开展度量实验 感悟数学模型——《长（正）方形面积计算》教学思考与实践

文|韦波富

《长（正）方形面积计算》是苏教版三年级下册的教学内容，该内容是面积计算教学的种子课，其探究的经验对以后其他图形面积计算教学有着引领、启示作用，因而显得尤为重要。该内容也是学生从长度的一维度量走向面积的二维度量的起始课，长×宽=长方形面积，这个结论看似简单，实际理解起来比较困难。面积是量出来的，为什么两个一维的长度相乘就得到二维图形的面积？两个长度单位的量相乘（如2 米×3米）其结果为什么是面积单位（如平方米）？这些问题需要教师帮助学生在学习过程中厘清。长方形面积的计算方法是一种间接的测量方法，是在直接测量的基础上总结出来的一个简捷的、优化了的、具有一般性的数学模型，这个模型反映了长方形面积与长方形要素之间的内在关系，其模型的建构过程对学生数学素养的发展具有非常重要的价值。基于以上认识，以数学度量实验活动为学生主要学习方式，进行了教学上的改进设计。

一、调动长度测量经验，突出图形测量的原理

奥苏泊尔说：假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一最重要的因素，就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。图形的测量对象主要有长度、角度、面积和体积，其测量的原理是一致的，即用具有同一属性的测量单位去覆盖、填充、匹配。学生在学习长方形面积计算前已经具备长度测量的经验，这对面积测量的学习具有正向的迁移价值，符合学生认知发展的阶段性以及方法原理的一致性。

在课始阶段安排学生对线段的测量进行回顾和梳理，以期调动学生关于长度测量的基本经验，为下面学习面积的测量提供原理上的支撑。出示一条6 厘米长的线段，组织学生围绕以下三个问题进行交流：你准备怎样量这条线段的长度？如果不以0 刻度为起点，怎样确定长度值？测量更长的或者更短的长度，可以选择什么长度单位去量？通过交流，学生进一步明确测量长度需要用测量工具——尺，以及测量单位，测量的结果是多少就是看它有多少个这样的长度单位，即单位的累加。这一原理将贯穿学生图形测量学习的始终。

二、设计面积测量实验，发现单位测量的方法

本节课的一个显性目标就是引导学生发现长方形面积的间接测量方法：长×宽。如何让学生发现？不同版本的教材有着不尽相同的设计理念。比如苏教版教材与人教版教材，苏教版是通过用面积单位测量三个不同的长方形面积发现的，而人教版则是通过用面积单位摆出几个不同的长方形发现的。我认为苏教版教材的设计更符合度量的原理和学生的认知起点。用面积单位去度量，这是学生解决问题的原点。在用面积单位直接度量的过程中发现可以通过长度计算的方法得到长方形的面积，这是基于测量原理又不囿于测量原理的一种策略选择。长方形面积的测量方法就是看一行有几个面积单位、有几行，需要学生能够在实际测量过程中逐步发现并进行抽象。

教学中，我首先让学生思考：要知道一个图形的面积有多大，怎么办？在形成“用面积单位去量这个图形，看有多少个这样的面积单位”共识的基础上，组织学生开展下面的小组实验活动。

实验材料是6 个1 平方厘米的小方块和3 个长方形。三个长方形大小不一（实际使用时长和宽的长度不标出来）。学生在测量的过程中会发现：①号长方形用6个小方块正好覆盖，面积就是6平方厘米；②号长方形，6 个小方块只够量长边或短边，需要想其他办法去量，如一行一行地量，或者先量一行可以摆几个，再量有几行等；③号图形的测量难度更大，难就难在6 个小方块既不够摆一行，也不够摆一列，有了②号图形的测量基础和经验，学生想出了多种办法，如通过移动小方块方法量出一行有几个，有几行，或者直接用直尺量出长是几厘米就是一行可以摆几个，宽是几厘米就是可以摆几行。至此，“长×宽=长方形面积”已经呼之欲出。三个长方形的设计是有梯度的，旨在引导学生在实验的过程中不断产生冲突，在解决困难的过程中发现每行的个数、行数与长方形长、宽的联系，既突出了度量的原理，又发展了学生的空间想象能力和创新的意识。在这个活动中还突出了长方形面积单位的确认，以及为什么是平方厘米的追问，让学生明白用平方厘米这个面积单位去量，其结果就是多少平方厘米。

三、控制实验对象变量，感悟间接测量的模型

几何学就是研究如何构建空间度量方法的学科。把长方形面积和它的长与宽建立实质联系，是本节课重点研究的问题。而这种联系不是硬生生的，需要一个逐步感悟的过程。于是对现有教材进行了补充，设计了第二个测量实验活动。

这个实验的变量是什么？

第一，从“活动一”用平方厘米量推广到用平方分米和平方米量，通过这一变化让学生体会到虽然度量单位不一样，但都要将长与宽划分成若干个小单位，然后将若干个面积单位进行累加，即度量的原理是一样的，只不过用平方分米量的结果就是多少平方分米，用平方米量的结果就是多少平方米。③号图形的面积究竟是用平方米还是平方分米来测量？学生在选择时是有一个纠结过程的。这个设计是基于平时对学情的了解。大家知道，有些练习题需要将长度单位统一后再计算面积，但至于为什么要这样做，教师和学生却不甚清楚。其实这是度量的一种需要。③号图用平方米来测量显然不合适，因为沿着宽不够摆一个，沿着长摆的话够摆一个但不够摆两个，而用平方分米测量时，宽正好摆6 个，长可以摆几个呢，这时候就需要将1米5 分米转化成15 分米，就能知道一行可以摆的个数。

第二，从“活动一”的动手测量实验，到“活动二”学生需要在头脑里进行分的操作，想象出一行摆几个，可以摆几行，再将每行的个数与行数相乘。通过这种变化让学生体会到用面积单位测量后的计算方法是相同的，都是用：每行摆的面积单位的个数×摆的行数。通过这个活动，进一步强化了面积与长和宽的关系，形成一种强烈的心理倾向，即用长乘以宽就是长方形的面积，从而建构起长方形面积的数学计算模型。这样的数学模型不是冰冷的公式，而是与度量过程相伴相生的，是有意义的，是可以用度量原理解读的。

四、聚焦面积测量本质，追求测量方法的共存

在以往的教学中往往会发现这样一种现象，当长方形面积的计算方法总结出来后立即组织运用公式进行面积计算的练习，把用单位测量累加的度量原理完全抛之脑后，前后教学要求界限非常明显，有一种大功告成的感觉。这样安排学生获得的是运用公式机械计算的技能，而与“度量”的本质无关，不利于学生量感的培养以及后续的平行四边形、三角形等图形面积测量的教学。从学生认知的特点来看，一个规律的发现或者一个结论的得出需要一个逐步内化的过程。从解决问题的方法来看，通过面积单位直接测量和运用公式间接测量这两种方法在面对不同的问题时会呈现出各自的优势。如何组织教学才能让面积公式运用与测量原理共存并重？于是设计组织了第三个数学活动。

三个问题的设计始终没有离开用面积单位累加这一度量本质，让它伴随着学生的认知活动“再多飞一会儿”，不断地得以内化。在此过程中面积计算公式也时常登场，交替使用，融为一体。第3题结合生活场景解决实际问题，学生可以在头脑中摆一摆、量一量解决问题，也可以运用公式算一算找到答案，将计算公式与度量原理之间实现了有机对接，使得解决问题的方法途径更为灵活。

结合这三个问题的讨论，教师引导学生围绕“长和宽都是边的长度，相乘后为什么是长方形面积”这个问题对长（正）方形面积计算的公式进行解读，进一步明确：“长”实际上是指用相应的面积单位去量，得到的是每行可以摆的个数，“宽”实际上是指用面积单位去量，得到的是可以摆的行数；长×宽，实际上是“每行的个数”ד行数”。 经过这一讨论，就赋予了长方形面积计算公式以实质性的内涵，不再是单纯字面上的含义。

法国伟大的数学家庞加莱说：如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。这句话启示我们，学生空间观念的形成不是凭空实现的，需要在度量的实践中培养和造就，而间接的度量方法则需要在大量的实验中发现和提炼，使这一度量模型真正成为沟通现实世界与数学之间的桥梁。