第4届世界数学团体锦标赛少年组试题

（2013.11北京）

团体赛

1.下面的公式可以计算某日是星期几：

S=（x-1）+[x-14]-[x-1100]+[x-1400]+y，

其中，x是年份，y是该年中从元旦起到这一天为止的天数，[x]表示不超过x的最大整数.

若S÷7得到的余数是几，则该天就是星期几.如：余数是0表示星期日，余数是1表示星期一……余数是6表示星期六.

问：2011年11月25日是星期几？（用数字0～6作答）

2.若t=5-14，求16t5-20t3+5t的值.

3.计算：

412013412013+2+422013422013+2+…+420122013420122013+2.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知点P和四边形ABCD的顶点坐标如图1所示，若点P绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5……如此继续下去，求点P2013的坐标.

5.若关于x的不等式组3x-a≥05x-b<0的整数解仅有1和2，求满足这个不等式组的有序整数对（a，b）的个数.

6.连接2×3×4的长方体的各顶点，可以组成多少种周长不同的三角形？

7.如图2，⊙O1和⊙O2交于A，B两点，⊙O1的弦AC切⊙O2于A点，⊙O2的弦AD切⊙O1于A点，若△ABC与△ABD的面积之比是3∶4，求⊙O1与⊙O2的半径之比.

8.如图3，O是坐标原点，图3

A是反比例函数y=1x（x>0）的图象上的一点，B是反比例函数y=-4x（x<0）的图象上的一点，求△AOB面积的最小值.

9.将自然数1～10000放在下面的数表中，从中任意选1个数，然后删掉该数所在的行和列中所有的数，称为第1次操作，再从余下的数中任意选1个数，又删掉此数所在的行和列中所有的数，称为第2次操作……如此继续下去，当进行完第100次操作时，求选出的100个数的和.

123…99100

101102103…199200

201202203…299300

………………

980198029803…98999900

990199029903…999910000

10.如图4，△OAB和△BCD都是等边三角形，并且点A（3，3）和点C都在函数y=kx（x>0）的图象上，点B和点D都在x轴上，求点D的坐标.

11.若六位数的数字和为23，并且每个数字都是质数，求满足题意的六位数的个数.

12.如图5，两个相同的扇形内各有一个正方形A和B，若扇形的圆心角是60°，求B和A的面积比.（结果要求最简）

13.如图6，正方形ABCD的边长为4，将它的左下方折起，使D点与AB的中点E重合，得到折痕MN，C点落在F点，EF交BC于点P.求PN的长.

14.点O是图7中的坐标原点，折线ADC将△AOB的面积二等分.已知点A（3，8），D（8，2），C（2，0），求点B的坐标.

15.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=3，求a4+b4+c4的值.

16.已知在直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是正整数）与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）.若|x1|与|x2|都大于1，求abc的最小值.

17.如图8，在梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠D=60°，AB=1，DC=3，点P在梯形内，求PA>AB且PD>DC的概率.（π取3）

18.如图9，在梯形ABCD中，DA∥CB，∠A=90°，BD平分∠ABC，∠DCB的平分线CE交AB于点E，若AE∶EB=1∶7，BC=7，求梯形ABCD的面积.

19.已知⊙O的半径为7，弦AB的长为10，长为4的弦MN在圆上移动，求四边形AMNB的最大面积.

20.从长为1，2，3，4，5，6的线段中选出不同长度的4条线段，可以组成多少种不同的梯形？（能够完全重合的两个梯形视为同一种梯形）

接力赛

1A.小明和小虎从A地同时出发前往B地，小明的速度比小虎的速度快10%，小明比小虎早10 min到达B地.求小虎从A地到B地用多少分钟.

1B.设前面队友传来的答案是T.

关于x的一元二次方程x2+3nx+2n2=n+1的两个根分别记为an，bn（n是大于1的自然数）.

求1（a2-1）（b2-1）+1（a3-1）（b3-1）+…+1（aT-1）（bT-1）的值.

2A.乘积539×422的结果是几位数？

2B.设前面队友传来的答案是T.

0

如图10，已知△ABC的三条边长都是小于T的整数，CD是边AB上的高，并且

AC·CB=AB·CD，

AB+AC=2BC，

求這样的三角形的个数.

3A.定义：横、纵坐标都是整数的点称为整点.

求以原点为圆心，2为半径的圆的内接正方形所覆盖的整点个数的最大值.

3B.设前面队友传来的答案是T.

1

如图11所示的△ABD，△BCD和△ACD的面积分别为9，17和T，求△DEC的面积.

个人赛

1.周长是15，边长是自然数的三角形有几个？（能够完全重合的两个三角形视为同一种三角形）

2.若2x+3y-2z=0，2x-3y+4z=0，求分式（3x-2y）2-（3y-5z）2（3x-2y）（3y-5z）的值.

3.在△ABC中，AB=AC=5+1，∠B=72°，求BC的长.

2

4.如图12，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=20，P是AC上的动点，PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F， 求矩形BEPF面积的最大值.

3

5.如图13，点E，F在正方形ABCD的边上，并且AE=2ED，DF=2FC，AF交BE于点G.求AG∶GF.（结果化简成最简分数）

6.求方程x2-y2-x-5y+6=0的正整数解（x，y）.

7.如图14，有8个木块：2个木块的每个面上写着“”， 2个木块的每个面上写着“”， 2个木块的每个面上写着“”， 2个木块的每个面上写着“”.从这8个木块中取出4个，求组成“”的概率.（结果化简成最简分数）

4

8.关于x的方程|x2-mx|=1恰有3个不同的实数根，求m的值.

5

9.如图15，已知正九边形的边长为1，求两条对角线的长度的差的最大值.

10.将从1开始的100个自然数分成A，B两组，其中30在A组，现将30移入B组，两组数的平均数都比原来大05.问：A组现有多少个数？

11.已知非零实数x和y满足|x|+y=2和|x|y+x3=0，求y的值.

12.已知实数x，y，z满足

2x3=3y3=4z3

32x2+3y2+4z2=2+312+316.

xyz>0①②③

求1x+1y+1z的值.

13.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的长分别是a，b，c，若ab=a+ba+b+c，并且∠A=30°，求∠B的度数.

14.已知a1，a2，…，a30这30个数只能从-2，0，1中取值，如果

a1+a2+…+a30=-18，

（a1-1）2+（a2-1）2+…+（a30-1）2=126.

求：在a1，a2，…，a30中，取值为-2的数有多少个？

15.能表示为两个不同正整数的平方和的数称为“希望数”，如：5和34都是“希望数”，因为5=12+22，34=32+52.

问：在1到100的自然数中，有多少个“希望数”？

16.已知点P在抛物线y=14x2上，且此抛物线与直线y=-12x+6交于A，B两点，若△ABP为直角三角形，求点P的坐标.

参考答案

团体赛

1.答案：星期5.

解：依题意，知道

S=2010+[20104]-[2010100]+[2010400]+329

=2010+502-20+5+329

=2826，

S7=28267=403……5.

所以2011年11月25日是星期5.

2.答案：1.

解法1：16t5-20t3+5t

=t（16t4-20t2+5）

=t[（2t）4-5（2t）2+5]

=5-14·[（2·5-14）4-5（2·5-14）2+5]

=5-14（5+1）=1.

解法2：用公式：

sin 5θ=16sin5θ-20sin3θ+5sin θ.

当θ=18°时，

sin 5θ=sin 90°=1，

sin θ=sin 18°=5-14，

所以，待求式的值=1.

这里，sin18°的值可用以下方法求出：

因为cos 54°=sin 36°，

即4cos318°-3cos 18°=2sin 18°cos 18°，

4sin218°+2sin 18°-1=0，

得sin 18°=5-14.

3.答案：1006.

解：观察原式，每个分数都可以表示成4x4x+2的形式.

考虑由左向右第一项和由右向左第一项的和，由左向右第二项和由右向左第二项的和，一般地，也就是由左向右第k项与由右向左第k项的和，注意到

4x4x+2+41-x41-x+2

=4+2·4x+4+2·41-x4+2·4x+2·41-x+4=1，

所以 原式

=（412013412013+2+420122013420122013+2）+（422013422013+2+420112013420112013+2）

+…+（410062013410062013+2+410072013410072013+2）

=1+1+…+11006个=1006.

4.答案：（4，1）.

解：由圖16可知，点A，B，C，D，P的坐标依次是（2，2），（4，0），（1，-2），（-1，0），（0，3）.

6

由点P绕点A旋转180°，得点P1，其坐标为（4，1）;

由点P1绕点B旋转180°，得点P2，其坐标为（4，-1）;

由点P2绕点C旋转180°，得点P3，其坐标为（-2，-3）;

由点P3绕点D旋转180°，得点P4，其坐标为（0，3），

显然点P4与点P重合，

于是有点P5与点P1重合，

点P6与点P2重合，

点P7与点P3重合，

点P8与点P重合，

……

又2013÷4=503……1，

所以点P2013的坐标与点P1的坐标相同，即为（4，1）.

5.答案：15.

7

解：由不等式组

3x-a≥05x-b<0，

得a3≤x

又不等式组3x-a≥05x-b<0的整数解仅有1和2，可在数轴上表示出这个不等式组的解，如图17.

由图不难看出0

2

由①，得0

所以a=1，2，3.

由②，得10

所以b=11，12，13，14，15.

由上可知，满足题意的a的整数值有3个， b的整数值有5个，所以满足这个不等式组的有序整数对（a，b）的个数是

3×5=15.

6.答案：7.

解：用字母标注长方体的各顶点，如图18.图18

因为长方体的长、宽、高分别为2，3，4， 根据勾股定理可求得

三条面对角线的长分别为

22+32=13，

32+42=5，

22+42=25，

体对角线的长为

22+32+42=29.

可分以下三种情况分析：

（1）由长方体的两条棱和一条面对角线可组成3种周长不同的三角形，如：

△ABE的周长 L=3+4+5=12，

△ADE的周长L=2+4+25=6+25，

△ABC的周长L=2+3+13=5+13.

（2）由长方体的一条棱、一条面对角线和一条体对角线也可组成3种周长不同的三角形，如：

△ACE的周长 L=4+13+29，

△AFD的周长L=2+5+29=7+29，

△ABG的周长L=3+25+29.

（3）由长方体的三条面对角线只能组成1种三角形，如：

△ACF的周长 L=5+25+13.

综上，一共可组成7种周长不同的三角形.

7.答案：32.

9

解：设⊙O1与⊙O2的半径分别为R1和R2，从A点分别作两圆的直径AE和AF，连接CE和DF，如图19.

因为AD和AC分别切⊙O1和⊙O2于点A，

所以AE⊥AD，AF⊥AC，

则∠EAD=∠FAC=90°，

由弦切角定理知

∠1=∠ACB，∠2=∠ADB，

所以△ABC∽△DBA.

因为AE，AF分别是⊙O1与⊙O2的直径，

所以∠ACE=∠ADF=90°，

又∠EAC=90°-∠CAD=∠FAD，

所以△ACE∽ △ADF，

于是AC∶AD=AE∶AF

=（2R1）∶（2R2）

=R1∶R2，

又S△ABC∶S△ABD=AC2∶AD2，

所以S△ABC∶S△ABD=R21 ∶R22 .

又因為S△ABC∶S△ABD=3∶4，

故R1∶R2=32.

0

8.答案：2.

解：从点A作AA1⊥x轴于点A1，从点B作BB1⊥x轴于点B1，如图20.

用S1，S2，S3，S4依次表示△OAA1，△OBB1，△OAB和梯形AA1B1B的面积.

由反比例函数的性质，可知

S1=12xA·yA=12，

S2=12xB·yB=2，

则S3=S4-S1-S2.

设OA1=a（a>0），OB1=b（b>0），则

AA1=1a，BB1=|-4b|=4b.

所以S3=12（1a+4b）（a+b）-12-2

=12（1+4+ba+4ab）-52

=12（ba+4ab）

=12·（b2+4a2-4ab）+4abab

=12·（b-2a）2ab+2.

因为a>0，b>0，

所以，当（b-2a）2=0，即b=2a时，△OAB的面积最小，最小值是2.

9.答案：500050.

解：观察题设数表中数的特点，可将题设数表中的数表示成以下两个数表中在同一位置的两数之和，即

123…99100

123…99100

123…99100

………………

123…99100

123…99100

000…00

100100100…100100

200200200…200200

………………

980098009800…98009800

990099009900…99009900

因为选出的100个数既不在同一行，也不在同一列，所以它们的和是

（1+2+…+100）+（0+100+…+9900）

=500050.

10.答案：（26，0）.

1

解：因为点A（3，3）在函数y=kx（x>0）的图象上，所以点A的坐标满足函数式，

于是3=k3，

解得k=33.

分别从点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F，如图21.

易知OE=3，AE=3.

设BF=a， 则CF=3a，

所以点C的坐标为（23+a，3a）.

由点C在函数y=33x（x>0）的图象上，知点C的坐标满足函数式，即

3a（23+a）=33，

解得a1=6-3，

a2=-3-6（舍去），

所以点D的横坐标为

23+2a=23+2（6-3）=26.

故点D的坐标为（26，0）.

11.答案：300.

解：因为小于10的质数有2，3，5，7，并且6个质数的和是23，所以6个质数中至少有一个是2，则另外5个质数的数字和是21.

以下分两种情况：

（1）如果5个数字中含有7，因为不可能有3个7，所以可能的情形是：

7，7，3，2，2，2，这时一共有6！3！·2！=60（种）;

7，5，5，2，2，2，这时一共有6！3！·2！=60（种）;

7，5，3，3，3，2，这时一共有6！3！=120（种）.

（2）如果5个数字中不含7， 则可能的情形只能是：

5，5，5，3，3，2，这时一共有6！3！·2！=60（种）.

故这样的六位数一共有

60+60+60+120=300（个）.

12.答案：8-333.

解：设正方形A和B的边长分别是a和b，扇形的半径是r.

2

如图22，在Rt△OMN中，

MN=a，∠MON=60°，

所以ON=MN÷tan 60°=33a.

由勾股定理，得

r2=a2+（a+33a）2=7+233a2.

3

如图23，在等边三角形△OPQ中，PQ=b，∠POQ=60°，所以

OK=OQ·sin 60°=32b.

由勾股定理，得

r2=（12b）2+（b+32b）2

=（2+3）b2.

故正方形B和A的面积比是

b2a2=7+2332+3=8-333.

13.答案：56.

解：设AM=m，MD=4-m.参照原题图6，在Rt△AME中，由勾股定理得

ME2=AE2+AM2，

又MD=ME，

所以（4-m）2=22+m2，

解得m=32.

由折叠条件知

∠MEP=∠D=90°，

于是∠AEM+∠BEP=90°.

又∠BEP+∠BPE=90°，

所以∠AEM=∠BPE.

又∠A=∠B=90°，

所以Rt△AEM∽Rt△BPE，

于是AEAM=BPBE，①

由①，得2m=BP2，

從而BP=4m=83.

在Rt△EBP中，

EP2=BE2+BP2=22+（83）2

=1009，

所以EP=103，

于是PF=EF-EP

=DC-EP

=4-103

=23.

因为∠BPE=∠FPN，

∠B=∠PFN=90°，

所以Rt△BPE∽Rt△FPN，

于是BPPE=FPPN，②

由②，得83103=23PN，

故PN=2×53×4=56.

4

14.答案：（312，0）.

解法1：连接AC，作DE∥AC，DE交x轴于点E，如图24.

由DE∥AC，

得S△ADE=S△CDE.

设直线AC的方程为

y=kACx+b，

则kAC=8-03-2=8，

因为DE∥AC，

所以kDE=kAC=8，

于是直线DE的方程为

y=8x-62.

令y=0，得

E点的横坐标是314，

由题设条件知点E是OB的中点，所以

xB=2xE=2×314=312.

故点B的坐标是（312，0）.

解法2：分别从点A和点D作OB的垂线，垂足分别为点A′和D′，如图25.可知

S四边形OADC=S△OAA′+S梯形ADD′A′-S△CDD′

=12×3×8+12×（2+8）×（8-3）

-12×（8-2）×2

=12+25-6

5

=31.

设点B的坐标为（b，0），由

S四边形OADC=12S△AOB

知S△AOB=2×31=62.

又因为S△AOB=12·b·8，

所以12·b·8=62.

解得b=312.

故点B的坐标是（312，0）.

15.答案：92.

解：由a+b+c=0，a2+b2+c2=3，得

a+b=-c，（a+b）2=（-c）2=c2，

于是2ab=c2-（a2+b2）

=c2-（3-c2）

=2c2-3，

所以ab=c2-32.

a2b2=（c2-32）2=c4-3c2+94，①

同理，得b2c2=a4-3a2+94，②

c2a2=b4-3b2+94，③

又a4+b4+c4

=（a2+b2+b2）2-2（a2b2+b2c2+c2a2），④

将①、②、③及a2+b2+c2=3一起代入到④中，则得

a4+b4+c4

=32-2[a4+b4+c4-3（a2+b2+c2）+274]

=9-2（a4+b4+c4）+2×3×3-272

=272-2（a4+b4+c4），

解得a4+b4+c4=92.

16.答案：25.

解：由题意知，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，根据韦达定理，有

x1+x2=-ba<0

x1x2=ca>0，

所以x1<0，x2<0.

因为抛物线与x轴有两个不同的交点，

所以Δ=b2-4ac>0.

又因为b是正整数，所以

b>2ac.①

因为|x1|与|x2|都大于1，

所以x1<-1，x2<-1.

于是ca=x1x2>1，

得c>a.②

因为a≥1>0，故抛物线开口向上，且当x=-1时，y=a-b+c>0，即

a+c>b.

又因为a，b，c是正整数，所以

a+c≥b+1，

由①，得a+c>2ac+1，

（a-c）2>1.

由②，得c-a>1.

即c>a+1.

所以c>（a+1）2≥4.

于是c≥5.

又b>2ac≥21×5>4，

所以b≥5.

当a=1，b=c=5时，abc取得最小值，故

abcmin=25.图26

17.答案：24-11324.

解：从点A作AE⊥DC于点E，如图26.

易知EC=AB=1，

于是DE=DC-EC

=3-1

=2.

已知∠D=60°，

∠E=90°，

所以∠DAE=30°，

AD=2DE=4.

在AD上截取AF=AB=1，则DF=3.

以A为圆心，1为半径画FB，又以D为圆心，3为半径画FC，则在已知的梯形内，扇形ABF和扇形DFC以外的部分的点可以满足PA>AB及PD>DC，所以待求的概率是

S阴影S梯形ABCD=S梯形ABCD-S扇形BAF-S扇形FDCS梯形ABCD

=1-1S梯形ABCD（13·π·12+16·π·32）

=1-116π·112（1+3）·23

=72-113π72

=24-11324.

18.答案：22.

解法1：延长DA，CE，交于点F，如图27.

7

因为DA∥CB，

可得AFCB=AEEB=17，

因为BC=7，

所以AF=AEEB·CB=1.

因为DA∥CB，

所以∠F=∠2，

因为CE平分∠DCB，

所以∠1=∠2，

于是∠F=∠1，

所以DC=DF=DA+AF.①

又作DG⊥CB于點G.因为DB平分∠ABC，由角平分线的性质，得

AD=DG.

又因为∠DAB=∠ABC=∠DGB=90°，

所以，四边形ABGD是正方形.

设AD=DG=x，则由①，得

DC=DA+AF=1+x，

CG=CB-GB=7-x.

在Rt△CDG中，

CD2=CG2+DG2，

即（1+x）2=（7-x）2+x2.

整理，得x2-16x+48=0

解得x=4或x=12（12>7，舍去）

所以梯形ABCD的面积为

12（7+x）·x=22.

8

解法2：从点D作DG⊥BC于点G.如图28.因为∠A=90°，BD平分∠ABC，由角平分线的性质，得

DA=DG，

又因为DA∥CB，

所以，四边形ABGD是正方形.

延长BA，CD交于点F.设AE=x，则

EB=7x，AB=AD=BG=DG=8x.

由AD∥BC，得

△FAD∽△DGC，

所以FADG=DACG，

于是FA=DACG·DG=DA·DGCB-GB

=8x·8x7-8x=64x27-8x.

因为CE平分∠BCD，由角平分线的性质定理，得

CFCB=EFBE，

则CF=EFBE·BC=7（x+64x27-8x）7x

=56x+77-8x.

在Rt△FBC中，由勾股定理，得

BC2+BF2=CF2，

即49+（64x27-8x+8x）2=（56x+77-8x）2，

整理，得4x2-8x+3=0，

解得x=12或x=32

（此时FA=64x27-8x<0，舍去）.

所以梯形ABCD的面积为

12（7+8x）·8x=22.

19.答案：215+146.图29

解：在优弧上取点P，分别连接OA，OP，OM，ON，OB，并作弦PA=MN，再连接PN和PB，如图29.

因为S四边形AMNB=S△AOM+S△MON+S△NOB+S△BOA，

由弦AB和MN是定长，可知S△MON和S△BOA是定值，所以要使S四边形AMNB最大，只需使

S△AOM+S△NOB①

最大.

由PA=MN，可知

∠MON=∠POA，

∠MOA=∠NOP，

S△AOM=S△NOP，

于是，①可以写成

S△NOP+S△NOB，②

所以，要使①最大，就是使②最大.注意到S△POB是定值，并且

②+S△POB=S△PNB，

所以，使②最大，就是要使S△PNB最大，此时，点N应当是弦PB的中垂线与⊙O的交点，于是必有

∠BON=∠NOP=∠MOA，

由①的对称性可知，必有MN∥AB，

此时，S四边形AMNB最大，这个值是

S=12（MN+AB）hMN与AB之距

=12（4+10）（72-22+72-52）

=215+146.

20.答案：28.

解：設梯形上底长为a，下底长为b，两腰的长分别是c和d，过上底的右顶点作左腰的平行线，则长为c，d，（b-a）的三条线段能构成三角形，如图30.

0

不妨设a

（1）当a=6时，长为6的线段最长，它不能作为梯形的上底，所以没有满足条件的梯形.

（2）当a=5时，因为b>a，所以若b=6，则b-a=1，其他4条线段是1，2，3，4.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形，所以没有满足条件的梯形.

（3）当a=4时，因为b>a，所以

若b=5，则b-a=1，其他4条线段是1，2，3，6.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形.

若b=6，则b-a=2，其他4条线段是1，2，3，5，于是c和d可以选1和2，或2和3.

满足条件的梯形有2种.

（4）当a=3时，因为b>a，所以

若b=4，则b-a=1，其他4条线段是1，2，5，6.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形.

若b=5，则b-a=2，其他4条线段是1，2，4，6，于是c和d可以选1和2.

若b=6，则b-a=3，其他4条线段是1，2，4，5，于是c和d可以选2和4，或4和5.

满足条件的梯形有3种.

（5）当a=2时，因为b>a，所以

若b=3，则b-a=1，其他4条线段是1，4，5，6.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形.

若b=4，则b-a=2，其他4条线段是1，3，5，6，于是c和d可以选5和6.

若b=5，则b-a=3，其他4条线段是1，3，4，6，于是c和d可以选1和3，或3和4，或4和6.

若b=6，则b-a=4，其他4条线段是1，3，4，5，于是c和d可以选1和4，或3和4，或3和5，或4和5.

满足条件的梯形有8种.

（6）当a=1时，因为b>a，所以

若b=2，则b-a=1，其他4条线段是3，4，5，6.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形.

若b=3，则b-a=2，其他4条线段是2，4，5，6，于是c和d可以选4和5，或5和6.

若b=4，则b-a=3，其他4条线段是2，3，5，6，于是c和d可以选2和3，或3和5，或5和6.

若b=5，则b-a=4，其他4条线段是2，3，4，6，于是c和d可以选2和3，或2和4，或3和4，或3和6，或4和6.

若b=6，则b-a=5，其他4条线段是2，3，4，5，于是c和d可以选2和4，或2和5，或3和4，或3和5，或4和5.

满足条件的梯形有15种.

综上，满足条件的梯形有

2+3+8+15=28（种）.

接力赛

1A.答案：110.

解：设小虎的速度为v m/min，他从A地到B地用t min，则小明的速度为v（1+10%）m/min，他从A地到B地用（t-10）min.

根据两人所走过的路程相等，列方程得

v（1+10%）·（t-10）=vt，

整理，得v（1.1t-11）=vt，

由于v≠0，所以上式两边同除以v，得

1.1t-11=t，解得t=110，

因此，小虎从A地到B地用110 min.

1B.答案：109444.

解：将方程x2+3nx+2n2=n+1化为标准形式，得

x2+3nx+（2n2-n-1）=0，

由根与系数的关系，得

an+bn=-3n，

an·bn=2n2-n-1，

所以  （an-1）（bn-1）

=anbn-（an+bn）+1

=（2n2-n-1）-（-3n）+1

=2n2+2n

=2n（n+1），

于是1（an-1）（bn-1）

=12n（n+1）=12（1n-1n+1），

所以  1（a2-1）（b2-1）+1（a3-1）（b3-1）+…+1（aT-1）（bT-1）

=12[（12-13）+（13-14）+…+（1T-1T+1）]

=12（12-13+13-14+…+1T-1T+1）

=12（12-1T+1）.

由前一位队友传来的答案T=110，得

1（a2-1）（b2-1）+1（a3-1）（b3-1）

+…+1（aT-1）（bT-1）

=12（12-1T+1）

=12（12-1111）

=109444.

2A.答案：41.

解：539×422=539×244

=（539×239）×25

=1039×32.

因为1039是39位数（1后面，有39个0），所以，乘积539×422的位数是39+2=41.

2B.答案：8.

解：参照原题图1，因为

S△ABC=12AC·BC·sin∠ACB

=12AB·CD，①

已知AC·BC=AB·CD，②

由①、②，得sin∠ACB=1，

所以∠ACB=90°.

在Rt△ABC中，

BC2=AB2-AC2

=（AB+AC）（AB-AC），③

由題设知AB+AC=2BC，④

由③、④，得BC2=2BC·（AB-AC），

所以BC=2（AB-AC）.⑤

联立④、⑤，解得

AB=54BC， AC=34BC，

所以AB∶BC∶AC=5∶4∶3.

设AB=5k，则

BC=4k，AC=3k，

由△ABC的三条边长都是小于T的整数，知3k，4k，5k都是正整数，又因为3，4，5互质，所以

k是正整数，

由△ABC的三条边长都是小于T的整数，得

1≤5k

又由前一位队友传来的答案，知T=41，

所以15≤k<415，

故正整数k的取值是1，2，3，4，5，6，7，8，共8个，

于是△ABC的三条边长的取值有8种，

因此，满足题意的三角形共有8个.

3A.答案：13.

解：以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含圆上的点）共有13个整点，如图31.

在图4中，以原点为圆心，2为半径的圆的内接正方形所覆盖的整点个数是13，

所以以原点为圆心，2为半径的圆的内接正方形所覆盖的整点个数的最大值是13.

1

3B.答案：8.5.

解：设S△DEC=x，则

S△BCE=S△BCD-S△DEC=17-x，①

S△AED=S△ACD-S△DEC=T-x，②

于是S△ABE=S△ABD-S△AED

=9-（T-x）

=9-T+x，③

由等高三角形的面积比等于底边的比，知

S△ABES△BCE=AEEC=S△AEDS△DEC，④

将①、②、③代入④，得

9-T+x17-x=T-xx，

化简，得26x=17T，

由前一位队友传来的答案，知T=13，

所以26x=17×13，

解得x=8.5，

即S△DEC=8.5.

个人赛

1.答案：7.

解：设m，n，p是三角形的三边长，且m≤n≤p，则

m+n+p=15.

m5341234

n5657654

p5667777

故以m，n，p为边长的三角形有7个.

2.答案：3328.

解法1：由2x+3y-2z=02x-3y+4z=0，可用x表示y和z，得

y=z=-2x，

于是  （3x-2y）2-（3y-5z）2（3x-2y）（3y-5z）

=3x-2y3y-5z-3y-5z3x-2y

=3x-2（-2x）3（-2x）-5（-2x）-3（-2x）-5（-2x）3x-2（-2x）

=7x4x-4x7x

=3328.

解法2：由 2x+3y-2z=02x-3y+4z=0，①②

①+②，得4x+2z=0，

即x=-12z，

①-②，得6y-6z=0，

即y=z，

于是3x-2y=-32z-2z=-72z，

3y-5z=3z-5z=-2z，

从而（3x-2y）2-（3y-5z）2（3x-2y）（3y-5z）

=（-72z）2-（-2z）2（-72z）（-2z）=3328.

3.答案：2.

2

解：如图32，作BP平分∠ABC，交AC于点P，则

∠1=∠2=12∠ABC=36°.

又由AB=AC，∠ABC=72°，

知∠A=180°-2∠ABC=36°，

所以△ABC∽△BPC，

则ACBC=BCPC，

即BC2=AC·PC，

所以BC2=AC（AC-AP）.①

注意到由∠1=∠A，知

AP=PB=BC.

设BC为x，则由①得

x2=（5+1）（5+1）-x，

即x2-（5+1）x-（5+1）2=0，

解得x=2或x=-3-5（舍去）.

4.答案：253.

解：参照原题图1，因为

∠B=90°，∠A=30°，AC=20，

所以BC=12AC=10，

AB=AC2-BC2=202-102=103.

设BE=FP=x.因为∠B=90°，PF⊥AB，所以

△AFP∽△ABC，

所以AFFP=ABBC=10310=3，

则AF=3x，

BF=103-3x，

于是 S矩形BEPF=BE·BF

=x·（103-3x）

=-3x2+103x

=-3（x-5）2+253

≤253，（当x=5时，取等号）

故矩形BEPF的面积最大为253.

5.答案：67.

3

解：如图33，分别延长BE和CD，交于点P.

设正方形ABCD的边长为3，则

AE=DF=2，DE=1.

由∠EDP=∠C=90°，知

Rt△PED∽Rt△PBC，

于是PDPC=EDBC，

即PDPD+DC=13，

亦即PDPD+3=13，

解得PD=1.5.

由AB∥PC，∠AGB=∠FGP，知

△ABG∽△FPG，

于是AGFG=ABFP

=ABPD+DF

=31.5+2

=67.

6.答案：（6，4）或（1，1）.

解：经过配方，原方程即

（x-12）2-（y+52）2+12=0，

亦即（x+y+2）（x-y-3）=-12.

因为x，y都是正整数，

所以x+y+2≥4.

又因为-12=12×（-1）

=6×（-2）

=4×（-3），

于是可得下表：

x+y+21264

x-y-3-1-2-3

x62.51

y41.51

由上表知方程x2-y2-x-5y+6=0的正整数解是（6，4）或（1，1）.

7.答案：835.

解：因为从8个木块中取出1个，有8种取法;从剩下的7个中取1个，有7种方法;从剩下的6个中取1个，有6种取法;从剩下的5个中取1个，有5种取法，所以从8个木块中取4个，取法共有

8×7×6×5=1680（种）.

因为从8个木块中任意取出1个，有8种取法;从剩下的7个中取出1个不同于第一次的，有6种方法;从剩下的6个中取1个不同于前两次的，有4种取法;从剩下的5个中取1个不同于前三次的，有2种取法，所以从8个木块中取出4个，可组成的情形，共

8×6×4×2=384（种）.

故从8个木块中取出4个木块，可组成的概率是

3841680=1670=835.

8.答案：±2.

解：方程x2-mx=1

即x2-mx=1，①

或x2-mx=-1.②

显然，不存在同时满足①和②的x，所以①和②没有相同的根.

对于①，有Δ1=m2+4>0，

所以①有2个不等的实数根.

又因为方程x2-mx=1有3个不同的实数根，所以②只能有2个相等的实数根，于是

Δ2=m2-4=0，

所以m=±2.

9.答案：1.

4

解：如图34，AE是最长的对角线，BD是最短的对角线.

作BM⊥AE于M，DN⊥AE于N.

因为正九边形的一个内角

∠BCD=180°-360°÷9

= 140°，

所以  ∠CBD=∠CDB=（180°-140°）÷2

=20°.

由轴对称性知BD∥AE，

则∠ABM=140°-90°-20°=30°，

在Rt△ABM中AM=12，

同理，在Rt△DNE中

NE=12DE=12，

故正九边形的对角线的差的最大值是

AE-BD=AM+NE=1.

10.答案：70.

解：设原来A組中有m（m>1）个数，平均数是a;则原来B组中有（100-m）个数，平均数是b.这100个数的和是

am+b（100-m）=1+2+3+…+100

=5050.①

将30从A组移入B组，则此时A组数的平均数是am-30m-1，B组数的平均数是

b（100-m）+30100-m+1.

因为两组数的平均数都比原来大05，

所以am-30m-1-a=0.5

b（100-m）+30100-m+1-b=0.5，

化简得a=0.5m+29.5b=0.5m-20.5，②③

将②和③代入①，解得

m=71，

所以，现在A组中的数有

71-1=70（个）.

11.答案：1.

解法1：由|x|+y=2，得

y=2-|x|，①

将①代入到|x|y+x3=0，得

x3-x2+2|x|=0.②

（1）当x>0时，②式即

x3-x2+2x=0，

亦即x（x2-x+2）=0，

因為x>0，

所以x2-x+2=0，

因为Δ=（-1）2-4×2=-7<0，

所以此方程无实根.

（2）当x<0时，②式即

x3-x2-2x=0，

亦即x（x2-x-2）=0，

于是x2-x-2=0，

解得x=-1或x=2（舍），

于是y=2-|x|=2-1=1.

解法2：由|x|+y=2，得

y=2-|x|，①

由|x|y+x3=0，得

y=-x3|x|.②

5

分别作出这两个函数的图象，如图35，于是两个函数的图象的交点的纵坐标就是所求的y的值.

解得y=1.

12.答案：12.

解：设2x3=3y3=4z3=m，则

②式的等号左侧

32x2+3y2+4z2=3mx+my+mz，

②式的等号右侧

2+312+316=34（3mx3+3my3+3mz3），

所以3mx+my+mz

=34（3mx3+3my3+3mz3），

即3m·31x+1y+1z

=3m[34（1x+1y+1z）]，

31x+1y+1z=34（1x+1y+1z）.

于是1x+1y+1z=4（1x+1y+1z）3，

得（1x+1y+1z）[4（1x+1y+1z）2-1]=0，

因为xyz>0，

所以1x+1y+1z≠0

故得1x+1y+1z=12.

13.答案：60°.

解：因为ab=a+ba+b+c，

所以由合比定理得

ab=-a-b=a+b-aa+b+c-b=ba+c.（*）

延长CB至D，使BD=AB，连接AD，如图36，于是有

CD=CB+BD图36

=a+c.

所以（*）式即

BCAC=ACDC，

又因为在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，所以

△ABC∽△DAC，

于是∠BAC=∠D.

因为∠BAD=∠D，

所以∠ABC=∠D+∠BAD

=2∠D

=2∠BAC.

由题设∠BAC=30°，得

∠ABC=2×∠BAC=60°.

14.答案：13.

解：设有x个-2，y个0，z个1，则由题设可得

x+y+z=30-2x+0·y+1·z=-18（a21+a22+…+a230）-2（a1+a2+…+a30）+30=126，①②③

其中②即2x-z=18，④

③即x·（-2）2+y·02+z·12-2·（-18）=96，

亦即4x+z=60，⑤

解x+y+z=302x-z=184x+z=60，①④⑤

得x=13y=9z=8.

所以在a1，a2，…，a30中，取值为-2的有13个.

15.答案：29.

解法1：不超过100的正整数的平方数有：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.所以“希望数”应当是从这10个数中取2个的和，且这个和不大于100，有以下情形：

从1，4，…，36，49中任取两个数，它们的和都小于100，有7×6÷2=21个满足条件的数.

64与1，4，…，36分别相加，得到6个满足条件的数.

81与1，4，9，16分别相加，得到4个满足条件的数.

其中，有65和85都被多算了一次：

65=12+82，且65=42+72，

85=22+92，且85=62+72，

所以满足条件的数共有：

21+6+4-2=29（个）.

解法2：分别列出1，2，3，…，9的平方，再将不同的平方数分别相加：

序数

平方

平方

序数

123456789

149162536496481

11

245

391013

416172025

52526293441

6363740455261

749505358657485

8646568738089100

98182859097

如上表，知符合条件的数有

8+7+6+4+3+1=29（个）.

16.答案：（-2，1）或（14，49）.

解：由y=14x2

y=-12x+6，

解得x=4y=4 或x=-6y=9.

不妨令A点、B点的坐标分别是（4，4），（-6，9）.设点P的坐标为（x，y）.

由△ABP是直角三角形，知点A，B，P都可能是直角顶点.下面分类讨论：

（1）若∠BPA=90°，则

AP2+BP2=AB2，

即 （x-4）2+（y-4）2+（x+6）2+（y-9）2

=（4+6）2+（4-9）2，

将之与y=14x2联立方程组，解得

x=-2y=1.

（2）若∠ABP=90°，则

AB2+BP2=AP2，

即 （4+6）2+（4-9）2+（-6-x）2+（9-y）2

=（4-x）2+（4-y）2，

将之与y=14x2联立方程组，解得

x=14y=49.

（3）若∠PAB=90°，则

PA2+AB2=PB2，

即（x-4）2+（y-4）2+（4+6）2+（4-9）2

=（x+6）2+（y-9）2，

将之与y=14x2联立方程组，解得

x=4y=4（舍去）.

故点P的坐标是（-2，1）或（14，49）.