如何理解“数量关系”

吕港丽 郜舒竹

【摘   要】数量关系是数学课程中的重要内容之一，基于文献考察，解读数与量及数量关系的内涵，可知数量关系是学生通过定量运算在头脑中建构的關于量之间的关系结构，而数是用来计算量的值的工具。从量的角度认识和思考世界对学生发展意义重大，定量推理不仅是有效解决问题的一种方法，更是一种思维方式，通过关注数学问题中的量及量的关系，学生能够深刻地理解问题的本质，发展数学理解和推理的能力。在数量关系的教学中，教师应引导学生正确识别情境中的量，并通过定量运算构建定量关系，从而发展定量推理的能力。

【关键词】数量关系;问题解决;定量推理

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）在第二学段（3～4年级）数量关系部分明确提出“在具体情境中，认识常见数量关系……总价=单价×数量、路程=速度×时间;能利用这些关系解决简单的实际问题”，并在对数感的定义中提到“数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟……建立数感有助于理解数的意义和数量关系”。根据《课程标准》的描述可知，数量关系是数学课程中的重要内容之一，并且与数感、问题解决息息相关。在实际教学中，学生在解决问题时，往往会在理解题意和分析数量关系上存在困难，那么数量关系应如何理解？学生该如何学习数量关系？

一、数量关系的基本内涵

“数量”一词的广泛使用，容易让人将数与量的意义混淆，对数量关系认识模糊。早在17世纪，德国著名哲学家莱布尼茨（Leibniz）就对数与量的概念进行了区分，他指出量（quantity）是物质的属性，体现某种度量（measurement）的可能性，而数（number）是由度量产生的结果。因此，度量搭建了量与数之间的桥梁，度量一个量时是将其与单位（unit）进行比较，而度量的结果用数来表示。[1]英国哲学家罗素（Russell）将量分为广延量（extensive quantity）与强度量（intensive quantity），其中可以直接度量的量称为广延量，如长度、高度等，但并非所有的量都可以直接度量，那些无法直接度量的量称为强度量，如温度、速度等。[2]汤普森（Thompson）指出广延量可以用绝对单位来度量，绝对单位本身是与被度量的广延量同类的量，而强度量只能用相对构造的单位来度量，即强度量的单位来源于人心智的生成，如速度的单位是路程与时间的比率（rate），是人创造出来的。[3]

强度量的单位是两个不同类量的比率，这是一种心理操作，属于定量运算（quantitative operation）。定量运算是指人利用已知的量设想出新的量，是一种概念运算，与对情境的理解有关，其中加法比较两个量会产生差（difference），例如身高差。乘法比较两个量会产生比（ratio）或比率（rate），例如速度。定量运算是一种基于量的心理活动，来源于人的自身经验，例如将两个量相加来源于将部分组成整体和将整体分开形成部分的经验，而将两个量相乘来源于以分配（share）为目的的匹配（match）与细分（subdivide）的经验。[4]定量运算区别于算术运算，算术运算是用于计算量的值的数值运算，而定量运算是对一个量如何存在的描述，定量运算与在给定情境下实际用于计算量的值的算术运算之间没有直接的对应关系。例如小明比小红高15厘米，他们的身高差比跳跳和淘气的身高差要大5倍，那么跳跳和淘气的身高差是多少？解答：15÷5=3（厘米），在这种情况下，除法用于计算差值，尽管差值通常意味着减去。每一次定量运算都建立了一种关系：用于定量运算的已知量与运算产生的新的量之间的关系。例如，将“这个班的女生人数”和“这个班的男生人数”进行乘法比较，得到“女生人数与男生人数的比”，这三个相互关联的量就构成了一个定量关系（quantitative relationships），定量关系是三个量的概念，其中两个量通过定量运算确定第三个量。在算术关系中，三个相关数中任意两个都可以决定第三个数，而如果一个量被认为是由另外两个量通过定量运算产生的，那么它们之间的关系是不能改变的。

综上所述，明确数量关系的内涵，首先要明晰数与量之间的区别与联系，根据莱布尼茨的说法，量是物质的属性，而数是用来描述量的语言工具。人类通过度量来认识量，而那些无法直接度量的量则通过心理上的定量运算对其概念化，并建构相互关联的量之间的关系结构。因此，数量关系更准确地说是量之间的关系，而数是用来计算量的值的工具，公式则是描述计算量的值的算术方法的表达式。学生对情境的理解是通过构建定量关系的网络来建立的，可见数量关系并非知识性的公式，而是学生在头脑中建构的关于量之间的关系结构，具有过程性和创造性，并且离不开学生的自身经验。

二、定量推理

数量关系通常与数学问题紧密联系，一个数学问题一般可以用算术或代数的方法解决。其中算术解决方案包括显示问题中的数字，并了解这些数字之间的关系，根据这些关系在数字之间应用正确的算术运算。代数解决方案包括写出一个含有未知数的方程并求解这个方程。除了这些方法，一个数学问题还可以通过关注量与量之间的关系来解决，这种方法被称为定量推理（quantitative reasoning）。算术解决方案的重点是数之间的关系，代数解决方案的重点是将数关系转化为代数符号，而定量推理解决方案的重点是表达定量关系并处理定量关系。[5]汤普森将定量推理定义为将一种情境分析成一种定量结构（quantitative structure），即量和定量关系的网络。在此基础上，摩尔（Moore）认为定量推理提供了一个理论，强调学习者以一种能够进行推理的方式来构思量，即定量推理是指人构思一种情境（例如，运动员赛跑），构建他所构思的情境的量（例如，经过的时间或跑的距离），以及推理这些量之间的关系（例如，跑的距离、经过的时间和平均速度之间的关系）的心理行为，学生通过定量推理建构定量结构，并在此基础上进行反思，发展数学理解和推理的能力。汤普森在介绍定量推理时，给出了这样一个例子：“我从家走到学校需要30分钟，哥哥需要40分钟，哥哥比我早走6分钟，我将在几分钟内超过他？”这是一个常见的行程问题，通常采用代数方法建立一个方程，（6+t）·[d40]=t[·d30]，然后求t，类似的问题经常出现在代数教科书中。而定量推理方法的步骤如下：（1）想象一下“我”和哥哥走在一起：重要的是我们之间的距离，以及距离变为0需要多长时间;（2）我们之间的距离以我们行走的速度差的速度缩小;（3）“我”用哥哥[34]的时间走同样的距离，所以“我”走路的速度是哥哥的[43];（4）由于“我”走路的速度是哥哥的[43]，所以我们的速度差是哥哥速度的[13];（5）我们之间的距离以哥哥速度的[13]缩小到0，所以距离变为0所需的时间是哥哥早走时间的3倍;（6）因此，18分钟后“我”会超过哥哥。这个例子反映了定量推理强调通过关注问题情境中的量及定量关系来进行思考和推理，在分析问题时，首先对情境中的量进行非数字推理，然后揭示这些量之间的关系，再考虑数字之间的关系，以及用于计算量的值的算术运算。BC511FD1-3693-4259-AAB1-E7F37823ECDA

从20世纪80年代开始，问题解决一直是国际数学教育的重要研究课题，2011年，问题解决首次在“义务教育数学课程标准”中出现，其内涵直指“四能”，即发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。以往关于问题解决的研究表明，所有年级的学生在理解问题时都可能存在困难，例如，戈尔丁（Goldin）指出，诸如动词句法、想象、数学符号、计划、组织和控制以及情感系统等支持系统是问题解决的重要方面，对系统的任何干扰都可能导致解决问题的困难。[6]坦比奇克（Tambychik）和米拉（Meerah）指出，学生在问题解决的过程中存在困难的主要原因是缺乏数学技能，如算术技能、信息技能、语言技能、视觉空间技能（可视化数学概念、有意义地操纵几何形状和空间的技能）等。[7]汤普森还指出，问题解决过程中遇到的困难可能是由于未能引入定量推理技能，这种技能考虑了量之间基本、具体的关系。根据汤普森的观点，定量推理技能的获得既有助于理解算术中的数表达式和运算，也有助于理解代数中的符号表达式和运算，还有助于发展问题解决的技能。在这种情况下，还有一些研究者的研究也支持了这样一个事实，即定量推理技能的发展可以确保问题解决技能的发展。例如，埃利斯（Ellis）对两组学生的数学归纳能力进行了研究，一组主要关注定量关系，另一组主要关注与量无关的数字模式。研究结果表明，基于量和定量关系进行教学的这一组学生可以更有意义地归纳现实生活问题中的期望关系。[8]摩尔和卡尔森（Carlson）在对大学生进行的一项研究中，观察到在解决现实世界问题中具有定量推理技能的学生可以更有意义地解决问题，定量推理是学生发展有意义的数学理解的核心。[9]此外，汤普森、斯特夫（Steffe）、伊扎克（Izsak）等研究者主张定量推理是代数推理的基础，关注量之间的关系，而不是关注与有意义对象无关的数，可以帮助学生更好地学习代数。[10]

定量推理不仅是有效解决问题的一种方法，更是一种思维方式，这种思维方式有助于学生打破算术思维的束缚，通过关注数学问题中的量及量的关系，更深入地理解问题的本质，发展数学理解和数学推理能力。因此，在课堂教学中，学生定量推理能力的培养是值得被关注的。

三、数量关系的教学

在小学数学教材中，数量关系主要包括“单价×数量=总价，速度×时间=路程”，很多教师将数量关系看作是知识性的内容教给学生，在这种情况下，学生习得的是对计算公式的熟练运用，却没有真正获得对量及量的关系的深刻认识。教师应认识到数量关系的教学不能仅把关注点放在公式的学习和运用上，更重要的是让学生能够在自主探寻情境中的量及量的关系的过程中，在头脑中建构定量关系的网络，发展定量推理的能力。

（一）引导学生正确识别情境中的量

数量关系并非数与量的关系，而是量之间的关系，数量关系的教学起点应在于引导学生识别问题情境中的量，学生首先要找出有哪些量，才能进一步理解量之间的关系。汤普森指出，学生往往倾向于用数来命名量，例如“哥哥的储蓄有200元”，通常将“200元”看作是量而不是将“哥哥的储蓄”看作是量，如果学生不能区分客体到底是一个量，还是对量的度量，那么他们解释量之间的关系将会受到阻碍。分析数学问题时，教师应引导学生正确识别情境中的量及度量单位，并在此基础上，通过适当的定量运算构建定量关系，在这一过程中应区分广延量与强度量，其中广延量（如长度、重量等）是能直接度量的量，可以直接用来进行定量运算，而强度量（速度、单价等）则是由定量运算产生的结果，学生应经历建构强度量概念的过程，才能更好地理解强度量。

（二）帮助学生通过定量运算构建定量关系

学生对复杂情境的理解依赖于定量关系网络的建立，而定量关系的构建来源于恰当的定量运算，定量运算是基于量的心理运算，与学生的自身经验息息相关。因此，在课堂上应尽可能地为学生提供真实的情境或能够调动学生经验的活动，鼓励学生借助情境和经验进行思考，让学生有体验和思考的空间，例如，皮亚杰（Piaget）在研究儿童速度概念的建构时指出，儿童对速度的认知是從可视的“超车”现象开始的[11]，那么在学生初次学习速度时，教师可以设置玩具小车的运动情境，让学生在观察过程中思考小车运动的快慢与运动时间、路程有什么关系，当学生形成对路程、时间与速度之间关系的初步感知后，再逐渐引导学生抽象出比率关系。

（三）培养学生定量推理的思维方式

汤普森等人研究发现，学生在问题解决的过程中，大多采用算术或代数的方法，很少进行定量推理，如果学生的思维被算术运算所束缚，可能会影响他们问题解决能力的发展。教师应鼓励学生从量及量的关系的角度来认识和思考世界，例如，角的度量既可以用角度制也可以用弧度制来表示，并且二者可以相互转换，其中弧度制是指用弧长与半径的比率来度量对应圆心角的大小，这是一种从量的角度来理解角的方式。通过这种方式，学生能更好地认识角的特征，即角的大小与对应圆弧的长度与半径的比率有关，而与角的顶点无关，因此在小学阶段学习角时，可以适当地让学生探索圆心角与对应弧长之间的关系。[12]

总之，数量关系指向的是量之间的关系，而数是用来计算量的值的工具。学生通过定量运算在头脑中建构关于量之间的关系结构来实现对情境的理解，这是一个具有创造性的过程，离不开学生的自身经验。在数量关系的教学中，教师不应仅关注学生对公式的学习和运用，更要让学生在探索情境中的量及量的关系的过程中，学会用“量”的眼光观察世界，用“量”的思维思考世界，发展定量推理的能力。

参考文献：

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[9]MOORE K C， CARLSON M P. Students images of problem contexts when solving applied problems[J].Journal of Mathematical Behavior， 2012， 31（1）： 48-59.

[10]ELLIS A B. Algebra in the middle school： developing functional relationships through quantitative reasoning[J]. Early Algebraization， 2011：215-238.

[11]PIAGET J. The childs conception of movement and speed[M]. New York： Ballantine， 1970：121-305.

[12]TALLMAN M A， FRANK K M. Angle measure， quantitative reasoning， and instructional coherence： an examination of the role of mathematical “ways of thinking” as a component of teachers knowledge base[J]. Journal of Mathematics Teacher Education， 2020，23（1）： 69-95.

（首都師范大学初等教育学院   100048）BC511FD1-3693-4259-AAB1-E7F37823ECDA