S -型色氨酸生物合成系统的双层优化

胡冬梅, 徐恭贤

(渤海大学 数学科学学院, 辽宁 锦州 121013)

为了提高产物色氨酸的产率,国内外学者在色氨酸生物合成系统的优化研究方面已经做了很多研究工作[1-10],取得了一些成果。例如:文献[4]对于色氨酸生物合成的稳态优化问题,提出了可用线性规划算法进行近似求解的间接优化方法,提高了色氨酸的产率;文献[5]在IOM方法的基础上,提出了修正的迭代IOM方法,提高了色氨酸的产率;文献[6]在S -系统建模框架下,构建了以色氨酸产率最大为优化目标,以稳定性要求作为约束条件的稳态优化问题,提高了色氨酸的产率。但目前的研究工作较少考虑色氨酸生物合成系统的代谢成本问题。为此,本文首先在S -系统建模框架下研究色氨酸生物合成系统的稳态优化问题,给出其双层优化模型,然后基于罚函数法思想提出了一种双层规划求解方法,最后对结果进行了比较分析。

1 色氨酸生物合成的S -系统模型

色氨酸生物合成的S -系统模型[4-5,9]可表示为

2 色氨酸系统的双层优化问题

为了实现在最小的代谢物浓度之和J2下,使色氨酸产率J1达到最大,基于文献[4-5,9],本文针对S -型色氨酸生物合成系统(1)～(3),构建如下双层优化问题:

(4)

0.8(Xi)0≤Xi≤1.2(Xi)0,i=1,2,3,

10-5≤Y1≤0.006 24,

4≤Y2≤10,

500≤Y3≤5 000,

Y4=0.002 2Y2,

1≤Y5≤1 000,

(Y6,Y7,Y8,Y9)=(7.5,0.005,0.9,0.02)。

其中,(Xi)0(i=1,2,3)表示基本稳态。这里取

经过对数变换,优化问题(4)可转化为如下形式:

(5)

minJ2=eln(X1)+eln(X2)+eln(X3),

ln(0.8(Xi)0)≤ln(Xi)≤ln(1.2(Xi)0),i=1,2,3,

ln(10-5)≤ln(Y1)≤ln(0.006 24),

ln(4)≤ln(Y2)≤ln(10),

ln(500)≤ln(Y3)≤ln(5 000),

ln(Y4)=ln(0.002 2)+ln(Y2),

ln(1)≤ln(Y5)≤ln(1 000)。

若令:

那么双层优化问题(5)可以表示成如下形式:

(6)

minJ2=ex1+ex2+ex3,

s.t.v+-Adx-Aidy=α,

y4-y2=ln(0.002 2),

若令:

z=(xT,yT)T=(z1,z2,…,z8)T;

v=((v+)T,(v-)T)T;

θ=(αT,βT)T;

zL=((xL)T,(yL)T)T;

zU=((xU)T,(yU)T)T;

那么问题(6)可以写成如下形式:

(7)

minJ2=ez1+ez2+ez3,

s.t.v-Az=θ,

z4-z2=ln(0.002 2),

zL≤z≤zU。

3 双层规划问题的求解

迄今为止,求解双层规划问题的方法有很多种,例如,学者们提出了填充函数法、非内点同伦方法、双层多目标粗糙非线性规划问题帕累托前沿的新算法等[11-16]。本文利用罚函数法,对于给定的向量v,下层规划为凸规划,利用下层规划的K-K-T最优性条件替换下层,从而问题(7)可转化为如下单层规划问题:

(8)

v-Az=θ,

z4-z2=ln(0.002 2),

ezi-wi+ui+bp=0,i=1,2,3,

-wj+uj+cp=0,j=4,5,6,7,8,

wT(Ez-zL)+uT(-Ez+zU)=0,

zL≤z≤zU,

w,u≥0。

式中:b表示AT的第i行;c表示AT的第j行;E为64阶单位矩阵,令

w=(w1,w2,…,w8)T,

u=(u1,u2,…,u8)T,

p=(p1,p2,…,p6)T。

因为问题(8)存在互补松弛条件wT(Ez-zL)+uT(-Ez+zU)=0,所以采用罚函数法,得到如下单层优化问题:

(9)

v-Az=θ,

ezi-wi+ui+bp=0,i=1,2,3,

-wj+uj+cp=0,j=4,5,6,7,8,

z4-z2=ln(0.002 2),

zL≤z≤zU,

w,u≥0。

其中,λ>0为罚因子。令

综上所述,本文提出的求解算法为:

步骤1 初始化:步长α>0、精度ε=10-6、罚因子λ>0, 令i=0。

步骤2 求解问题(9),记最优解为(dλ(i),gλ(i),vλ(i),zλ(i),wλ(i),uλ(i),pλ(i))。

步骤3 如果(wλ(i))T(Ezλ(i)-zL)+(uλ(i))T(-Ezλ(i)+zU)<ε,则问题(7)的最优解为(dλ(i),gλ(i),vλ(i),zλ(i)), 终止; 如果(wλ(i))T(Ezλ(i)-zL)+(uλ(i))T(-Ezλ(i)+zU)≥ε, 令λ=λ+α,i=i+1, 转回步骤1。

表1 非线性规划问题(4)的最优解

4 优化结果

非线性规划问题(4)的计算结果如表1所示。从表1中可见,本文获得的色氨酸产率为5.729 7, 相应的代谢物浓度之和为1 144.151 7。与基本稳态时的色氨酸产率和代谢物浓度之和相比,本文得到的色氨酸产率为基本稳态时的4.373 1倍,代谢物浓度之和为基本稳态时的80.17%。

表2是本文所用的方法与已有单层规划方法[2,4-5]的结果比较,从表2中可知,本文方法所获得的过渡时间τ和代谢性能ψ都得到了极大的改善,其中过渡时间τ由原来的1 089.225 6降至199.687 8,为基本稳态的18.33%;代谢性能ψ从0.001 2提高到0.028 7,为基本稳态的23.916 7倍。

表2 本文方法与已有单层规划方法的计算结果比较

5 结 语

本文研究了S-型色氨酸生物合成系统的稳态优化问题,考虑到色氨酸生物合成系统存在代谢能力和代谢成本的自优化特点,构建了一个在最小代谢成本条件下使色氨酸产率达到最大的双层规划模型。应用罚函数法将所构建的稳态优化问题转化为新的非线性规划问题。计算结果表明,本文不仅在最小代谢成本条件下获得了较高的色氨酸产率,而且极大地改善了代谢物浓度之和、过渡时间和代谢性能等其他3个重要的生物技术指标。所以,得到的优化结果更具实际意义。