函数与方程思想破解高中数学教学难点探析

王宏科

【摘要】函数与方程思想是破解高中数学难题的重要思想与方法，其不仅能使学生的解题效率与准确率得到切实提高，而且还能实现学生数学能力的提高.教师在对数学难点进行讲解时，需注重函数与方程思想的融入，以此为学生的后期学习奠定坚实的基础.

【关键词】函数;方程思想;高中数学

1 引言

函数和方程思想包括两个部分，即函数思想和方程思想，就函数思想来说，其主要是通过函数相关知识来分析求解相关的数学问题，而方程思想是把问题的数量关系转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法求解数学问题.求解数学难题时，函数和方程的巧妙运用不仅可以使学生具有清晰的解题思路，实现高效解题，而且还能使学生形成相应的数学思想，实现数学思维能力的发展.

2 函数与方程思想破解高中数学教学策略

2.1 函数与方程的思想破解方程问题

例1 已知函数f（x）=2cos2x+cosx-1，g（x）=cos2x+a（cosx+1）-cosx-3，若两函数的图象在（0，π）内存有一个公共点，求取a最小值.

解析 两函数的图象在给定区间内存在一个公共点，也就是两个函数值相等的方程，在这个区间内有解，此时，可以将数学问题转变成方程问题.

依据已知的条件可得：f（x）=g（x）在0，π上是有解的，即2cos2x+cosx-1=cos2x+a（cosx+1）-cosx-3：化简得：a（1+cosx）=（cosx+1）2+1，由于x∈（0，π），也就是0<1+cosx<2，那么，a=1+cosx+11+cosx≥2，当1+cosx=11+cosx时等号成立，这个时候，cosx=0，即a值的最小值是2.

2.2 函数与方程的思想破解不等式问题

例2 求证：对一切大于1的正整数n都有1+131+15…1+12n-1>1+2n2.

解析 本题中的题干相对简单，证明技巧性也比较强，缺乏正确解题思路，无法有效解题，可通过移项进行新函数构造，利用新函数单调性进行求解公式的最值即可证明.

设f（n）=1+131+15…1+12n-11+2n，

那么f（n+1）=

1+131+15…1+12n-11+12n+1-11+2（n+1），

经过作商，对函数的f（n）单调性进行判断，由此可得：f（n+1）f（n）=（1+12n+1）·2n+12n+3=2（n+1）4（n+1）2-1>1，

即f（n）是增函数，由于n是大于1的正整数，此时，f（2）=1+135=1645>1664=12，因此，n=2，3…的时候，都有f（n）>12，由此可证原题.

2.3 函数与方程的思想破解三角函数问题

例3 设f（x）是定义域R上的奇函数，且函数在定义域R单调递减，若α∈0，π2时，不等式f（cos2α+2ksinα）+f（-2k-2）>0恒成立，求k取值的范围.

解析 本题考查了抽象不等式问题，在抽象不等式向三角不等式转化的过程当中函数单调性起到了重要的作用，另外利用换元法将三角问题转化为二次函数问题，同时本题充分挖掘了二次函数图象的特点，为求解参数的范围提供了方便.

f（cos2α+2ksinα）+f（-2k-2）>0可转化成（cos2α+2ksinα）<（2k+2），设t=sinα，则t∈0，1，等价于：t2-2kt+2k+1>0，在t∈0，1恒成立.立足于函数与方程的思想，令g（t）=t2-2kt+2k+1，则该函数g（t）在t∈0，1的最小值大于0即可，分三种情况求g（t）的最小值，最终能够求解得k>-12.

2.4 函数与方程的思想破解数列问题

例4 已知Sn是等差数列{an}前n项和，现有a4+a5=24，S6=48，那么的公差是（  ）.

（A）1.   （B）2.   （C）4.  （D）8.

本題主要是对等差数列的基础性知识进行考查，假设求取的公差是d，依据等差数列的计算公式，提供的条件可列出相应的方程组为：2a1+7d=246a1+15d=48，此时，通过计算就能实现问题的有效解决.

2.5 函数与方程的思想破解参数范围问题

例5 已知a、b是正数，若ab=a+b+3，求ab的取值范围.

解析 依据题干当中所涉及到的两个参数积和两个参数和，可联想至一元二次的方程根的关系，并加以解答.

设ab= t，按照ab=a+b+3可得到a+b=t-3，立足以此，构造方程为x2-（t-3）x+t=0，且a、b为两个正根，就能得到相应的关系：Δ=t-32-4t≥0，t-3>0，t >0，对其求解可知：t≥9，因此，ab取值范围是[9，+∞）.

2.6 函数与方程的思想破解代数问题

例6 不等式a（x2-1）<2x-1对满足条件|a|≥2的实数a是恒成立的，求取x值的具体范围.

解析 学生可通过函数与方程的思想进行相关代数问题的解答，也就是将a当做成变量，把数学题目当中的不等式a（x2-1）<2x-1转化成（x2-1）a-（2x-1）<0，由此可知，在变形之后，关于a的不等式在区间[-2，2]中为恒成立.通过构造函数f（a）=（x2-1）a-（2x-1），让函数f（a）=（x2-1）a-（2x-1）在在区间[-2，2]上的最大值小于0即可.本题通过函数的思想，交换变量x和a，使复杂的代数问题转化为函数最值的简单问题.

2.7 函数思想解决数学方程式

通过转化方程式，使其成为两个函数，并借助函数与方程的思想，对抽象的方程问题进行简化，以实现问题的高效解决.

例7 已知函数f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值为m.

（1）求m的值以及此时的x的取值范围;

（2）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2=m，证明：q（p+r）≤2.

解析

（1）依据题意，得f（x）=|x+3|+|x-1|≥|x+3-x+1|=4，故m的值是4.

若（x+3）（x-1）≤0，即-3≤x≤1时等号成立，即x的取值范围为[-3，1].

（2）证明：由于p2+2q2+r2=m，

故（p2+q2）+（q2+r2）=4.

由于p2+q2≥2pq，仅有p=q时，等号成立，q2+r2≥2qr，仅有q=r时，等号成立，

因此，（p2+q2）+（q2+r2）=4≥2pq+2qr，故q（p+r）≤2，仅有p=q=r时等号成立.

3 结语

综上所述，高中数学的教学难点破解中，较为常用的解题方法就是函数与方程思想，面对数学难题求解时，其不仅有助于解题步骤的简化，而且还能实现解题思路明晰，从而使数学难题实现有效破解.

参考文献：

[1]陈瑞飞.关于函数与方程思想在高中数学解题中的实践[J].数理化解题研究， 2020（12）：2.

[2]段蕾.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].中学生数理化：高考理化， 2020（4）：1.

[3] 郭国山.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].中学生数理化：高考理化， 2020（1）：1.