由“一道习题”反观“一个单元”

钱利萍

摘 要：数学教师要重视对教学内容的整体分析，要了解数学知识的由来，认识数学知识的结构与关联。为了帮助学生深入理解平均分的内涵，并顺利过渡到对除法的学习，本文将对一道习题的思考延伸到对一个单元的分析，尝试从运算关系的角度对小学数学单元种子课“认识平均分”例1、例2的教学内容进行重构，以凸显数学知识之间的联系。

关键词：小学数学;单元重构;平均分;运算关系

一、一道习题引发的思考

苏教版小学数学二年级上册第四单元中《表内除法（一）》的“认识除法”板块后安排有“练习八”供学生对板块内容进行练习巩固，其中教材第51页的第4题（如图1）引发了笔者的思考：

（一）在学生眼里，这幅图是什么意思？与上个单元刚学习的乘法有什么相同和不同之处？

【分析】图中问题的已知条件：2个鱼缸里共有10条金鱼，每个鱼缸里分别有5条。学生联系刚学习的除法的两种含义，会将图片理解为10条金鱼平均分成2份，每份5条，对应算式是10÷2=5，或10条金鱼，每5条为一份，可以分成2份，对应算式是10÷5=2。若将图1的条件变一变，将金鱼总数设计为新的数学问题（如图2），学生观察分析后会理解为要求2个鱼缸中的金鱼有多少条，再根据乘法意义列出算式：2×5=10或5×2=10。

教师可充分利用这组图片素材，引导学生将乘法和除法这两种运算方式的意义进行对比。两者的相同点：每份同样多。两者的不同点：乘法是求几个相同的加数合起来是多少，结果指向“合”;除法是把总数平均分，过程和结果都指向“分”。以此让学生在具体的情境中初步体会乘法与除法的互逆关系。

（二）如果金鱼总数还是10条，但两个鱼缸里的金鱼数量不同（如图3），这一问题可以和先前学习过的哪些知识相联系？

【分析】把10条金鱼分为2份，会出现两种情况：一是每份数量相同，即平均分（如图1）;二是每份数量不同（如图3）。一年级的学生在数学学习中已经初步构建了关于减法意义的模型：已知总数和其中一部分数，求剩余部分的数（如图4）。从减法的意义来看，总数分成两部分，不管每份数量是否相等，求其中一部分均可以用总数减去另外一部分。因此，图4问题的数学算式为8-3=5。图3求其中的一部分的数也可列式：10-4=6或10-6=4。图1的算式也可以列为10-5=5。因为图1是平均分的情况，所以这一情况除了可以用减法表示，还可以用除法算式表示，这便是产生除法的源头。

（三）立足单元整体，如何在“认识平均分”的教学中做好运算关系的重构和联系？

【分析】减法是将平均分和除法紧密联系的纽带，建立平均分与除法之间的关联可以从“分”和 “减”入手。将物品平均分，分一次便减一次，当减数较多时就需要用除法来计算。除法又是乘法的逆运算，除法的产生和计算与乘法息息相关。因此，在单元种子课“认识平均分”的教学中，教师将除法和减法、除法和乘法之间的关系厘清，对学生后续理解除法运算有十分重要的意义。

二、教材单元内容分析

学生经历了上述思考和分析，对加法与乘法的关系有了一定的理解，对减法和除法、乘法和除法这些运算关系的本质也有了一定的了解和感悟。在此基础上，教师再看教材的编排：苏教版小学数学二年级上册第四单元《表内除法（一）》的内容可分两个板块：“认识除法”和“用口诀求商”（如图5）。

教材把对“平均分的过程就是连续减几个相同减数的问题”的理解放到了“用口诀求商”板块。从运算关系的角度看，这样的编排理念相对滞后，教材不能很好地解释除法算式产生的过程及其必要性。对“除法是乘法的逆运算”这一知识点，教材中也没有单独安排例题进行专题讲解，只是在相关练习中安排了乘除法的题组比较[1]。笔者认为，这一单元作为让学生初步认识除法的单元，其对学生感知和理解互逆关系的作用需要教师在教学过程中加强。

三、重构后的教学实践

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：要整体把握教学内容，注重教学内容与数学核心素养的联系。因此，教师要重视对教学内容的整体分析，了解数学知识的由来及其结构与关联。笔者站在单元整体的视角，尝试从运算关系的角度对“认识平均分”的教学内容进行重构。

（一）经验唤醒，在比较中认识平均分

1.动画激趣，唤醒分物经验

引入：生活中我们常常会遇到分东西的情况，请看动画片——猫妈妈给小猫咪买来了6条小鱼，要分成两堆，她可以怎么分？一个圆片代表一条小鱼，想一想有几种分法？拿出圆片试一试。

学生操作，教师巡视并选取学生不同的分法展示在磁板上（如图6）：

学生根据以前学过的知识想出了三种不同的小鱼分法，我们来分别比较一下两堆的数量，哪堆多？

第一种：3条和3条，两堆一样多。

第二种：1条和5条，右边一堆多。

第三种：2条和4条，右边一堆多。

教师追问：哪一种分法和另外两种不一样？为什么？（学生回答：第一种。两堆一样多）

说明：我们平时在分物品的时候，也常常需要将其分成同样多的几份。今天我们就专门来研究这种分法。

2.多维操作，聚焦概念本质

要求：将6个圆片分成每堆同样多的分法还有哪些？请同学们试着分一分。

学生操作，教师巡视采集并展示在磁板上（如图7）：

小结：这3种分法，都将6个圆片分成了同样多的几份，也可以说每份分得同样多（板书：每份分得同样多）。

要求：同学们能不能选择不同数量的圆片自己分一分，使得分出来的每份数量同样多？

辨析：不管是用6个圆片，还是自己选择一定数量的圆片，同学们虽然分的份数不一样，每份的个数也不一样，但是都有什么相同的地方？（学生回答：每份分得同样多）这样的分法就是数学上的平均分（板書：平均分）。

3.反例判斷，加深概念理解

提问：下面的分法是平均分吗（如图8）？

明确：每份不是同样多，所以不是平均分。

追问：同学们能想办法改一改，使萝卜的分法变成平均分吗？

教师还可以由生动的动画引出问题：6条小鱼分成2份，可以怎么分？自然唤醒学生已有的分物经验，在三种不同分法的数量比较中突出研究的焦点——每份数量同样多。教师再通过多层次的动手操作，让学生获得丰富的直观体验，经过辨析，提取平均分概念的本质是“每份分得同样多”，将平均分的含义烙印在学生心中。最后展示萝卜图，让同学在反例中加深巩固平均分概念。

（二）多元分析，在操作中学会平均分

1.扶着学：分析分的过程，表达分的结果

引入：同学们现在已经认识了平均分的概念。猫妈妈邀请聪明的同学们去她家做客，她拿出了什么来招待我们呢？

课件出示（图9）：8颗糖，每个同学分2颗，可以分给几个人？

审题：同学们读到了哪些重要信息？开动脑筋想一想，“每个同学分2颗”是什么意思？

要求：从学具里拿出8个圆片，按要求分一分。

示范：谁愿意到黑板上把自己的分法展示给大家看？请你一边分一边说。

小结：刚才同学们动手分一分，分了4次，就能知道糖可以分给4个人。（板书：分一分）

提问：如果不用圆片，直接在图上表示每人分2颗，可以怎么做？

预设：画圈、连线、用竖线分隔等。

根据学生回答进行课件示范（图10）：同学们真聪明，想出了不同的符号来表示每人分2颗。老师选了其中的一种符号来表示：

启发：同学们学习数学，会分一分或者圈圈画画还不算厉害，要是能把刚才分一分、圈一圈的过程用算式记录下来，那才是学习数学的高手。你们看，不管是分一次，还是圈一次，都是在8颗糖中划出2颗，这个过程可以用什么算式来表示？（课件动态演示）（引导学生联想到减法算式：8-2）再分一次，又少了2颗，怎么记录？（引导学生列出算式：8-2-2-2-2=0）

小结：回头看看刚才我们分糖果的过程——先动手分一分，分了4次;然后在图上圈一圈，圈了4次;接着又用减法算式记一记（板书：记一记），减了4次;这样就知道分给了4人。看来，分发糖果有不同的方法，但最后都分成了4份。

2.自主学：强化平均分体验

提问：这时，热情的猫妈妈又拿出了水果来招待客人。（课件出示）10个橘子，每2个分一袋，可以分成几袋？9个草莓，每3个装一盘，可以装几盘？（如图11）

审题：同学们读一读，想一想，橘子和草莓要怎么分？下面就请同学们拿出活动单，圈一圈，记一记，再把你得到的结果填一填。

3.回头看：抽象出平均分的模型

小结：回头看看刚才的学习过程，同学们用不同的方法帮助猫妈妈分了8颗糖、10个橘子、9个草莓，分的时候分别先确定每人2颗、每袋2个、每盘3个，用一句话来说，就是先确定了什么？（板书：每几个一份）再照这样分一分、圈一圈或记一记，就得到了要分的人数、分成的袋数、装的盘数，也就是分成的份数（板书：分成几份）。

提问：请同学们观察这三种分法，它们是不是平均分？

明确：每份都一样多，这种分法是平均分。

这一环节主要帮助学生建立将一些物体按“每几个一份”平均分的概念模型。教师将教材的例2改编成情境：分8颗糖果、10个橘子、9个草莓。三个活动的教学由扶到放，层层推进。活动1分糖果的教学中，紧扣“每人分2颗”，让学生经历多种分析方式，如操作分析——动手分一分;符号分析——圈一圈、连一连、画分隔线等;算式分析——用连减算式记录;语言分析——说一说平均分的结果。不同的分析方式使学生初步理解“每人分2颗”的不同表示方法都能获得关于平均分的概念。接着，教师可以放手让学生自主学习，强化其对平均分的过程和结果的体验，从而逐步使其建立将一些物体按“每几个一份”平均分的概念模型。

（三）开放练习，在交流中强化平均分

引入：客人们要回家了，猫妈妈给客人准备了12个苹果。这一次，要请同学们自己确定每份的数量，然后可以用分一分、圈一圈和记一记的方法表示出来，最后填空。（如图12）

学生独立完成问题，教师捕捉交流素材，组织全班交流。

关注：12个苹果，每1个为一份，可以分成12份，即12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0。

引导体验：同学们用减法记录分法时要减12次“1”，有些麻烦。

相比于上文的自主练习，学生这一次要自己确定每份的数量，自由选择不同的分析方法来算出平均分的结果。这样的练习给学生更多选择和思考空间，为学生的深度学习提供合适的机会，也为接下来的联动交流提供了丰富的素材。

（四）前后联系，在勾连中拓展平均分概念

提问：今天学习了平均分的概念，同学们有没有联想到我们以前学过的什么知识？

引导体验：由每份数量一致想到多项求和可以用乘法计算。

平均分的教学对学生理解除法意义至关重要。平均分与除法之间有着怎样的联系呢？为什么除法可以表示平均分？除法从运算角度上看，是同数连减的简便运算。平均分具有双重概念，既能表示“分过程”——等分和包含，又能表示“分结果”——每份分得同样多。学生理解平均分的过程可以用连减算式来表示。当要连续减去的数比较多时，写起来比较麻烦，学生对新算式的需求也就悄悄生根，平均分与除法也在此刻联贯。而平均分与乘法的关系更是密不可分，对于平均分的结果，学生可以用口诀直接获得，将两者进行联系也为学生后续用口诀求商的学习做好铺垫。

[参考文献]

陈云.单元重构：凸显知识联系：《表内除法（一）》单元教学设计[J].教育研究与评论（课堂观察），2020（1）：38-42.