圆中常见的三类辅助线

孙静

【摘要】 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解.

【关键词】 辅助线;转换;构造

圆是初中重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的题，大部分需添辅助线，现就圆中常见辅助线的添法作一归纳，以期对同学们有所帮助.

1 连半径——构造等腰三角形

辅助线：连接圆心和弦的两个端点作圆的半径.

用到的知识：等边对等角.

例1 如图1，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC=30°，则⊙O的半径为cm.

分析 连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论.

解 如图，连接OC.

因为∠AOC=2∠ADC，

∠ADC=30°，

所以∠AOC=60°，

因为OA=OC，

所以△AOC是等边三角形，

所以OA=AC=5（cm），

所以⊙O的半径为5cm.

2 构造直角三角形

2.1 作弦心距构造直角三角形

辅助线：过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角兰角形.

辅助线：连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形.

用到的知识：垂径定理、勾股定理、锐角三角函数.

例2 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图2.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图3.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）

（A）1米. （B）（4-7）米.

（C）2米.（D）（4+7）米.

分析 连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD=12AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案.

解 连接OC交AB于D，连接OA，

因为点C为运行轨道的最低点，

所以OC⊥AB，

所以AD=12AB=3（米），

在Rt△OAD中，

OD=OA2-AD2

=42-32

=7（米），

所以点C到弦AB所在直线的距离

CD=OC-OD=（4-7）米，

故选（B）.

2.2 利用直径构造直角三角形

辅助线：作直径所对的圆周角.

辅助线：连接90°的圆周角的两边与圆的交点，得到直径.

用到的知识：圆周角定理的推论，勾股定理，锐角三角函数.

例3 如图4，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C=50°，则∠BAD的度数为.

分析 连接BD，由圆周角定理的推论可知

∠ABD=90°，

因为∠C与∠ADB所对的弧为AB，

所以∠ADB=∠C=50°.

所以∠BAD=90°-∠ADB=90°-50°=40°.

解 连接BD，如图.

因为AD为直径，

所以∠ABD=90°，

因为∠C与∠ADB所对的弧为AB，

所以∠ADB=∠C=50°.

所以∠BAD=90°-∠ADB=90°-50°=40°.

3 与切线有关的辅助线

辅助线：连接切点与圆心构造直角（三角形）

辅助线：连接切点与直径两端点、切点与圆心，构造两个直角（三角形）.

例4 如图5，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B=50°，则∠OCD为（）

（A）15°. （B）20°.

（C）25°.（D）30°.

分析 连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数.

解 连接OA，如图，因为AB切⊙O于点A，

所以OA⊥AB，

所以∠OAB=90°，

因为∠B=50°，

所以∠AOB=90°-50°=40°，

所以∠ADC=12∠AOB=20°，

因为AD∥OB，

所以∠OCD=∠ADC=20°.

故选（B）.

例5 如图6，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC.

（1）求证：AC平分∠EAB;

（2）若AE=12，tan∠CAB=33，求OB的长.

分析 （1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，根据平行线的性质得到∠EAC=∠OCA，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明结论;

（2）连接BC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AC，再根据正切的定义计算，得到答案.

证明 连接OC，

因为CD为⊙O的切线，

所以OC⊥DE，

因为AE⊥DE，

所以OC∥AE，

所以∠EAC=∠OCA，

因为OA=OC，

所以∠OAC=∠OCA，

所以∠EAC=∠OAC，

即AC平分∠EAB.

（2）连接BC，因为AB为⊙O的直径，

所以∠ACB=90°，

因为tan∠CAB=33，

∠EAC=∠OAC，

所以tan∠EAC=33，

即ECAE=33，

所以EC12=33，

解得EC=43，

在Rt△AEC中，

AC=AE2+EC2=122+（43）2=83，

因為tan∠CAB=BCAC=33，

所以BC=8，

在Rt△ABC中，

AB=AC2+BC2=（83）2+82=16，

所以OB=8.