赛题中求正方形面积的技巧

杨再发

【摘要】 正方形是完美的四边形，它的边、角、对角线具有特殊的性质，知道边长或对角线长都可以求出面积.在一些关于正方形的赛题中，没有直接告诉边长或对角线的长，需要我们求出面积.不妨根据条件求出边长或对角线的长就能到达解决问题的目的.现举例说明.

【关键词】 赛题中;求正方形面积;技巧

1 用对角线长来求面积

例1 图1

如图1，正方形ABCD内有两点E，F，满足AE=1，EF=CF=3，AE⊥EF，CF⊥EF，求正方形ABCD的面积.

解 過点C作CG⊥AE的延长线于G，连接AC，

因为AE⊥EF，CF⊥EF，

所以四边形EFCG是矩形，

则EF=CG，CF=EG，

因为AE=1，EF=CF=3，

所以CG=3，EG=3，

则AG=AE+EG=1+3=4，

因为AC2=AG2+CG2，

所以AC2=42+32=25，

因为四边形ABCD是正方形，

即2AB2=25，AB2=252，

所以正方形ABCD的面积是252.

例2 如图2，已知四边形ABCD是正方形，点E，F在正方形内，且AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=9，EF=5，CF=3，求正方形ABCD的面积.

解 过点A作AG⊥CF的延长线于G，

因为AE⊥EF于E，

CF⊥EF于F，

所以四边形AEFG是矩形，

所以AE=FG，EF=AG，

因为AE=9，EF=5，CF=3，

所以AG=5，FG=9，

则CG=CF+FG=3+6=12，

所以AC2=AG2+CG2=52+122=169，

因为四边形ABCD是正方形，

所以AD2+CD2=AC2，

2AD2=169，

AD2=1692，

则正方形ABCD的面积是1692.

以上两例还可以有相似三角形性质求出两条线段长，再求出对角线的长来求出面积.

2 用正方形的边长来求面积

例3 图3

已知，如图3，在正方形ABCD内有一点O，连接AO，BO，CO，且AO=17，BO=2，CO=5，求正方形ABCD的面积.

解 将△OBC绕点B逆时针旋转90°到△EBA，

则OB=EB，

OC=EA，∠OBE=90°，

所以△BOE是等腰直角三角形，

即∠BOE=45°，

因为AO=17，BO=2， CO=5，

所以EA=OC=5，BE=2，

即OE=OB2+BE2=22+22=22，

因为（22）2+172=52，

即OE2+OA2=AE2，

所以△AOE是直角三角形，

则∠AOE=90°，

所以EO⊥OA，

过点B作BF⊥AO的延长线于F，

所以OE∥BF，

所以∠BOE=∠OBF=45°，

即△OBF是等腰之直角三角形，

因为OB=2，

即OF=BF=2，

则AF=AO+OF=17+2，

所以AB2=AF2+BF2

=（17+2）2+22

=21+234，

所以正方形ABCD的面积是21+234.

例4 如图4，一个边长为3cm，4cm，5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另外两个顶点分别在正方形的两条边AD，DC上，求正方形的面积.

解 设BC=a，

因为四边形ABCD是正方形，

所以∠C=∠D=90°，

所以BC=DC=a，

因为BE=4，

所以CE=16-CE2=16-a2，

即DE=BC-CE=a-16-a2，

因为32+42=52，

所以EF2+BE2=BF2，

即△BEF是直角三角形，

则∠BEF=90°，

所以∠DEF+∠CEB=90°，

因为∠CBE+∠CEB=90°，

所以∠CBE=∠DEF，

即△CBE∽△DEF，

所以EFDE=BEBC，

3a-16-a2=4a，

3a=4a-416-a2，

解得a2=25617，

所以正方形的面积是25617.

例5 如图5，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，BE=42-4，求正方形ABCD的面积.

解 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O，

所以∠DAO=∠OAB=∠OBA=45°，

BD=2DA，

因为AE平分∠BAC，

所以∠OAE=∠BAE=225°，

因为∠DAE=∠OAD+∠OAE

=45°+225°

=675°，

∠DEA=∠OBA+∠BAE

=45°+225°

=675°，

所以DA=DE，

因为BE=42-4，

所以DE+BE=2DA，

AD+BE=2DA，

AD+42-4=2DA，

AD=42-42-1，

AD=4，

所以正方形ABCD的面积是16.

例6 如图6，四边形ABCD是正方形，线段EF，GH把正方形ABCD分割成四部分：正方形BEMH，正方形DFMG，矩形AEMG，矩形CFMH，且S正方形BEMH=75，S矩形CFMH=15，求S正方形ABCD.

解 设BH=a，CH=b，

则正方形ABCD的边长是（a+b），

因为四边形BEMH，四边形DFMG是正方形，

四边形AEMG，四边形CFMH是矩形，

所以CF=HM=a，

GM=DF=MF=b，

因为S正方形BEMH=75，S矩形CFMH=15，

所以a2=75，ab=15，

即a2b2=152=225，

则b2=255a2=22575=3，

所以a=53，b=3，

则a+b=63，

所以S正方形ABCD=（a+b）2=（63）2=108.