用好斜边上的高

李玉荣

【摘要】 斜边上的高是直角三角形的一条重要线段，适时构造，可以帮助我们解题.

【关键词】 直角三角形;斜边;高

定理 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似.

例1 如图1，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.

（1）求证：CP=CB;

（2）若OB=4，CB=3，求线段BP的长.

解 （1）略;

（2）如图1，易知∠OBC=90°，

OC=5，OP=2，

PA=AO2+PO2=25，

作OD⊥AB于点D，

因为OC⊥OA，

所以△ADO ∽△AOP，

可得AOAP=ADAO，

即425=AD4，

所以AD=855，

AB=2AD=1655，

进而PB=AB-AP=1655-25=655.

例2 如图2，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E恰为BO的中点，则线段B′E的长为.

解 如图2，因为AO=3，BO=6，

所以AB=35，

过点O作OF⊥A′B′于点F，

因为∠A′OB′=90°，

OF⊥A′B′，

所以△A′FO∽△A′OB′，

所以A′OA′B′=A′FA′O，

即335=A′F3，

所以A′F=355，

从而A′E=2A′F=655，

所以B′E=35-655=955.

例3 如图3，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点.

（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形;

（2）当△PEF的周长最小时，求DPCP的值;

（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP=45°时，求PC的长.

解 （1）、（2）略;

（3）如图3，因为AB=2，AD=4，

所以AC=25，

设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N，

因为∠EMP=45°，

所以OM=OQ，NQ=BN，

由AB·BC=AC·BN，得

2×4=25BN，

所以NQ=BN=455，

在Rt△ABN中，

AN=AB2-BN2

=22-4552

=255，

所以AQ=AN+NQ=655，

CQ=AC-AQ=455，

由AB∥CP，得 △ABQ∽△CPQ，

得ABCP=AQCQ，

即2PC=655455，

解得PC=43.

例4 如图4，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则APAT的最大值是.

解 如图4，过点A作AG⊥BD于G，

因为BD是矩形的對角线，

所以∠BAD=90°，

所以BD=AD2+BD2=5，

因为12AB·AD=12BD·AG，

所以AG=125，

因为BD是⊙C的切线，

所以⊙C的半径为125，

过点P作PE⊥BD于E，则

∠AGT=∠PET，

因为∠ATG=∠PTE，

所以△AGT∽△PET，

所以AGPE=ATPT，

所以PTAT=512PE，

因为APAT=AT+PTAT=1+PTAT=1+512PE，

要使APAT最大，只需PE最大，连接PC，CH，显然

PE≤PC+CH=2×125=245，

所以APAT最大值为1+2=3.

例5 如图5，△ABC中，∠ACB=90°，AC =8，BC=6，点E为BC中点，以AC为直径的⊙O与AB交于点D，

（1）求证：DE是⊙O的切线;

（2）点F为直线CB上一点，AF交⊙O于点G，连接CG，求CGAF的最大值.

解 （1）略;

（2）如图5，作GH⊥AC于H，连接OG，

因为∠AGC=90°，

GH⊥AC，

所以△CHG∽△FCA，

可得CGAF=HGAC，

因为HG≤OG，

所以CGAF≤OGAC=12，

即CGAF的最大值为12.