抓住数量关系本质 建构解决问题模型

周柳娥

[摘 要]从解决数学问题的认知过程来看，学生要先在具体的情境中抽象出数学问题，再通过模型的建构掌握数量关系。模型的建构是区分学生水平的环节，教师应在教学稍复杂的数量关系时，结合基本数量关系和常见数量关系建构等量关系模型，帮助学生抓住问题本质，进而建构解决问题的模型，提高学生解决问题的能力。

[关键词]数量关系;本质联系;模型结构

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）08-0038-04

史宁中教授指出，数学的本质表现在数量关系中。数量关系是问题中所叙述的两个或两个以上的数量之间的大小关系。对数量关系的研究一直是基础教育阶段数学教学的重点，如果教师不注重数量关系分析的教学，学生解决问题的基本活动经验无法得到积累，学生遇到数量关系稍复杂的问题时也就无从下手。

学生在解决问题时，一般经历如图1所示的认知过程。首先，要从呈现的问题或情境中抽象出数学问题;接着，通过对数学问题的分析进行“模型建构”，这个环节是关键的环节，要求学生能从复杂的文字条件中抽象出数量关系;最后，根据建构的模型获得结果，也就是我们通常说的用数量关系列式解答。

在该模型中，“模型建构”是区分学生水平的环节，这也说明了数量关系在解决问题中的重要地位。“模型建构”在整个小学阶段分为三个层次：第一层要求学生从加、减、乘、除四种运算的意义入手理解基本数量关系，学生对基本运算意义的正确理解，是解决一切复杂数学问题的根本和基础;第二层要求学生分析与把握课程标准中提出的两个常见数量关系——“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”;第三层要求学生融合基本数量关系和常见数量关系建构稍复杂的数量关系。

在实际教学中，学生对基本数量关系和常见数量关系掌握得较好，但一旦涉及稍复杂的数量关系，学生就会出现障碍。如何帮助学生消除障碍呢？笔者以人教版六年级上册第三单元“分数除法解决问题”为例，阐述具体的做法。

一、探寻联系，整合教学

分数除法解决问题共有四个类型（如表1），前两个类型（对应课本第37、38页内容）是分数乘法解决问题类型的逆向问题，它们之间数量关系相同，单位“1”不同（已知或未知）。

在实际教学中，学生解决分数除法问题的正确率与解决分数乘法问题的正确率相比，呈现大幅度下滑。然而，解决分数除法问题，学生只需要根据分数乘法的意义，借助直观的线段图找到数量关系，即可列出方程并解方程。回归课堂我们发现，因部分教师的教学呈点状结构，故导致学生认知结构缺失。学生缺乏对数量关系的分析，自然也就没有抓住解决问题与数量关系的本质联系。分析教材可知，分数乘法解决问题和分数除法解决问题之间的数量关系存在一定的联系（如图2）。

分数乘法解决问题中的“求一个数的几分之几是多少”是基础，而“求比一个数多（少）几分之几的数是多少”可以转化为“求一个数的几分之几是多少”;分数除法解决问题中的“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”同样可以转化为“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，且“已知一个数的幾分之几是多少，求这个数”又是“求一个数的几分之几是多少”的逆向问题。如，爸爸的年龄比爷爷的年龄小[25]，以爸爸的年龄为单位“1”可以转化为“爷爷的年龄是爸爸年龄的（1+ [23]）”，或以爷爷的年龄为单位“1”则可转化为“爸爸的年龄是爷爷年龄的（1- [25]）”。如果再往前追溯，“求一个数的几分之几是多少“与“求一个数的几倍是多少”也是相关联的（单位“1”相同）。

从学情来分析，学生已经有根据等量关系列方程解决问题的经验，即知道从描述两个量的关系入手列出等量关系。在学习分数除法解决问题时，学生可以调用列方程解决问题的经验进行迁移学习，或利用分数乘法解决问题的经验来寻找等量关系。

因此，在教学分数除法解决问题时，可以整合“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”和“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”这两个类型，将教学的重点放在数量关系的分析上，将教学的难点放在探寻分数乘除法解决问题的数量关系上。在整合时，教师要依托数学问题解决建构认知模型，通过分析关键信息、设计题组，引导学生在对比中抓住数量关系的本质联系。

二、结合情境，抽象问题

在解决问题的教学中，让学生从数学的角度发现数学信息，并提出数学问题是形成数学思考、解决数学问题的重要前提。分数除法解决问题的数量关系是复合的数量关系，关键是要寻找到其中的等量关系。

1.理解情境

师：学校的课后服务课程丰富多彩，今天我们走进苗苗合唱团去看一看。（出示图3）合唱团里既有女生又有男生，线段图描述了男、女生人数之间的关系，是一种什么关系呢？请你选择喜欢的方式表示它们之间的关系（可以用文字、等量关系式等）。

生1：从图中我知道男生人数比女生少[2/3]。

师：你从哪里看出男生人数比女生少[2/3]？

生1：可以将女生人数看作单位“1”，虚线部分表示男生人数比女生少[2/3]。

生2：我用等量关系来表示男、女生人数的关系，女生人数×（1- [2/3]）=男生人数。

生3：我也是用等量关系来表示的，女生人数-女生人数×[2/3] =男生人数。

生4：我发现，男生人数是女生的[1/3]。

【解读】教师结合学校的课后服务课程情境，用线段图直观呈现了合唱团男、女生人数的关系，再引导学生观察图意，根据线段图提取数学信息，并用不同的方式来表达他们之间的等量关系，即“男生人数比女生少[2/3]”或“女生人数×（1- [2/3]）=男生人数”，初步建构了等量关系的模型，为后面交流分数乘除法解决问题做好铺垫。

2.抽象问题

上述片段中，学生只从情境中提取了合唱团男、女生人数关系的数学信息，没有形成完整的问题。为了帮助学生固化问题的模型，教师可以给予学生空间，由学生来构建分数乘除法解决问题的模型。

师：从线段图中可以看出男、女生人数之间的关系。如果将“男生人数比女生少[2/3]”当作一条信息，你可以提出什么数学问题？

生5：信息不全无法提出问题，至少要有两条信息才行。

师：是呀，还缺少一条信息。老师为大家提供了两条信息（如图4），请你先从中选择一条信息，再提出一个问题，并在线段图中补充题目的信息和问题，最后解答。（学生独立完成）

师：你选择了哪条信息？提出的问题是什么？

生6：我选择的信息是“女生有36人”，提出的问题是“男生有多少人”，即女生有36人，男生人数比女生少[2/3]，男生有多少人？

生7：我选择的信息是“男生有12人”，提出的问题是“女生有多少人”，即男生有12人，男生人数比女生少[2/3]，女生有多少人？

【解读】仅有“男生人数比女生少[2/3]”这条信息，不能形成一个完整的问题，让学生在提供的两条信息中选择一条，再提出问题，不仅培养了学生发现问题、提出问题的能力，而且在学生的头脑中构建了生活问题的模型。在学习时，学生如果从数学的角度收集了数学信息，并发现或提出了数学问题，那么他们就会产生探索的欲望。

三、类比梳理，呈现结构

在教学中，教师精心设计有效的题组，就好比为学生搭建了一个梯子，让他们沿着台阶一步一步地往上走，自主地完成知识的建构。當学生提出的问题形成了一个“题组”，而“题组”内的问题之间存在一定的联系，一旦有知识的迁移应用，就能为一个知识系统的形成起到促进的作用。此时，教师要抓住时机引导学生进行类比。

师：前面同学们提出的两个问题中，哪个是我们学过的，哪个是没有学过的呢？

生8：生6提出的问题是我们学过的分数乘法解决问题，生7提出的问题是没有学过的。

师：谁来解答这两个问题？

生9：生6提出的问题我这样解答——将女生人数看作单位“1”，在表示女生人数的线段上标36人，在表示男生人数的线段上标问号（如图5）。根据前面我们得到的等量关系“女生人数×（1- [2/3]）= 男生人数”，列式为36×（1- [2/3]）= 12（人）。

师：生7提出的问题大家会解答吗？谁来分析并解答？

生10 ：将女生人数看作单位“1”，已知男生有12人，在表示男生人数的线段上标12人，在表示女生人数的线段上标未知数x（如图6）。根据前面我们得到的等量关系“女生人数×（1- [2/3]）=男生人数”，可以列方程x×（1- [2/3]）= 12，解方程得x= 36。

师：观察比较这两个问题，它们有什么相同点和不同点？小组交流一下，看看大家发现了什么？

生11：两个问题的等量关系是相同的，一个是已知单位“1”，可以通过等量关系列乘法算式即可解决问题;另一个单位“1”未知，但通过等量关系列出方程也可解决问题。

【解读】解决问题的过程就是一个不断建模的过程，学生在观察比较、讨论交流中，把相似、相近的问题区别开来，找出它们的差异，从而加深对所学知识的理解。分数乘除法解决问题在本质上是相同的，表现为：①在分析关键信息（描述两个量关系的信息）的基础上，提炼出等量关系;②无论是分数乘法还是分数除法解决问题，它们的等量关系都是相同的。利用新旧知识之间的联系，探寻“相同”与“不同”之处，丰富学生的认知。

四、勾连发展，建构模型

“解决问题”的教学目标不是为了学生能解决某一道题，而是帮助学生建构解决某一类题的模型。将问题“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的解决作为分数除法解决问题的引入，在学生掌握解决问题的方法后，引导学生将这类问题与其他问题进行勾连，从而建构出解一类题的模型。

师：通过观察线段图，同学们不仅得出“男生人数比女生少[2/3]”，还知道“男生人数是女生的[1/3]”，这个关系怎么理解呢？

生12：从线段图中可以看出，如果将女生人数看作单位“1”，表示男生人数的线段正好占女生人数线段的[1/3]。

师：还可以表示什么意思？你是怎么想的？

生13：如果将男生人数作为标准，我们还可以看出“女生人数是男生的3倍”。

师：同学们太棒了，从线段图中看出了男、女生人数之间不同的等量关系。如果我们将前面两个问题中的“男生人数比女生少[2/3]”这条信息替换成“男生人数是女生的[1/3]”或“女生人数是男生的3倍”，可以得到哪些问题？（出示题组）

（1）女生有36人，男生人数是女生的[1/3]，男生有多少人？

（2）男生有12人，男生人数是女生的[1/3]，女生有多少人？

（3）女生有36人，女生人数是男生的3倍，男生有多少人？

（4）男生有12人，女生人数是男生的3倍，女生有多少人？

师：这个题组你会解答吗？（学生独立完成）

师：通过关键信息的变换，你又有什么发现？

生14：虽然关键信息变换了，但是依然可以从关键信息中寻找两个量之间的关系并列出等量关系式，再根据单位“1”是否已知来判断是用算术法解答还是列方程解答。

师：无论是分数乘法还是分数除法解决问题，我们都需要先找出描述两个量关系的信息，分析等量关系后再选择合适的方法解答，如它们之间可以转化为“求一个数的几分之几是多少”的类型，再往前追溯就是“求一个数的几倍是多少”的类型。

【解读】倍数和分数的问题解决之间既有变化又蕴含着不变和联系，用男生人数比女生少[23]“还可以表示什么意思？”的问题，引导学生通过类推发现，由“一个数比另一个数少几分之几”到“一个数是另一个数的几分之几”，再到“一个数是另一个数的几倍”，虽然条件变了，但是男、女生人数的等量关系没变，它们是可以互相转化的。这既能帮助学生提炼方法，丰富知识间的联系，也能让学生把握各知识间相互联系的本质，重建认知结构。

五、分层练习，迁移结构

练习是加深知识理解、熟练和巩固答题技巧的环节。在设计练习时，不能局限在低阶思维层次，而应该适当融入高阶思维层次，满足不同学生的需求，提升习题训练的边际效益。

1.先画出线段图列出等量关系式，再解答。

（1）小明重多少千克？

（2）小明的体重是35 kg，他的体重比爸爸的体重轻[8/15]，小明爸爸的体重是多少千克？

2.下图表示课后服务课程中跳绳社团和合唱社团的人数之间的关系。

（1）以下哪些选项的表述是正确的。

A.跳绳社团的人数比合唱社团的人数多[1/4]

B. 跳绳社团的人数比合唱社团的人数多[1/5]

C. 跳绳社团的人数是合唱社团人数的[5/4]

（2）从（1）中选一个正确信息，将下题补充完整（把序号填在横线上）并解答。

跳绳社团有60人，______，合唱社团有多少人？

3.你能根据等量关系“演讲社团的人数×[3/7]= 绘画社团的人数”编几个不同的问题吗？（引导学生从不同的角度补充信息并提出问题）

【解读】第1题是利用教材中的例题设置的，属于基础题;第2题则是类比题，再次沟通分数乘除法解决问题之间的关系，固化等量关系的联系;第3题属于拓展题，强化学生建构数量关系的模型，有助于发挥学生的潜能。在层层挖掘知识点的基础上，采用不同的形式设计不同层次的练习，这样的题组促使学生在循序渐进中不断突破自己，让学习能力得到发展。

综上所述，在分数乘除法解决问题的教学中，教师应分析教材的结构，寻找知识之间的联系，抓住数量关系的本质，溯本求源。同时，要结合学生的实际实施教学，帮助学生建构模型，引领学生一起经历知识“新”的生长点，落实应用意识，促进课堂内涵的发展，使课堂呈现更亮丽的“风景线”。

（责编 李琪琦）