“万以内数的认识”教学前知识调查与启示

文|陈 敏 吕琼华

一、研究背景

学习取向的教学设计理论强调把学习者的已知看作教学的起点和最重要的因素。认知导向的教学（Cognitively Guided Instruction，简称CGI）强调儿童本身具有解决问题的直觉知识和非正式经验，好的教学应当认识并发挥这些基础，引导儿童主动学习、交流改进，真正的发展思维。近年来，“以学定教”的观念越来越深入人心。有经验的教师在备课时必然会考虑学生的起点进而对原教材的编写作出反思，从而制定更切实际的教学目标并设计相应环节。但研究也指出，很多教师在做教学起点分析时，往往倚重经验而忽视证据，或者泛泛而论，未能针对具体的课节主题等，因此影响教学的有效性。

“数的认识”是小学数学主要课程内容之一，其中认识自然数又是认识其他数的基础。认识自然数最重要的有两个方面。其一，认识自然数的构成，即认识到自然数的基本单位是1。其二，掌握最常用的自然数记数法——十进制记数法。这两方面的认识并不是一节课就能完成的。当前我国各地使用的小学数学教材虽不尽相同，但对这一部分内容，各版本教材的序列安排基本一致，大致分四个阶段完成：一年级上册认识20 以内的数、一年级下册时认数范围扩展到100、二年级下册学习万以内的数、四年级上册引进比万更大的数，整体反思后形成对自然数结构以及十进制记数法的系统性认识。于是“万以内数的认识”就变成一个很有意思的知识节点：在它之前，学生对较小自然数的读、写、组成有了一些基本经验；在它之后，比万更大的数，可以从万以内（个级）数结构迭代的角度加以理解。那么，在这节课中，应该如何去认识和对待学生的学习起点。可以直接利用的是什么？需要帮助强化的是什么？以及，是否存在学生未能主动察觉，而需要教师创造任务去督促提升的“关键性概念理解（Key Development Understanding）”？

本研究拟针对“万以内数的认识”开展学生起点调查，希望据此获得一些教学和研究的启示。一方面为教师有效教学自然数的认识，合理确定每一教学阶段的特定目标积累资料；另一方面，也藉此反思一线教师在针对特定学习主题做起点分析时可能采取的策略和遭遇的问题。

二、调查方法

2022年3月初，我们邀请到本市一所公办学校二年级下学期两个班学生（共计74 人）参与我们的学情调查。调查以书面练习的形式进行，由所在班级数学教师协助组织练习，并回收练习卷，但不需要教师协助批改。

本调查主要考查学生基于生活经验，以及先前对百以内数的认识，自发地对千以内、甚至万以内数的认识达到了什么水平。全卷一共分四个大题，第1 题以填空的形式呈现，共五个小题，前面两小题是教材和统考中非常常见的对于相邻计数单位之间十进关系的提问，如10 个一百是（ ）；后面三小题主要针对过9 数发问，如199 加1 是（ ）；999 加1 是（ ）。第2 题考查数数技能，分别要求学生以1 为单位计数，从991 数到1000；再以10 为单位计数，从900 数到1000。第3 题以计算题形式呈现，实质为考查学生对计数意义的理解。根据有关研究，儿童对复合单位（composite unit）以及对复合单位进行协同的水平显著影响儿童数概念的发展和四则运算理解能力等。所以我们尝试围绕十进制计数单位提供了4 类共8个算式：第1、2、3 个算式只涉及1 个计数单位的计数，如100×8；第5 个算式，100+1000，稍微复杂一些，涉及两个计数单位的协同；第4 个算式（500×2）和第7 个算式（2000+3000）需要学生自己去分析整百、整千数的单位构成，算出结果；最后，第6 个算式（100×5+1000）和第8 个算式（100+1000×5），计算时应先分不同计数单位分别计数，再做不同单位之间的协同。练习卷的最后一题是开放题，询问儿童在生活中是否见过1000 和10000，并要求他们作图或文字说明具体情境。

参与调查的学生使用浙教版教材，在进行练习时，已经学习了百以内数的认识，尚未学习三、四位数的认识。练习卷的批改由本文作者1 完成，作者2 做了复核。

三、调查结果

第1 题，绝大部分学生掌握较好，除第（5）小题外，其他题目的正确率均接近甚至超过90%。

可以认为儿童已经了解了一些计数事实，但还没有认识到背后的计数和记数结构，突出表现为大数的写法出现问题，不确切知道过9 以后究竟产生了几个0。

表1 计数单位和过9 数的掌握情况统计表

第2 题，学生1 个1 个计数三位数的正确率达到了98.6%，10 个10 个数的正确率也达到了90.5%。10个10 个数错的学生，主要错误为：中间有漏数的情况，比如从950 跳过了960，直接到了970；有3 个学生把10 个10 个数，理解为了100、100 地数，直接写了“900，1000”。

第3 题，学生的正确率如下图。

以算式表征的单位计数问题的掌握情况统计图

此次调查对象的表现同已有的儿童计数研究相比，既有一致的地方，也有自己的特点。整体而言，题目涉及到的计数单位越多，彼此协同的形式越复杂，答题的正确率就越低。错误率最高的正是预设中认为最复杂的第4 类问题，如100×5+1000，学生对此的回答可谓五花八门：5100、1500、1050、150、2000……而结果也表明，如果是一步计算，则无论是1 个计数单位计数（100），还是两个计数单位相加（100+1000），包括要学生自己分析计数单位的（2000+3000 等），实际难度相当，正确率都超过80%；其中最高发的错误，还是在记数时究竟要写几个0，如这六个算式中正确率最低的第3（2）题，10×100，很多学生写了100、10000，个别学生写了110。这些情况提示我们，学生可能已经掌握了一些多位数计算的标准方法，但并没有从数的意义的层面去推导答案。

第4 题，学生提供的包含1000 和10000 的具体情境可归纳为如下表2——

表2 学生自发接触1000 和10000 的情境统计表

综合以上，我们认为学生学习三、四位数的现实起点较为复杂，他们对计数和计算相关的程序性知识已超前掌握，对既有教材和测试中出现过的常规性问题达到了很高的正确率。但是，在计数和计算的概念性理解方面则存在盲点，需要加以关注，着重突破。

首先，对于三、四位数的读、写、数（shǔ），以及一些常规的相邻计数单位之间的进率问题，儿童看似达到了相当高的正确率。但是，通过分析典型错误，就能发现他们在完成这些任务时，带有很大的直觉成分、记忆成分。当数小于100 时，儿童读数和写数都不需要做结构化的考虑，随着自然数的进一步增大，就需要在头脑中慢慢建立起数位顺序表，在数位、位数和计数单位之间建立起明确的联系，就不会出现各种“0”的乱象了。

其次，从完成简单的整百、整千数的计算情况来看，儿童对涉及多个计数单位的多个水平的计算存在一定问题。这不仅验证了先前研究所指出的单位协同水平是儿童数概念发展的一大指征，提示我们在认数教学中要重视“单位”概念。我们应考虑到在非正式的学习场景中，认数和计算往往是两个割裂的活动：填空说明数的组成意义是一回事，完成多位数的加减计算时又往往另教一套算法规则。在正式学习时，就要打破这种人为的割裂、机械的学习，创造机会让儿童体验以算式表征计数意义，据计数意义发明计算程序，以此发展学生的符号意识、推理能力，树立积极的数学观和数学学习观。

最后，虽然在日常生活中，儿童也有很多机会接触到1000 和10000 之类的大数，但比较多的停留在形式化的表征，比较少数量方面的真实感知，即使是数量方面的感知，也只模糊地和“很多”等同起来，缺少定量的刻画。教学时既要充分依托这些儿童熟悉的日常景象，又要引导儿童结合计数知识分析数量构成，有理有据地推导出1000 和10000 件具体物品究竟是怎样一种数量感受，沟通数与量的关系、数学与生活的关系，发展数学意识和数学眼光。

四、总结与讨论

本次研究首先分析了教材关于自然数认识的整体安排，明确“万以内数的认识”单元的特殊定位，在此基础上参考过往习题和试题，以及一些数概念研究资料，编制了一份调查问卷，重点考查学生两方面的储备知识，一方面是百以内数的正式学习，一方面是关于三、四位数的非正式学习。结果发现学生关于读数、写数、计算等程序性知识掌握较好，而许多后继学习需要的概念理解和思维经验存在不足，由此概括出新课教学的三大目标：1.从逐位满十进一的经验到整体观照学习过的数位，建构起“个级”的基本结构，养成按结构认数、读数和写数的意识和习惯。2.认数和计算相结合，经历以算式表征计数意义，据计数意义推导计算结果的过程，积累依托数学符号进行思考和交流的经验，发展推理能力。3.将数的认识与量的体验结合起来，以现实量感进一步丰富对数的认识，借数的结构更好地分析数量多少，沟通数学与生活的联系。

通过学前调查，可以更好地觉察学生真实起点与教材预期之间的距离，制定适应性的教学目标，设计针对性的教学任务，更好地体现学生是学习的主体，学习是学生思维成长的过程。

但是，我们也发现当前儿童学习的真实起点非常复杂，通过非正式的学习渠道，儿童对一些程序性知识普遍存在超前掌握的情况。若在学前调查中，再简单依据教材常规的习题，以及过往高频考题来编制问卷，往往会由一种形式化的掌握现象掩盖掉他们在概念性理解方面的缺失。这就要求教师广泛涉猎相关研究，对教学内容和儿童学习有深层次的理解，充分考虑调查问卷的信效度问题。只有在问卷具有良好信效度的前提下，收集到的学生知识才能作为制定教学目标和评价教学设计的有效证据。