广义HEISENBERG-GREINER p-退化椭圆算子的一类带有余项的含权Hardy不等式

王胜军， 韩亚洲

1.青海师范大学 数学与统计学院，西宁 810008；2.中国计量大学 理学院，杭州 310018

(1)

而且当2≤p

本文使用类似于文献[8-9]的方法，针对广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子，利用散度定理引入一类性质恰当的向量场，结合逼近的思想，推广了(1)式，得到了广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子的一类带有余项的含权Hardy不等式，进一步给出了最佳常数的证明.这个结果包含了已有的相关结论.

1 预备知识

广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子作为一类具有高奇性的平方和退化椭圆算子[10]，被越来越多的学者所关注，并得到了许多重要的成果[11].其构成向量场(见下文)Xj，Yj(j=1，2，…，n)在k>1时不满足Hörmander有限秩条件，从而它的亚椭圆性无法由此导出，增加了研究的难度[12-13].以下给出广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子的基本知识.

广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子形为

Lpu=divL(|Lu|p-2Lu)

(2)

设ξ=(z，t)=(x，y，t)∈R2n+1，相应于(2)式中Lp的一个自然伸缩为

δτ(z，t)=(τz，τ2kt)τ>0

(3)

与伸缩(3)式相应的齐次维数是对应的齐次维数Q=2n+2k.由(3)式诱导的一个拟距离为

(4)

通过(4)式直接计算知道

(5)

(6)

另外，定义中心在{0}⊂R2n+1，半径为R的拟开球为BR(ξ)={ξ∈R2n+1|d(ξ)

下的完备化.

2 两个重要引理

为证明(23)式中常数的最佳性，在这部分给出两个重要引理.首先定义测试函数及相关函数.

(7)

对于一个任意小的ε>0，定义下列函数

Vε(ξ)=φ(ξ)ωε

(8)

引理1对于ε>0，以下式子成立：

(9)

容易知道

(10)

通过(10)式可以知道(9)式中

(11)

容易知道

(12)

设Ωη={ξ∈Ω|d(ξ)>η，η>0}，有

再利用(12)式，得到

(13)

又由于

(14)

其中通过(6)式与(7)式知道

从而

因此，结合(13)式和(14)式有

(γ+1)Jγ(ε)=pεJγ+1(ε)+Oε(1)

利用极坐标变换(6)式，有

(15)

证已知LVε(ξ)=φ(ξ)Lωε+ωεLφ.及

|a+b|p≤|a|p+cp(|a|p-1|b|+|b|p)，a，b∈R2n，p>1

(16)

利用(16)式，有

利用

得到

(17)

结合(17)式有

(18)

其中

设

有ζ

这样

ΠB≤ΠB1+ΠB2+ΠB3

(19)

其中

以下证明

(20)

利用不等式

(a-b)3≤(|a|+|b|)3≤c(|a|3+|b|3)

有

ΠB3≤cε3Jpθ(ε)+cJpθ-3(ε)ε>0

由1-1后，再次取γ=pθ-2>-1，有

(21)

3 一类带有余项的含权Hardy不等式

(22)

特别地，在(22)式中取a=b=0，有下列带有余项的权Hardy不等式

(23)

证(22)，(23)式的证明见文献[17]中第三部分定理1的证明.

以下证明(23)式中常数的最佳性.

综合1)，2)，(23)式中常数的最佳性得证.

注1在(23)式中，取k=1，α=p，β=p时，得到(1)式.