二次函数中直角三角形存在性问题探究

毛丽丽

考题在线

例 （2021·四川·巴中）如图1，已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求抛物线的表达式.

（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当[PMAM]最大时，求点P的坐标及[PMAM]的最大值.

（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

考点剖析

一、准备步骤：二次函数点线定位问题

1.利用待定系数法可求得二次函数解析式为[y=14x2-x-3].

2.利用相似三角形性质转化线段比例问题，利用二次函数助解最值问题.

精析：如图2，过点A，P分别作x轴的垂线交直线BC于点E，F，可得△AEM∽△PFM，∴[PMAM=PFAE]，则两斜线段比转化成两直线段比，与点P的坐标成功对接.利用待定系数法可求得[yBC=12x-3]，∴AE = 4. 设点P坐标为[t， 14t2-t-3]，则点F坐标为[t，  12t-3]，

∴[PMAM=PFAE=12t-3-14t2-t-34] = [-116t2+38t] = [-116（t-3）2+916].

可得当[PMAM]最大时点P坐标为[3，-154]，[PMAM]的最大值为[916].

二、核心步骤：Rt△BCD存在性问题

（一）梳理题目：明确待求点满足的全部条件，点D在定直线x = 3上，点D为直角三角形顶点.

（二）分类讨论：△BCD为直角三角形，未明确直角或斜边，需分三种情况讨论，即∠CBD = 90°，∠BCD = 90°，∠BDC = 90°.

（三）作图探究：

1.如图3，当∠CBD = 90°时，过点B作直线BC的垂线交直线x = 3于点D（记为D1），即可构造出Rt△CBD1.

2.如图4，当∠BCD = 90°时，过点C作直线BC的垂线交直线x = 3于点D（记为D2），即可构造出Rt△BCD2.

3.根据“直径所对圆周角为直角”这一推论可找到直角三角形的直角顶点，即∠BDC = 90°.如图5，以边BC中点为圆心，[12]BC长为半径作圆，与直线x = 3的交点即为所求点D，此时满足条件的直角顶点有两个（记为D3，D4），即可构造出Rt△BD3C和Rt△BD4C.

[y][x][B][A][O][C][P][D2] [l][D4][B][x][y][l][D3][O][A][P][C] [O][A][C][P][B][x][y][l][D1][图3][图5][图4]

以上作图方法可总结为：已知直角边作垂线得直角三角形；已知斜边作圆得直角三角形，简称“两线一圆”.

（四）求解坐标：设D（3，t）.

1.几何法：利用直角三角形相似列比例式求解.

（1）如图6，当∠CBD1 = 90°时，构造“一线三垂直”模型，则△BMC ∽ △D1NB.

∴[BMD1N=MCNB]，即[33=6t]，解得[t=6]，经检验[t=6]是所列方程的根，且符合题意，所以点D1的坐标为（3，6）.本情况中由于边长的特殊性，相似三角形恰好全等，此时△BCD为等腰直角三角形.

（2）当∠BCD2 = 90°时，请同学们尝试用上面学过的几何法独立完成. 相信你，一定行！

（3）如图7，当∠BD3C = 90°时，构造“一线三垂直”模型，则△CSD3∽△D3TB.

∴[CSD3T=SD3TB]，即[3+t3=3t]，解得[t1=-3+352]，[t2=-3-352]，经检验[t1=-3+352]，[t2=-3-352]是所列方程的根，符合题意，由于图7中点D3在第一象限，所以点D3的坐标为[3，-3+352]. 但[t2=-3-352]真的就要被无情舍掉吗？D3和D4有怎样的关系呢？你能求出D4的坐标吗？勇敢地应战吧！

（特殊方法：由于l恰好过BC中点，也可以利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”求解.）

2.代数法：利用勾股定理列方程求解

如图8，构造△BCD三边所在直角三角形，盲解盲算即可.

（1）表示出三邊平方：[BD2=32+t2]，[BC2=62+32]，[CD2=32+（3+t）2]. 分类讨论列方程：

①当∠DBC = 90°时，[BD2+BC2=CD2]，即[32+t2+62+32=32+（3+t）2]；

②当∠BCD = 90°时，[CD2+BC2=BD2]，即[32+（3+t）2+62+32=32+t2]；

③当∠CDB = 90°时，[CD2+BD2=BC2]，即[32+（3+t）2+32+t2=62+32].

（2）解方程并检验：①解得[t=6]，②解得[t=-9]，③解得[t=-3±352]. 请同学们自己写出每种情况下点D的坐标.

日积月累

解二次函数背景下的直角三角形存在性问题，分类讨论是前提，作图探究是关键. 解决问题有通法，选择最优方法有智慧.通用解题方法如下：

1.几何法：构造“一线三垂直”模型，根据相似三角形性质列比例式求解.等腰直角三角形存在性问题属于直角三角形存在性问题的特例，此时“一线三垂直”模型中的相似三角形为一对全等三角形.

2.代数法：先求出三边长或其平方，再根据勾股定理分类列方程，最后解方程并检验．

3.解析法：利用两垂直直线斜率积为-1，求直线关系式，再求解交点坐标.

（作者单位：沈阳市于洪区教育研究中心）