合分比性质定理在初中阶段的运用

张帆

【摘要】 合分比性质在基础教育阶段一般作为一种技巧性应用工具，特别在初中数学阶段，是分数或者分式计算中常用的性质之一，包括合分比性质、分比性质和合比性质，很多时候一旦用合分比性质这一技巧解题时，题目就可以迎刃而解.

【关键词】 合分比;技巧性

性质1 分比性质：在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于比的前后项的差与它的后项的比.

字母表达 若ab=cd，则

a-bb=c-dd（b≠0，d≠0）.

性质2 合比性质：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它的前后项的差的比，等于第二个比的前后项的和与它的前后项的差的比.

字母表达 若ab=cd，则a+ba-b=c+dc-d（a≠b，c≠d，b≠0，d≠0）

性质3 等比性质：在一个比例里，两前项之和与两后项之和的比与原比例相等.

字母表达 若ab=cd，则a+cb+d=a-cb-d=ab=cd=a-cb-d（b±d≠0，b≠0，d≠0）

推论1 若a1b1=a2b2=a3b3=…=anbn（n是正整数），

则a1+a2+…+anb1+b2+…+bn=a1b1

（b1+b2+…+bn≠0，bi≠0（i=1，2，…，n））

证明：不妨设a1b1=a2b2=a3b3=…=anbn=k（k≠0），则ai=kbi（i=，2，…，n）

所以a1+a2+…+anb1+b2+…+bn=kb1+kb2+…+kbnb1+b2+…+bn

=k（b1+b2+…+bn）b1+b2+…+bn=k=a1b1，

得证.

在这三个性质中，我们用等比性质最多，下面来看一下相关的例题，数学就像是做游戏一样，大家都必须遵守游戏规则.在数学学习中使用定理时一定要注意前提条件，不看前提条件而滥用性质定理时必错无疑.

例1 已知a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，若a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，则（a+b）（b+c）（a+c）-cabc=.

分析 由题目条件中有3个比例式不难想到等比性质，合分母a+b+c≠0更加说明可以使用等比性质.

解 令k=a+b-cc=a-b+cb

=-a+b+ca（k≠0），

则k=（a+b-c）+（a-b+c）+（-a+b+c）a+b+c

=a+b+ca+b+c=1，

所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b.

所以（a+b）（b+c）（a+c）abc=2c·2a·2babc=8.

例2 已知abc≠0，且a+bc=b+ca=a+cb，则（a+b）（b+c）（a+c）abc=.

分析 此题目条件中有3个比例不难想到用等比性质，但合分母a+b+c不知与0的大小关系，所以此题中要分清楚类别，按照情况讨论说明

a+b+c=0与a+b+c=0.

解 当a+b+c≠0时，令

k=a+bc=b+ca=a+cb（k≠0），

则k=（a+b）+（b+c）+（a+c）c+a+b

=2c+2a+2bc+a+b

=2，

所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，

原式=a+bc·b+ca·a+cb=k3=8.

（2）当a+b+c=0时，

k1=a+bc=b+ca=a+cb，

所以a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，

所以k1=-1.

原式=a+bc·b+ca·a+cb

=k31=（-1）3=-1.

注 不要忽略合分母a+b+c=0的情况，题目的措辞中往往影响着不同的思考方法，拿到题目先认真读题，再思考情况，想清楚包含哪几种情况方能达到事半功倍的效果.

例3 已知实数x，y，z满足xx+1=yy+2=zz+3=x+y+z3，则x+y+z=.

分析 由这四个式子不难看出，第四个式子的分子即为合分子，很容易看出应该使用合分比性质.

解 设k=xx+1=yy+2=zz+3

=x+y+z3（k≠0），

则k=x+y+z+（x+y+z）（x+1）+（y+2）+（z+3）+3

=2（x+y+z）x+y+z+9，

令x+y+z=a（a≠-9），联立

x+y+z3=2（x+y+z）x+y+z+9可得

a3=2aa+9，

解得a1=0，a2=-3，

即x+y+z=0或-3.

例4 已知k=a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，且m-5+n2+9=6n，则关于自变量的x一次函数y=kx+m+n的图象一定经过第象限.

分析 判断一次函数y=kx+m+n的图像一定经过的象限，则首先根据题目的已知条件确定k以及m，n的值，求得一次函数y=kx+m+n的解析式，然后通过画图便可以求出答案.

解 由m-5+n2+9=6n可得

m-5+（n-3）2=0，

则m=5，n=3，

因为k=a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca.

（1）当a+b+c≠0时，

k=（a+b-c）+（a-b+c）+（-a+b+c）c+b+a

=a+b+ca+b+c=1.

（2）当a+b+c=0时，

因为a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，

所以k=a+b-cc=-c-cc=-2，

故而直线y=kx+m+n的解析式为

y=x+8或y=-2x+8，

直线y=x+8经过第一、二、三象限;

直线y=-2x+8经过第一、二、四象限;

综上所述：y=kx+m+n的图象一定经过第一、二象限.

例5 已知y+z-xx+y+z=z+x-yy+z-x=x+y-zz+x-y=p，求p+p2+p3的值.

分析 三个式子都等于p，由于它们的构造是分母分子有些是交错，一旦相乘便可以约分，那么其中任意两个式子相乘即为p2，全部三个式子相乘即为p3.

解 因为

p2=y+z-xx+y+z·z+x-yy+z-x=z+x-yx+y+z，

p3=y+z-xx+y+z·z+x-yy+z-x·x+y-zz+x-y

=x+y-zx+y-z，

所以p+p2+p3

=y+z-xx+y+z+z+x-yx+y+z+x+y-zx+y+z

=x+y+zx+y+z=1.

例6 已知2x=3y-z=5z+x，则5x-yy+2z的值为.

分析 从三个等式中不难看出后两个分子相加便可以得到x+y，此时消去了z，找到x与y之间的关系，再找z与它们之间的关系.

解 令p=2x=3y-z=5z+x（p≠0），

p=2x=3+5（y-z）+（z+x）=8x+y，

则y=3x，

所以p=2x=33x-z，

则z=32x，

所以5x-yy+2z=5x-3x3x+2·3x2=2x6x=13.

利用等式解決相关题目时，题目本身就是不断暗示我们应该怎样思考，以及相关解题技巧性处理步骤，用到合分母和合分子的时候多用等比性质，一定注意按一定的顺序讨论合分母为0和不为0的两种情况，然后计算出正确答案.