利用二次函数求几何最值

李先兵

【摘要】 几何最值是中考数学热点问题之一，此类问题考查知识点丰富，综合性强，而且具有一定的技巧性，备受命题者的追捧.今年来，为了遏制技巧，考查本质，将几何最值扭转为用二次函数的性质进行求解.本文将利用二次函数求几何最值问题进行归类，然后进行分析求解，并给出了此类问题的解题策略.

【关键词】 中考数学;几何最值;二次函数的性质

利用二次函数求几何最值只需充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理，相似三角形，图形的面积等寻求数量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.

1 求图形面积的最值

例1 图1

如图1，锐角△ABD（AB

解 过M作MG⊥BD，MH⊥AC，垂足分别为G，H.

设AO=a，BO=b，

则BG=a+b2，

MG=a-b2.

因为⊙M半径为5，

△ABO的面积为72，

所以a+b22+a-b22=52，ab2=72，

解之得a=7，b=1，

即AO=7，BO=1.

因为∠DEF=∠DAB，

而∠DAB=∠DMG，

所以∠DMG=∠DEF.

又因为∠DMG+∠MDG=90°，

所以∠DEF+∠MDG=90°.

所以∠EFD=90°，

所以△DEF∽△DMG，

所以EFFD=MGGD=34.

设EF=x，则

DF=43x，MF=5-43x.

所以△MEF面积=12×x×5-43x

=-23x2+52x，

所以当x=158时，△MEF面积取得最大值7532.

注 关于几何图形面积最值问题，通常用二次函数的性质解决.此题中的条件转化可得该三角形恰好是直角三角形，这样就更加坚定了用二次函数性质解决问题的策略.

2 求线段长度的最值

例2 图2

如图2，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD上存在点E，满足AE=CD，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连接CE，CG，若CE=BG，AD=2.求CG的最小值.

解 过点C作CH⊥BF于点H.

因为BD为⊙O的直径，

所以∠BAD=90°，

因为AE=CD，

所以AB+DE=BC，

所以∠BEC=∠AGB.

所以∠CEF=∠BGD.

又因为EC=BG，∠ECF=∠GBD，

所以△CFE≌△BDG.

所以BD=CF，∠CFH=∠BDA.

因为∠BAD=∠CHF=90°，

所以△BAD≌△CHF.

所以FH=AD=2.

而AE=CD，

所以AD=EC，

所以BG=EC=AD=2.

因为BD是直径，

所以∠BCF=90°，

而CH⊥BF，

所以CH2=BH×HF.

设GH=x，则BH=2-x，

CH2=（2-x）×2=4-2x.

在Rt△CHG中，

CG2=CH2+GH2

=4-2x+x2

=x2-2x+4.

当x=1时，CG2的最小值为3，

所以CG的最小值为3.

注 此问题求线段的最小值，一般都会理解为C点固定，然后去寻找G点的轨迹，此题的图形较为复杂，很难直接得到其轨迹，进入死胡同.回过头来研究图形发现，图中的全等三角形比较多，这样数量关系相对比较明确，我们就可以利用函数的思想，设其中一条线段的长度为自变量，然后表达图中的其他线段，不难发现此题的数量关系，进而得到所求线段关于自变量的函数表达式，再利用二次函数的性质即可解决问题.

3 求图形周长的最值

例3

如图3，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，等边三角形DEF的顶点D，E，F分别在直角三角形的三边上，求△DEF周长的最小值.

解 过点D作DG⊥AB于点G，

因为△DEF是等边三角形

∠A=30°，

所以∠B=∠EDF=60°，

所以∠CDF=∠DEB，

DG=32BD，

因为DE=DF，

所以△CDF≌△GED，

所以CF=DG.

设BD=x，则CD=1-x，

CF=DG=32x，

在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2，

所以DF2=（1-x）2+32x2=74x2-2x+1.

所以当x=47时，DF最小，最小值为217，

故△DEF周长的最小值为3217.

注 此问题初看起来应该是想方设法将三角形的三边利用图形的变换转移到一条折线，再利用化曲为直思想求得最小值，但是由于D，E，F三点的位置都不确定，操作起来很麻烦.过点D作DG⊥AB，△CDF≌△GED就显而易见了.图中的线段似乎都有一定的数量上的联系了，于是选择一条线段的长度为自变量，所求量为因变量，建立等量关系，从而转化为函数关系，问题即可迎刃而解.

4 求线段的积的最值

例4 图4

如图4，直线l：y=12x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为直径作⊙M，点P为线段OA上一动点（与点O，A不重合），作PC⊥AB于C，连接BP并延长交⊙O于点D.连接OC，当点P在线段OA上运动时，求OC×PD的最大值.

解 连接OD.

因为PC⊥AB，

所以∠BCP=90°，

所以O，P，B，C四点共圆.

所以∠PBC=∠POC.

又因为∠AOD=∠ABD，

所以∠AOD=∠AOC.

而∠BAO=∠BDO，

所以△ACO∽△DPO.

所以OCOP=ACPD，

所以OC×PD=OP×AC.

設OP=t，则AP=8-t.

AC=AP×cos∠BAO

=（8-t）×845=255（8-t），

所以OC×PD

=OP×AC=t×255（8-t）

=255t（8-t），

所以当t=4时，OC×PD取得最大值3255.

注 直接求两条线段的乘积比较困难时，通常会根据线段成比例转移线段.此题中对线段OC表达应该是没有问题的，但是对线段PD的表达却显得无从下手，这时自然会想到转移线段的乘积.首先从感性思维的角度观察OC和PD两条线段分别放在哪两个三角形中，而这两个三角形看起来是相似的，不难看出△ACO与△DPO符合我们的想法，接下来进行验证.根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠BAO=∠BDO，只需再寻找一对角相等.目标明确，思维顺畅，完全避开了几何最值的套路.