初中数学综合题的解题教学

孔文进

【摘要】初中数学综合题考查的知识点较多，难度相对较大.教学实践中，为提高学生解答综合题的能力，增强其学习的自信心，应结合具体例题，认真落实解题教学活动，给学生带来良好的解题启发.

【关键词】初中数学;综合题;数学解题

综合题是初中数学非常重要的一类题型，在中考中常作为压轴题出现.为使学生掌握解题的相关思路与技巧，避免在解题中走弯路，应做好初中数学综合题题型汇总以及解题示范.

1 “圆”综合题的解题教学

“圆”是初中数学中的重要几何图形.解答与圆相关综合题应认真审题，充分挖掘题干中的隐含条件，尤其为更好地找到解题思路，可从问题出发，逆向推理，构建与已知条件之间的关系实现顺利突破目标.

例1 如图1，圆O是△ABC外接圆的圆心，其中BC为直径，长为16.D为圆外一点，∠ACD=∠B.点E为AC的中点，弦FG过点E，且EF=2EG，连接OE.

（1）求证：CD为圆O的切线;

（2）求证：（OC+OE）（OC-OE）=EG·EF;

（3）当FG∥BC时，求弦FG的长.

（1）证明：由BC为圆O的直径，则∠A=90°，∠B+∠ACB=90°，而∠ACD=∠B，则∠ACD+∠ACB=90°，∠BCD=90°，BC⊥CD，则CD为圆O的切线，得证.

（2）证明：连接AF，GC，则∠AFE=∠ECG，而∠AEF=∠GEC，则△AFE∽△GCE，则AEEF=EGCE，即，AE·CE=EG·EF.因点E为AC的中点，则AE=CE，即，CE2=EG·EF.又因O为圆心，则OE∥AB，∠A=∠OEC=90°，则△OEC为直角三角形.由勾股定理可得：CE2=OC2-OE2=（OC+OE）（OC-OE），即，（OC+OE）（OC-OE）=EG·EF，得证.

（3）延长EG与CD交于点M.过点O作ON⊥FE于点N.因BC=16，则OC=8，因FG∥BC，则四边形OCMN为矩形.设EG=x，则EF=2x，FG=3x，NG=1.5x，则NE=0.5x，EM=8-0.5x，由（2）可知OC2-OE2=2x2=CE2，OE2=OC2-2x2=64-2x2.在直角△ONE中ON2=OE2-NE2=64-2x2-0.25x2=64-2.25x2.在直角△CME中，由勾股定理可得CE2=EM2+CM2，而CM=ON，则2x2=（8-0.5x）2+64-2.25x2，整理得到：x2+2x-32=0，解得x=33-1，则FG=3x=333-3.

2 “四边形”综合题的解题教学

初中阶段学习的四边形主要有平行四边形、矩形、正方形、菱形.开展“四边形”综合题的解题教学活动时应注重与学生一起回顾以及相关的性质，灵活运用三角形全等、三角形相似构建相关参数之间的内在联系.

例2 如图2矩形ABCD中AB=2，AD=4，点E、F分别为线段BD，BC上的点，∠AEF=90°，线段AF和BD交于点H.（1）当AE=AB时，①求证FB=FE;②求AH的长;（2）求EF长的最小值.

（1）①因ABCD为矩形，则∠ABC=90°，又由∠AEF =90°，AF=AF，AE=AB，则△ABF≌△AEF，则FB =FE，得证.

②由①可得AH垂直平分BE，则∠AHB=90°，而∠BAD=90°，∠ABH=∠ABH，则△AHB∽△DAB，则AHAD=ABBD，由勾股定理可得BD=22+42=25，则AH =825=455.

（2）过点E作MN∥AB分别和AD、BC交于点M、N，如图3，设AM =x，则DM =4-x，由MN∥AB，易得△DME ∽△DAB，则MEAB=DMDA，则ME=2-x2，EN=x2.因∠AEF=90°，则∠FEN+∠AEM =90°，而∠AEM+∠MAE=90°，则∠FEN=∠MAE，则△FEN∽△EA M ，则AEEF=AMEN=2，则EF=12AE，因此，当AE最小时，EF最小.显然当AE和AH重合时最短，此时AE=455，则EF =12×455=255.

3 “二次函数”综合题的解题教学

“二次函数”在初中数学中占有重要地位.解答二次函数综合习题不仅需要熟练掌握二次函数的相关性质，而且应根据题干创设情境，合理推测出相关参数，灵活运用几何知识，顺利求解出相关参数.

例3 如图4，在平面直角坐标系中直线y=2x+8和x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B.（1）求抛物线的表达式;（2）P为抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴，PN∥x轴，分别和直线AB交于M，N.①当MN=12AB时，求点P的坐标;②连接OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求PCOC的值.

（1）由点A、B为y=2x+8和x轴、y轴的交点，可得A（-4，0），B（0，8），将其代入到y=-x2+bx+c中，得到-16-4b+c=0c=8，解得b=-2c=8，则y=-x2-2x+8.

（2）① 设点P（m，-m2-2m+8），根据题意易得点M（m，2m+8），则PM=-m2-2m+8-（2m+8）=-m2-4m.因PM∥y轴，PN∥x軸，易得∠PNM=∠OAB，∠PMN=∠OBA，则△PMN∽△OBA，则PMOB=MNAB，当MN=12AB时，PM=12OB=4，即，-m2-4m=4，解得m=-2，则点P（-2，8）.

② 过点C作CD⊥x轴，延长PM交x轴于点E，则PE∥CD，如图5，当点C为MN的中点时，易得MC=CN=PC，因PM∥y轴，PN∥x轴，则CNCP=CACO，CPCM=COCB，则AC=BC=OC，点C为AB的中点，则DO=2，CD=4，设点P（t，-t2-2t+8），则PE=-t2-2t+8，OE=-t，由PE∥CD，则△OCD∽△OPE，则PEOE=CDOD=2，则-t2-2t+8-t=2，解得t=-22，则PCOC=DEDO=22-22=2-1.

4 结语

综上所述，初中数学综合题解题教学时为获得预期教学目标，既要做好与之相关基础知识的总结，帮助学生构建系统知识网络，又要为学生展示经典例题解题过程，使学生掌握相关解题思路，把握解题细节，促进综合题解题能力的有效提升.

参考文献：

[1]王新.初中数学综合题分析及教学策略探究——以二次函数综合题为例[J].试题与研究，2021（35）：19-20.

[2]李改生.初中数学综合题的教学策略微探[J].数理化解题研究，2021（23）：22-23.

[3]曹爱东.用“拆解法”破解初中数学综合题[J].理科考试研究，2020，27（12）：13-16.