例说“拼图法”在初中数学解题中的应用

刘淑锦

【摘要】本文以九年级数学知识为例，分析拼图法在解题内的应用，以解题形式呈现，旨在为初中九年级数学知识解题提供可靠参考意见.

【关键词】拼图法;数学解题;初中数学

所谓“拼图法”，是指由于解决数学问题的需要，有意识地将几个图形拼在一起，然后根据拼图前后图形的面积（或周长、角度等）之间的关系解决问题.“拼图法”不仅巧妙，而且为我们解决数学问题寻觅到一个全新的思路，下面分类说明“拼图法”在解决初中数学问题中的应用.

1 圆的解题

问题1 在图1△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，求△ABC外接圆半径R？

问题2 在图2图形中，⊙O半径是13，弦AB是24，AB的中点是M，P属于圆上的一个动点，求PM最大值？

问题3 在图3图形中，AB、AC、弧BC是三条规划路程，AB和AC的长度分别是6km、3km，∠BAC=60°，弧BC对应圆心角是60°，弧BC路边要建立物资点P，而在AB、AC路边需要建立E、F物资点，分别在弧BC、AB、AC上选取点P、E、F.為了向物资点进行运输，就规划了道路PE、EF、FP.为保证道路的便捷性、成本得到节约，就需要保证PE、EF、FP之间距离最短，求三者之间的最小值.

在第1小题中，解题思路是：根据垂径定理进行分析.作出△ABC外接圆⊙O，OA是∠BAC的平分线，因此∠OAC=12∠BAC=60°，连接OC，这样OC=OA，这时三角形OAC就是等边三角形，这样OC、OA、AC相等都是5.

第2个问题的思路是：OM+OP≥PM，根据点圆模型原理，当O、P、M这三点共线时，PM值最小，这时PM⊥AB，并且经过点O，PM就是PO和OM的和，即18.

在第3小题中，求的是三条线段和的最小值，一般来说，解决问题的策略是先利用轴对称变换，然后再根据“两点之间线段最短”，在共线的时候选择等号.

解题的原理是作出两次对称，两点之间线段是最短的，所以，本题中就可以假设弧BC上的一个点P就是所求的点，固定点P要在AB、AC上做出对称点P′、P″，并连接两个对称点，分别交AB、AC于点E、F，连接PP′、PE、PP″，根据对称性，PE=P′E，FP=FP″，AP′=AP=AP″，那么∠P′AP″=2∠BAC=120°，此时，PE+EF+FP=P′E+EF+FP″≥P′P″=3 AP′，当P′、E、F、P″共线时，P′P″就是最短的距离，长度是直接取决于AP′，即AP的长度.

根据上面的探究问题中，作出弧BC圆心点O，连接AO，和弧BC相交于P点，这样PA中最短的一个点就是P点，PE+EF+FP≥3 AP=321 -9，因此PE+EF+FP最小值就是（321-9）千米.在这个问题中，将三角形的一个固定点放置在一个特定的圆心角弧上，使学生有一定的相似感.

2 三角形解题

我们知道，满足“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”不一定全等，但是在某些特殊情况下全等.

例如 当其中一边的对角是钝角时，这两个三角形全等，即满足“两边及其中一边的对角（钝角）对应相等的两个三角形”，如图5，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，且∠B和∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF.

本题若用正弦定理，证明非常简单.即在△ABC中，由正弦定理，得ACsinB=ABsinC.在△DEF中，由正弦定理，得DFsinE=DEsinF.由AC=DF，∠B=∠E，得ABsinC=DEsinF.而AB=DE，则sinC=sinF.显然∠C和∠F都是锐角，则∠C=∠F.根据“角角边”可知△ABC≌△DEF.

由于初中阶段我们没有学习正弦定理，因此需要另想他法.一个好的办法是运用“拼图法”.而且在运用“拼图法”时，只要将相等的边拼在一起即可证明.如图6，将AC与DF拼在一起，使点A与点D重合，点C与点F重合，且使∠B与∠E分别在AC（或DF）的两侧.连接BE.由AB=DE，得∠1=∠2.又∠ABC=∠DEF，则∠ABC-∠1=∠DEF-∠2，即∠3=∠4.则BC=EF.根据“边边边”可知△ABC≌△DEF.

上述证法是将钝角所对的相等的边AC与DF拼在一起，也可以将锐角所对的相等的边AB与DE拼在一起.如图7，将AB与DE拼在一起，使点A与点D重合，点B与点E重合，且使∠C与∠F分别在AB（或DE）的两侧.连接CF.证明过程留给读者完成.事实上，满足“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”，当其中一边的对角是钝角时，这两个三角形全等，当其中一边的对角是直角时，这两个三角形也全等.证明之时，既可将斜边拼在一起，也可将直角边拼在一起.

3 一元二次方程式

已知一个长方形的长与宽的和为7，面积为10，求该长方形的长与宽的差的平方.本题若按常规方法，可设长方形的长为a，宽为b.

根据题意，得a+b=7，ab=10.而长与宽的差的平方为（a-b）2.要求（a-b）2的值，可将（a-b）2变形为含有a+b和ab的式子.即（a-b）2=a2+b2-2ab=（a2+b2+2ab）-4ab=（a+b）2-4ab=72-4×10=49-40=9.

除了上述解法，也可运用拼图法巧解.将四个大小一样的长方形按照图8所示的方式拼在一起，正好拼成一个大正方形，这个大正方形的边长正好是长方形的长与宽的和，它的中间是一个小正方形，其边长正好是长方形的长与宽的差.要求长方形的长与宽的差的平方，只要求出小正方形的面积即可.

观察图8可以发现，大正方形的面积减去4个长方形的面积即为小正方形的面积.即S小正方形=S大正方形-4S长方形=72-4×10=49-40=9.所以长方形的长与宽的差的平方为9.这种解法显然是对常规解法的创新，展现了用“拼图法”解决数学问题的魅力.

4 结语

从以上几例不难看出，运用“拼图法”解决数学问题，确实可以起到化难为易、化繁为简、事半功倍之效，展现了用“拼图法”解决数学问题的魅力.希望大家认真领会“拼图法”，并在解决数学问题时尝试应用“拼图法”，让“拼图法”成为我们解决数学问题的一项技能.