巧添平行线求线段比

赵平

【摘要】 比例是由已知量求未知量的有效手段.而平行线又是得到比例线段的直接途径，在一道具体的题目中，怎么去构造平行线，怎么去思考？这是学习数学、提高数学素、提升数学能力的关键.

【关键词】 希望杯;同高三角形面积比等于底边的比;平行线

2014年“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试第23题：

如图1，E是平行四边形ABCD的对角线DB的延长线上的一点，且DB=2BE，F是DC的中点，EF交BC于点G.若平行四边形ABCD的面积为20，则△AEB的面积是，△BEG的面积是.

简析 由平行四边形ABCD的面积为20，BD是角平分线，于是得△ADB的面积是10，又E是DB的延长线上的一点，且DB=2BE，根据同高三角形的面积比等于底边长的比，所以△AEB的面积是5，分别过点A，C向DE作垂线，垂足分别为M，N，连接EC，根据平行四边形的性质易证

△ADM≌△CBN，

所以AM=CN，

所以△CEB的面积=△AEB的面积=5.

此时要求△BEG的面积只需得到线段BG与BC的比，再根据同高三角形的面积比等于底边长的比即可求得△BEG的面积.下面我们就如何来求线段BG与BC的比，来探究一下三角形中如何构造平行线合理利用中点条件.

总说 欲求线段BG与BC的比，有效的手段就是通过平行线，所以问题的关键就是如何构造平行线的问题，而构造平行线有两个条件，一是过哪一点，二是作哪条线的平行线，下面就这两个条件我们来详细分析.观察图1，在△BDC中，已知DB的延长线与FG的延长线的交点E，于是可知可利用的点有E，B，D，F，C，G六个点，这些点一共构成了四条线分别为DB，DC，CB，EF，而这六个点中的每一个点都在两条线上（如点F在DC上又在EF上），所以过一点可以作另两条线的平行线.

比如过点F作平行线，因为点F在线段EF上和线段DC上，所以过点F只可以作DE和BC的平行线.

方法1 如图2，过点F作FH∥DE交BC于点H，从而可知FH是△BDC的中位线，

所以2FH=BD，

又已知DB=2BE，

从而得BE=FH，

再由FH∥DE，得BG=GH，

又CH=BH，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面积=14△BEC的面积=14×5=54.

方法2 如图3，过点F作FH∥BC交DE于点H，从而可知FH是△BDC的中位线，

所以2FH=BC，

且DH=HB，

又已知DB=2BE，

从而得EB=BH，

再由FH∥DE得2BG=FH，

又2FH=BC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面积=14△BEC的面积=14×5=54.

再如过点D作平行线，因为点D在线段DE上和线段DC上，所以过点D只可以作BC和EF的平行线.

方法3 如图4，过点D作DH∥BC交EF的延长线于点H，由F是DC的中点，可得DF=CF，

所以DH=GC.

根据已知条件

DB=2BE，

所以3BG=DH，

即3BG=GC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面积=14△BEC的面积=14×5=54.

方法4 如图5，过点D作DH∥EF交CB的延长线于点H，由F是DC的中点，可得

DF=CF，圖5

所以GH=GC.

根据已知条件

DB=2BE，

所以2BG=BH，

即3BG=GH=GC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面积=14△BEC的面积=14×5=54.

过其他各点是否也能解决问题呢？读者朋友们可以自己尝试！