巧用知识迁移，促进“集合”教学

田志锋

[摘 要]“数学广角——集合”是学生学习集合思想的重要一课。文章从跨学科的视角探寻和利用有利于集合教学的前概念知识，以促进课程间的融合，引导学生有效学习，同时提出提高“集合”教学效率的建议。

[关键词]迁移;集合;维恩图

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）08-0014-03

旧知识是新知识的基础，新知识又是旧知识的延伸。迁移可以让学生在学习新知的过程中联系已有的知识和经验，从而触类旁通，更好地解决新问题。下面以人教版教材三年级上册“数学广角——集合”的教学为例，阐述如何巧用知识迁移助力学生的数学学习。

一、案例回放

1.课堂教学

师：学校定于下周五举行趣味运动会，请三年级各班选拔9名同学参加跳绳比赛，8名同学参加踢毽子比赛。你认为三（1）班要选拔多少名同学参加这两项比赛？

生1：根据条件，得出参加这两次比赛的总人数为8+9=17（人）。

师：参加比赛的总人数是17人吗？你们看看这张参赛学生名单，发现了什么？

出示三（1）班参赛学生名单统计表：

生2：参加跳绳和踢毽子的名单中有一些人重复计算了，应该把重复的人去掉。

（师生总结，得出“重复”的概念）

师：在这个统计表中，你能一眼看出哪几位同学参加了两项比赛吗？

生3：不容易一眼看出来。

师：能不能想个好方法，让人一眼就可以看出参加这两项比赛的一共有多少人？

生4：在重复的三个人的名字下面画线，提醒只要算一次就可以了。

生5：把重复的三个人的名字划去，算完其他的人后，再把这三个人的名字加上就可以了。

生6：把重复的三个人的名字拿出来，放在表格外面，最后再加上。

杨明 刘红 李芳

生7：重新画一个表格，把只参加一项比赛的写成两行，重复的那几人，再写一行。

生8：用连线法，把重复的三个人连在一起，这样就不会多算了。

……

（学生给出了各种方法，但始终没有想出类似“维恩图”（集合图）的方法。教师只能出示“维恩图”，然后介绍其历史渊源。整个探究环节下来，一节课已过了一大半。这时教师加快教学进度，让几名学生说说图意并列出算式后，便草草结束课程了。）

2.课后学生反馈

出示：三（1）班参加合唱兴趣小组的有12人，参加舞蹈兴趣小组的有18人，两个兴趣小组都参加的有8人，只参加一个兴趣小组的有（ ）人。

（结果近一半的学生用“12+18-8”的方法求出结果是22人）

师：为什么先把合唱兴趣小组和舞蹈兴趣小组的人数加在一起，再减去8人呢？

生1：因为有8人既参加合唱兴趣小组又参加舞蹈兴趣小组，所以要减去重复的8人。

师：这题没有要求参加兴趣小组的一共有多人。

生2：求的是只参加一个兴趣小组的有多少人，也要把8人减去。

听了学生的回答后，笔者感到既可爱又好笑，这个题目的问题明明和例题的有区别，学生却“死用”例题的方法解答。为什么一節充满思维乐趣和探究味的课却有这样的教学效果呢？

二、教学反思

为什么该教师要这样安排教学？集合思想对于学生来说并不陌生，一年级的“认识数”就蕴含着集合思想，如1支铅笔、2架飞机、3只小鸟等;“比一比”的教学内容就是通过一一对应方法让学生建立两组相等的数量;数的运算，也可以从集合的角度理解，如加法其实就是两个交集为空集的集合的并集，减法其实就是求一个集合与其子集的差集。由此可以看出，学生在之前已多次接触过集合相关知识，按理应该不陌生，但细细分析后发现，其实这些知识与本节课中的带有重叠部分的“集合”的交集是不同的，再加之集合思想很抽象，本节课的学习对于学生来说是一个很大的挑战。因此，教师采取了让学生经历知识的形成过程的教学模式：自己发现问题、提出问题、探究问题、解决问题，体会数学知识的来龙去脉，加深对集合思想的理解。正如弗赖登塔尔所言：“学习数学唯一正确的方法是实行‘再创造’，也就是由学生自己去发现或创造要学的东西;教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”

可是这个“再创造”过程是何等艰难，且不说一些学生面对这个问题没有方法，就是有了方法，也是天马行空般任意发挥，而且这种发挥可能会随着学生“另类”思路的出现，引发其他学生想到更“另类”的方法，这直接导致大量课堂时间流逝在“创造”之中。当师生共同探索并得出维恩图后（更多的是在教师的引导下得出的），也就没有多少时间分析和应用维恩图了，特别是没有时间深入解读维恩图各部分的意思了，致使课堂教学“头重脚轻”，自然也就使得学生对维恩图的理解只停留在表面。

为什么不从先前的经验中找到与之匹配的学习经验，利用迁移开展教学呢？教育心理学指出：“迁移是学习的一种普遍现象，根据迁移的作用，几乎所有的习得经验都可以以各种复杂的方式相互联系起来。”“所有的学习都涉及原有经验的迁移。”数学学习也是如此，当学生面对一个新情境时，最先想到的是能不能用已有经验来解决这个问题，或是把这个问题与原有知识建立起有效联系，当新知识与旧知识能建立起联系之时，学生对新知识的接受度便大大提高，课堂参与度也自然提高。

对于维恩图，学生到底有没有前期经验？把视角放宽一些，在更广泛、跨学科的背景下思考时，会有意外的惊喜。对于维恩图，学生不仅有经验，而且经验还很丰富。三年级上册科学教材（教育科学出版社）第3课“大树和小草”的结尾（如图1）就有“把大树和小草的相同和不同之处记录在下面的维恩图中”的说明，并提示“把相同的特点写在中间，不同的特点写在两边”。这不就给学生积累了学习经验吗？在这本科学教材中，一共出现8次利用维恩图表示了重复的情况，可见维恩图的素材是何等丰富！既然有如此的经验，为什么不能把科学中的维恩图的知识迁移到数学中来，让学生感受其便捷性呢？

三、教学建议

1.改变呈现形式，防止负迁移

教材中的情境是给出一张统计表，虽然这样可以让学生清楚地看出人数，但也有弊端：学生想重新整理名单时，会受表格的影响，从而思维呆板;学生倾向于在表格里“做文章”，可只是在表格中进行修改很难得到答案;学生的操作没有教师的指导，冗长低效。对此，可以把表格换成如下语言描述：

参加跳绳比赛的学生名单：杨明、陈东、刘红、李芳、王爱华、马超、丁旭、赵军、徐强。参加踢毽比赛的学生名单：刘红、于丽、周晓、杨明、朱小东、李芳、陶伟、卢强。

表格变成了文字，思维便不再受到限制，空间更广阔，操作也更方便。学生可以随意打乱这些名字，重新组合，便于 “创造”出维恩图。即使得不出维恩图，学生也会在创造中得出更多接近于维恩图的方式，教师只要抓住其中的有效部分，“顺水推舟”便会得出维恩图。

2.建立问题的语言表征，激活经验

学习数学的过程就是通过语言不断内化、不断形成和不断运用的过程。语言的合理表达能提高学生“数学化”的能力，同时“将一种语言表达从一个领域转换为另一个领域的语言形式，可以沟通知识之间的联系，简化问题解决” 。为了更好地让学生理解知识，在本课教学中教师可以让学生充分建立问题的语言表征，比如多让学生说一说为什么要把“杨明、刘红和李芳”三个名字单独拿出来，并用“既……又……”的句式表述重复部分，以激活其头脑中与之相关的知识经验。学生在“既……又……”这种关联词语的表述下，可能会联想到科学课上所学习的有关维恩图的知识，继而想到用同样的方法来表示参加比赛的人数。

3.类比联想，促进正迁移

小学生年龄小，逻辑思维能力还比较弱，对于一些抽象的数学概念或数学知识不太容易理解，而利用类比联想，能方便学生用已经学过的数学知识对新知识进行比较和分析，进而更好地理解和掌握新知识。苏霍姆林斯基说过：“在我看来，教会学生借助已有的知识去获取知识，这是最高的教学技巧之所在。”这与教育界颇为盛行的“为迁移而教”不谋而合。

学生在学习“集合”之前，已有多次利用维恩图解决问题的经验，那么教师就可以通过类比联想激活与此有关的知识经验。当学生会用“既……又……”的句式表达后，教师可利用问题“该怎样表示这种有重叠部分的情况？之前有没有遇到过此种情况？来“勾出”学生的经验。学生在问题的引领下，会不自觉地把新知识融入原有的知识结构中，在“已经知道”的知识与“需要知道”的知识之间架构桥梁。接着，教师出示科學教材“大树和小草”的内容，此时，相似的结构特征成为解答这个问题的有效线索，促使学生联想维恩图的知识。通过这种类比联想的过程，不仅能得出维恩图这一方法，还能提高学生的逻辑思维能力，促进学生更好地理解和掌握知识，进而提高学习效率。

4.具体匹配，转换问题

新旧知识之间可能存在着差异，这就需要学生在迁移时的具体匹配中既要发现其相似之处，又要分析其不同之处。当学生能够从科学教材中的维恩图迁移到“学生参赛人数的问题”时，教师可引领学生思考：原来的维恩图都是记录两种东西的相同点和不同点，现在想要表示各自人数及重复人数，该怎么办？同时让学生“讨论—填写维恩图—列式计算—解决问题”，着重说一说“8+9-3”“8-3+9”和“5+6+3”中的“+3”和“-3”的道理，以及各算式的具体含义，体会交集、并集和差集。“随着对数学问题的深入分析，这个数学问题与来自外部和长时记忆的信息不断进行‘接触’，对不匹配的部分进行适当调整，继而推动了数学问题的一步步解决。”

5.改组认知结构，再次迁移知识

迁移理论认为，学生对一般规律和概括性知识的掌握是通过最初学习时运用各种变式达到的;同时又认为，只有学生认识到一个规律可运用于各种不同的情境，并形成在各种不同的学习情境中运用这些规律和知识的意识，这些规律和知识才算真正被掌握而具有现实价值。当学生理解了集合思想后，教师应及时总结和概括解题的策略和方法，再让学生完成一道变式练习题：根据学校要求，每班要选拔5名学生参加跑步比赛，3名学生参加跳远比赛，你觉得三（1）班可能会选拔多少人参加比赛？学生会利用刚习得的维恩图的知识审视练习，得出可能有8人、7人、6人和5人（如图2）。至此，前面维恩图的经验通过顺应，被充实到新的知识经验中，同时新的解题活动也加深了学生对前面维恩图的理解。

综上，学生在迁移中沟通了新旧知识的联系，让知识的形成更加自然，从而加深了对知识的理解，完善了认知结构，同时在新旧知识的启发、类比及联想中锻炼了思维，提升了能力。数学课堂也随着学生的有效迁移更高效、更灵动。

（责编 金 铃）