表1 OFI方法选出AVME分解分量中最优分量融合指标值Tab.1 The optimal component fusion index values of AVME decomposition components are selected by OFI method

(a) AVME重构信号时域波形图

(b) AVME重构信号平方包络谱图4 AVME重构信号时域波形及其平方包络谱Fig.4 Time domain waveform and its square envelope spectrum of AVME reconstructed signal

为了说明所提方法的优越性，分别采用EMD、EEMD和VMD进行对比分析。首先，采用EMD方法对模拟故障信号进行信号处理，自适应地分解出9个imf分量。其次，运用OFI方法挑选出最优分量imf2和imf3，OFI方法挑出的最优分量融合指标值为表2所示。最后，对最优分量进行重构，并进行包络分析，其重构信号时域波形如图5(a)所示。从图5(b)可以看出，EMD包络谱虽然也具有故障频率及其倍频成分，但是故障频率及其倍频周围存在许多干扰频率，尤其在三倍频处干扰最明显。与EMD方法类似，EEMD和VMD也采用相同的步骤进行故障诊断。其重构信号时域波形如图6(a)和图7(a)所示，同时，表3和表4为OFI挑选出最优分量的融合指标值。最后，对重构信号进行平方包络谱分析，如图6(b)和图7(b)所示。从图6(b)可以看出，EEMD包络谱虽也具有模拟故障信号的故障频率及其倍频成分，但噪音成分过多且三倍频几乎被淹没，此外，在三倍频与四倍频之间出现突出的干扰频率。在图7(b)中，VMD包络谱虽然也具有故障频率及其倍频成分，但在三倍频与四倍频出现异常干扰频率。

表2 OFI方法选出EMD分解分量中最优分量融合指标值Tab.2 The optimal fusion index value of EMD decomposition components selected by OFI method

(a) EMD重构信号时域波形图

(b) EMD重构信号平方包络谱图5 EMD重构信号时域波形及其平方包络谱Fig.5 Time domain waveform and its square envelope spectrum of EMD reconstructed signal

(a) EEMD分解重构信号时域波形图

(b) EEMD重构信号平方包络谱图6 EEMD重构信号时域波形及其平方包络谱Fig.6 Time domain waveform and its square envelope spectrum of EEMD reconstructed signal

(a) VMD重构信号时域波形图

(b) VMD重构信号平方包络谱图7 VMD重构信号时域波形及其平方包络谱Fig.7 Time domain waveform and its square envelope spectrum of VMD reconstructed signal

表3 OFI方法选出EEMD分解分量中最优分量融s合指标值Tab.3 The optimal fusion index values of EEMD decomposition components selected by OFI method

对AVME、EMD、EEMD和VMD方法的降噪性进行定量分析，将上述四种方法进行计算效率分析，分析结果如表5所示。从表5可以看出，信噪比最高的为EEMD(-6.02)，其次为EMD与VMD，最低为AVME(4.07)；耗时最短的为EMD(0.31 s)，其次为AVME与VMD，最长为EEMD(5.60 s)。因此，AVME在计算耗时和降噪方面上具有一定优势。

表4 OFI方法选出VMD分解分量中最优分量融合指标值Tab.4 The best component fusion index value of VMD decomposition components selected by OFI method

表5 EMD、EEMD、VMD与AVME重构信号的信噪比与运行速度Tab.5 SNR and running speed of reconstructed signals of EMD, EEMD, VMD and AVME

4 试验验证

为了近一步验证所提方法的有效性和实用性，本小节将其应用到滚动轴承故障试验数据中分析。试验数据来自安徽工业大学自制滚动轴承模拟故障试验台(如图8和图9所示)。试验轴承型号为6206-2RS1 SKF，滚子个数为9，内径为30 mm，外径62 mm，采用线切割技术对轴承造成故障点，外圈切割深度为0.2 mm，如图10所示。在试验过程中，负载设置为5 kN，转速为300 r/min，采样频率为10 240 Hz，采样时间为3 s。根据文献[17]，计算出其故障频率为fo=17.85 Hz。实测信号时域波形如图11所示，图12为实测信号平方包络谱。在平方包络谱图中，无法直接判断出故障类型。

图8 滚动轴承模拟故障试验台Fig.8 Test bench of rolling bearing simulation fault

图9 外圈故障轴承Fig.9 Fault of bearing outer ring

(a) 实测信号时域波形图

(b) 平方包络谱图10 实测信号时域波形及其平方包络谱Fig.10 Time domain waveform and its square envelope spectrum of measured signal

首先，采用本文提出的方法对实测信号进行自适应分解，分解得到20个模态分量，时域波形图如图11所示。其次，运用OFI方法挑选出最优分量，表6为最优分量的融合指标值。然后对最优分量进行重构，重构信号时域波形如图12(a)所示。最后，对重构信号进行平方包络谱(如图12(b))分析，从图12(b)可以看出，AVME包络谱具有明显的故障频率及其倍频成分，且周围未有异常干扰成分。故障频率及其倍频附近噪音成分较低。

图11 AVME分解分量时域波形图Fig.11 Time domain waveform of AVME decomposition component

表6 OFI方法选出AVME分解分量中最优分量融合指标值Tab.6 The optimal component fusion index values of AVME decomposition components are selected by OFI method

为了说明所提方法的优越性，分别采用EMD、EEMD与VMD进行对比分析。首先，采用各类方法对实测信号进行分解，其次，运用OFI对分解分量进行挑选，表7为OFI从EMD分解分量挑选出最优分量的融合指标值，表8与表9分别是OFI从EEMD与VMD分解分量挑选出最优分量的融合指标值。然后，对最优分量进行重构，EMD、EEMD与VMD重构信号的时域波形如图13(a)、图14(a)和图15(a)所示。最后，分别对三种方法的重构信号作包络分析，分析结果如图13(b)、图14(b)和图15(b)所示。从三种方法的包络谱中，尽管可以得到故障频率及其倍频，但是噪音成分太多。此外，包络分析VMD重构信号，发现在故障频率之前有许多异常频率成分。

(a) AVME重构信号时域波形图

(b) AVME重构信号平方包络谱图12 AVME重构信号时域波形及其平方包络谱Fig.12 Time domain waveform and its square envelope spectrum of AVME reconstructed signal

表7 OFI方法选出EMD分解分量中最优分量融合指标值Tab.7 The optimal component fusion index values of EMD decomposition components are selected by OFI method

表8 OFI方法选出EEMD分解分量中最优分量融合指标值Tab.8 The optimal fusion index values of EEMD decomposition components selected by OFI method

表9 OFI方法选出VMD分解分量中最优分量融合指标值Tab.9 The optimal component fusion index values of VMD decomposition components are selected by OFI method

(a) EMD重构信号时域波形图

(b) EMD重构信号平方包络谱图13 EMD重构信号时域波形及其平方包络谱Fig.13 Time domain waveform and its square envelope spectrum of EMD reconstructed signal

(a) EEMD重构信号时域波形图

(b) EEMD重构信号平方包络谱图14 EEMD重构信号时域波形及其平方包络谱Fig.14 Time domain waveform and its square envelope spectrum of EEMD reconstructed signal

(a) VMD重构分量时域波形图

(b) VMD重构分量平方包络谱图15 VMD重构信号时域波形及其平方包络谱Fig.15 Time domain waveform and its square envelope spectrum of VMD reconstructed signal

最后，对上述方法的重构信号作降噪性的定量分析，然后再作计算效率分析，分析结果如表10所示。从表10可以看出，信噪比最高的为VMD(-6.90)，其次为EMD与EEMD，最低为AVME(0.11)；耗时最短为EMD(11.16 s)，其次为AVME与VMD，最长为EEMD(474.91 s)。综上，AVME在故障诊断方面具有一定优势。

表10 EMD、EEMD、VMD与AVME方法信噪比(5阶)与运行速度Tab.10 SNR (Fifth order) and running speed of EMD, EEMD, VMD and AVME methods

5 结 论

针对VME单次仅能提取一个分量，无法实现多分量信号的自适应分解，提出了自适变分模态提取(AVME)方法，并将其应用于仿真和实测信号分析，通过对比，得到如下结论。

(1) 为解决单一指标无法衡量最优解调分量全面信息特征的问题，提出融合指标优选(OFI)方法，通过计算各分量的峭度、相关系数和正交性；再通过对有用信号进行重构，实现了对信号的降噪处理。

(2) AVME克服了VME无法自适应分解多分量的问题，是一种有效地自适应信号处理新方法。将其应用到模拟轴承故障信号和低速重载滚动轴承故障实测信号进行验证，同时，与EMD、EEMD和VMD进行对比分析，结果表明了本文所提方法的优越性。

综上，尽管解决了无法自适应分解多分量地问题，但其仍继承了VME固有问题例如端点效应，仅解决了多分量分解问题。针对变分模态提取固有问题仍要进一步进行深入研究。