从木棒的滑动说起

李先兵中学高级教师，慈溪市名师，市教坛新秀一等奖，曾公派赴澳大利亚为期100天的学习.对解题和命题深有研究，多次参与统考试题命制，曾参与2013年宁波市中考卷的命制，原创命题比赛多次在宁波市获得一等奖，多篇论文在贵刊发表。

1 情境展示、初探端倪

图1

著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时他还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图1所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm，则画出的圆的半径为cm.

思路 不妨设互相垂直的滑槽的交点为O，则∠AOB=90°，连接OP，因为P是AB的中点，所以OP是直角△AOB斜边中线，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得

OP=AB2=10cm.

2 顺势而上、通法引路

例1 图2

如图2，矩形ABCD放置于∠MON内.∠MON=90°，AB=8，BC=3，求OD的最大值.

思路 取AB的中点M，顯然 MO=AB2=4，

MD=5，

故当O，M，D共线时，OD取得最大值，

故OD的最大值为9.

图3

例2 如图3，等边△ABC的边长为3，两顶点分别在坐标轴正半轴上滑动，C在第一象限，连接OC，则OC的最大值为.

思路 取AB的中点M，连接CM，显然

MO=AB2=32，

MC=332，

故当O，M，C共线时，OC取得最大值，

故OC的最大值为3+332.

注 木棒在直角滑槽上滑动的问题，可抽象为定长线段在直角上滑动，在运动的过程中，线段中点与直角顶点间的距离为定值.上面的两个例题中将线段改变为矩形和等边三角形，亦或其他的固定图形，都会保持放置于直角两边上的线段长为定值，进而该线段中点到所求线段两端点的距离都为定值，当该线段中点在所求线段上时，即达最大值.

3 追根溯源、探究本质

例3 图4

如图4，∠AOD=30°，边长为3的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上随之移动，则顶点C到原点O的距离最大值为.

思路 此问题是例2的变式拓展，即将直角改为了30°角.仿照上面的解题思路，取AB的中点M，显然MO的长度不是定值，上述的方法行不通.为了解决这个问题，我们退回到最初的问题，△ABC退化为线段AB.

图5

如图5，∠AOB=30°，若AB为定长，会有定性的结论吗？分析△ABO不难发现，∠AOB为定值，而对边AB亦为定值，如果我们“反客为主”，将图形理解为AB固定，顶点O运动，显然O的运动轨迹是弧.

图6图7

如图6，以AB为边在点O 同侧作等边△ABP，以P为圆心BP为半径画弧BOA，显然O点的轨迹即为BOA.同理即可解决上述问题，如图7，作△ABO的外接圆，圆心为P.

因为∠AOB=30°，

所以△ABP为等边三角形.

显然PO=3，PC=33，

故当O，P，C共线时，OC达到最大值，OC的最大值为33+3.

注 一方面，当遇到问题难以解决时，我们可以退回到初始问题，将问题简化寻求思路.另一方面，当动态元素偏多，静态元素偏少时，我们可以利用“反客为主”，将动态的图形理解为静止不动，原来静止不动的图形运动起来，或许也可以寻得思路.例3中的问题，是将∠AOB=90°推广到∠AOB=30°，将问题串起来发现，当∠AOB=90°时，AB的中点其实就是△AOB的外心，只是外心很容易被发现，而推广到30°角的时候，外心就难易被发现，这也是例1和例2做起来比较顺手，而例3就很难入手的原因.推而广之，固定图形放置于固定角度∠AOB内滑动问题，都可以利用反客为主，角的顶点轨迹即为△AOB的外接圆上一部分.