无显性投入不确定DEA模型及应用

纪爱兵，庞佳宏

(1.河北大学 数学与信息科学学院,河北 保定 071002;2.河北大学 基础医学院,河北 保定 071000)

数据包络分析(data envelopment analysis,DEA)由Charnes等[1]创立，广泛应用于对多投入、多产出系统绩效评价的一种非参数统计估计方法.它是以优化为工具,对多投入、多产出的“部门”或“单位”(称作决策单元,decision making unit,简称 DMU)间的相对有效性进行评价的一种新的分析方法,是数学、管理学和数理经济学的一个新的交叉领域[2-3]，其基本思想是把每一个被评价单位作为一个DMU,由众多DMU组成被评价集合,通过对多个投入与产出指标的综合分析,以DMU的各个投入与产出指标的加权和作为变量进行运算,以可观察到的投入与产出建立一个包络所有DMU的相对最有效率的有效生产前沿面,并根据各DMU与有效生产前沿面的距离状况确定各DMU是否DEA有效,同时还可用投影方法指出非DEA有效或弱 DEA有效的原因及应改进的方向和程度.迄今DEA进行了多方面扩展,如可变规模报酬DEA模型[2]、动态DEA模型[4]等；另外结合系统投入和产出的数据特点，Toloo等[5]研究了含不期望投入或不期望产出的DEA模型.针对评价系统数据的不确定性，许多学者研究了随机DEA模型[6-7]和模糊DEA模型[8-11].

在实际绩效评价中，有一类情况，系统投入指标对绩效评价影响较小，绩效评价结果主要取决于系统的产出，或者投入指标很复杂，不容易获得，仅有产出指标.对这种情况的绩效评价问题，许多学者[12-14]研究了无显性投入的数据包络分析模型(DEA-WEI).在文献[12-14]的DEA-WEI模型中，产出数据都是精确的实数，但在世界一流学科建设绩效评价中，有的产出指标如“科学研究”、“学科声誉”和“社会服务”等指标难以精确量化，往往是不确定的，如区间值产出和模糊值产出.因此，研究无显性投入的不确定数据的DEA(FDEA-WEI)具有非常大的理论意义和应用价值.

首先给出无显性投入的不确定DEA模型，主要包括：无显性投入的区间值DEA模型(IDEA-WEI)和无显性投入的模糊值DEA-WEI模型(FDEA-WEI)，经典DEA-WEI模型是无显性投入的不确定DEA模型的特殊情况；然后，将IDEA-WEI模型应用于一流学科建设绩效的评价,将FDEA-WEI模型应用于一流学科周期建设绩效的评价，实验证明了提出的无显性投入不确定DEA模型的有效性.

1 预备知识

1.1 DEA模型

假设有n个具有可比性部门或单位(称为决策单元，简称DMU)，每个决策单元都有m种投入，s种产出，第j个决策单元的第i种投入为xij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，第r种产出为yrj(r=1,2,…,s;j=1,2,…，n)；用ωi和μr分别表示投入、产出权重.将被评价的决策单元表示为DMU-j0，所以，产出DEA模型[1]如下：

(1)

定义1若优化问题(1)存在最优解ωi,μr，使得效率指数hj0=ωixi0=1，则称DMU-j0弱DEA有效.

定义2若优化问题(1)存在最优解ωi,μr，满足hj0=ωixi0=1,并且ωi>0,μr>0，则称DMU-j0为DEA有效.

1.2 模糊DEA模型

模糊DEA模型可以通过将原始DEA模型中的精确投入、产出数据更改为模糊投入、产出数据而得到,其中模糊投入CCR模型如下:

(2)

求解模糊CCR模型的方法主要有以下几种：基于模糊数比较规则而建立的模型[11],基于截集方法[8]和可能性方法[9]等.

1.3 DEA-WEI模型

假设有n个决策单元，每个决策单元有s个产出(没有明显的投入)，第j个决策单元的第r种产出为yrj(r=1,2,…,s;j=1,2,…，n)，记ψ={yrj|r=1,2,…，s;j=1,2,…,n}；用μr表示产出权重.设被评价的决策单元为DMU-j0，则DEA-WEI模型如下：

(3)

定义3若优化问题(3)存在最优解μr，使得E0(ψ)=1,则称DMU-j0为DEA有效.若E0(ψ)<1,则称DMU-j0为DEA无效.

1.4 模糊数及模糊数排序

记I(R)={[a,b]|a≤b,a∈R,b∈R}为区间数的全体，F(R)为模糊数全体.

在不确定决策中，经常要用到排序，在I(R)上定义全序[15](满足自反性，对称性和传递性)“”：[a,b][c,d]⟺a+b≤c+d或者a+b=c+d，b-a≤d-c.

2 无显性投入不确定DEA模型

假设有n个决策单元，每个决策单元有s个产出(没有明显的投入)，第j个决策单元的第r种产出为yrj(r=1,2,…，s;j=1,2,…,n)，记ψ={yrj|r=1,2,…,s;j=1，2,…，n}.在很多情况下，产出指标yrj为不确定性数据，如区间数或模糊数，本节将无显性投入的实值DEA模型拓展到无显性投入的不确定DEA模型，利用区间值或模糊值的产出yrj(r=1,2,…,s;j=1,2,…,n),给出对n个决策单元的绩效评价和绩效的排序方法.

2.1 IDEA-WEI模型

(4)

(5)

(6)

显然,式(5)(6)分别等价于下面线性规划:

(7)

(8)

2.2 FDEA-WEI模型

上面研究了产出数据是区间数的DEA-WEI模型，其不确定性体现在数据有一定的变化幅度，在实际应用中由于人们认识的主观性，还有另一种不确定数据，数据的边界是模糊的，对这种不确定性数据,最好的表示方法是模糊数.

(9)

(10)

(11)

显然，式(10) 和式 (11) 等价于以下优化问题：

(12)

(13)

3 FDEA-WEI模型的应用

3.1 问题描述

学科评价是高等教育评价中的范畴，其评价指标体系也是不断发展变化的，早期的重视教学、师资、办学条件等，逐渐转变为融合人才培养、科学研究、社会服务等体现大学职能的综合性评价.学科评价是一个复杂的评价体系，因为学科众多，各个学科又有其特殊性，许多学科建设绩效评价指标具有不确定性，甚至模糊性.利用无显性投入的不确定DEA对一流学科建设绩效更符合学科评价的特点.

通过对教育部等3部门颁布的《“双一流”建设成效评价办法》等国家政策文件的解读、国内外学科评估体系的调研及相关文献的梳理，确定无显性投入的不确定DEA方法对一流学科建设绩效评价的产出指标，收集相关学校学科产出指标数据，利用构建的无显性投入的不确定DEA对这些学校学科建设绩效进行评价并排名.

3.2 应用实例1

在国家“双一流”建设大背景下，各省均启动了“双一流”建设，某省欲在各学科选拔1～2个学科作为省“双一流”建设学科，但考虑到各个学校管理体制和投资渠道的复杂性，仅考虑产出的绩效评价，本文以管理学一级学科建设绩效评价作为实例.

近4年产出指标[19-20]包括：

1)人才培养(Y1)：在高校中人才培养主要反映的是为社会培养合格的人才，这主要体现在学生的质量和数量上，因为各学校学生层次不同，主要包括本科生数量、硕士生数量以及博士生数量.许多研究是以本科生作为标准“1”统一折合，用区间数表示更为精确，把各类毕业生人数作为区间的左端点，以折合后的数(硕士生为1.5，博士生为2)为右端点.

2)科学研究：科研成果可以从2个方面来考查，包括科研质量、科研数量.各高校所获得的科研数量主要有以下几个方面：科研项目数、专著出版数、论文发表数、专利数；科研质量主要是通过国家级项目、省级项目、校级项目等项目的级别来评估的.

①论文和论著数(Y2):因种类和层次(一般刊物，核心期刊，三大检索和高被引论文等)不同可折合，用区间数表示；

②项目数(Y3):包括国家级项目、省级项目、校级项目等，考虑到级别不同须折合为一个数，用区间数表示；

③专利数(Y4).

3)社会服务(Y5)：包括继续教育或成人教育、委托培养、科研攻关、技术转让、政策咨询等，是一个复杂的指标，统一折合为区间数.

某省2013—2017年管理学产生数据见表1，利用IDEA-WEI模型对该省管理学学科建设进行评价，绩效评价结果见表2.

表1 某省2013—2017年管理学科产出数据Tab.1 Output data of managenent discipline fom 2013 to 2017

表2 管理学科建设区间值绩效Tab.2 Interval-valued efficiency of management discipline

从表2可知，DMU5是学科建设绩效评价强有效单位，DMU1和DMU2为学科建设绩效评价有效单位，DMU3、DMU4、DMU6、DMU7、DMU8和DMU9为学科建设绩效评价无效单位.利用区间数的排序方法[15]，这9所高校管理学科建设绩效评价排名情况如下：

DMU5≻DMU2≻DMU1≻DMU3≻DMU4≻DMU6≻DMU7≻DMU8≻DMU9.

3.3 应用实例2

数学学科建设绩效评价的产出指标Y1,Y2,Y3,Y4与应用1相同，考虑到数学学科的特点和4年周期绩效评价的需要，本应用中再增加评价指标Y5:学科声誉.考虑到数据统计的误差和数据的复杂性，有的产出数据是一个估算值，有的数据是定性评价，这种情况用模糊数表示更为客观、准确.数据见表3.

表3 某省2013—2017年数学学科产出数据Tab.3 Output data of mathematics in a province from 2013 to 2017

表4 10所高校数学学科模糊绩效的αi-截集Tab.4 αi-cut of fuzzy efficiency of mathematics discipline of 10 univeristies

4 结语

以上讨论了不确定环境下无显性投入的生产系统的绩效评价问题，首先给出了IDEA-WEI模型，并将该绩效评价模型应用于某省管理学一级学科建设的绩效评价和绩效排名；然后给出FDEA-WEI模型，讨论该模型的一些性质，并将FDEA-WEI应用于一流学科1周期建设绩效的评价与排名.以上研究将DEA-WEI模型推广到产出数据为区间值和模糊值的情况，经典DEA-WEI模型是本研究的一种特殊情况.