借助数学思想，提升解题效率

龚卫娟

【摘要】数学知识难度大，抽象性强，学生在学习和理解时遇到较多问题，无形中消磨学习兴趣.在解题中引入数学思想能帮助学生简化抽象复杂问题，形成缜密思维，切实提升解题效率和数学学习能力.

【关键词】初中数学;数学思想;解题效率

1 应用数形结合，提升解题效率

初中数学涵盖的知识点较多，形成的数学问题也各有不同.函数是初中数学重难点知识，也是很多学生在解题中望而却步的存在.纵观以往数学函数解题现状，多数学生在解答时不知该从何着手，多和学生自身缺乏缜密的解题思路有关，在解题中未能有效找到突破口.教师在讲解函数问题时可指导学生巧用数形结合思想，即挖掘函数题目中的图形与数量关系，简化复杂抽象的函数问题，提升解题效率.

例1 以下题目：已知，tanα=12，tanβ=13，求证a+β=45°.

解析 上述题目为典型的正切函数，数学教师可指导学生运用数形结合思想，即借助题目中的数量关系构造满足条件的角a与β并思考该如何将其中的数量关系结合实际构造图形，使学生养成良好数形结合思维，进一步发展思维能力.教师可先让学生根据已知条件画出角a与β（如图1所示）.

随即，学生需求证a+β=45°，故而，教师需引导学生构造上述角a与β，将题目中数量问题转化至图形构造问题，换言之，将抽象复杂的数量关系转至形象图形解析，使学生得出函数问题答案.

结果 根据角a+β，学生可画出图2图形.在图2中，学生连接BC可得出△ABD≌△CBE，即△ABC为等腰三角形，故而a+β=45°.学生通过直观图可迅速解题，提升解题效率.

从上述解题中可得知，数形结合是高中数学常见思想方式，即将抽象复杂数学知识生动化和形象性，简化学生理解难度，提升解题效率.数学教师可在解题教学中引领运用数形结合思想，发展思维能力，为学生全面发展奠定基础.

2 应用化归思想，提升解题效率

在解决数学问题时以间接形式分析问题，再运用与其关联的知识转化至需解决的问题，将其化归为已解决问题，得出原问题解决.和一般的变换与转化不同的是，化归思想常见形式为化繁为简、化难为易、化未知为已知、化曲为直.

割补法 面积问题是初中数学平面图形解题常见内容，经常运用面积公式解决规则的几何图形，在解决非规则几何图形求面积时可运用化归思想将其转至规则图形，其中，割、补、拼、凑是将不规则图形转至规则图形的主要方式.运用割补思想解答面积与体积等问题，则有利于提升学生解题效率.

例2 以下习题：已知图3，四边形ABCD中，∠A=90°，AB长为3cm，AD长为4cm，CD长为12cm，BC长为13cm，计算四边形ABCD面积？

解析 上述图形为非规则四边形，基本没有可直接求出答案面积公式，所以可运用割补法解答，即以添加辅助线形式分割图形.

解 连BD，因为∠A=90°，所以在Rt△ABD中，AB=3cm，AD=4cm，勾股定理BD=5cm.又因为在△BDC中，BC=12cm，CD=12cm，BD=5cm，由勾股逆定理可得，所以△BCD为直角三角形.S四ABCD=S△ABD+S△BDC=12×3×4+12×5×12=36cm2.

叠加法 通常为得出适用于各种可能性情况公共的量，需探索分析每种可能性情况并在此基础上得出规律，达到成功解决问题目的.以推导三角形面积公式为例，在解答此类问题时就可运用叠加法，提升解题效率.根据角的大小可将三角形分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种类型，每种类型有多种可能，所以，先找到所有三角形类型面积计算公式才能归纳总结出三角形面积公式.初中数学教师可指导学生在推导时运用已知图形面积公式.如图4所示

解析 将长方形看做被其一条对角线截成的两个直角三角形，以图4所示，学生在觀察中可发现长方形的长与宽分别被截成直角三角形的边之间关系，得出长方形的长为直角三角形的一条直角边，宽为直角三角形另一直角边，由于两个直角三角形为全等状态，那么长方形面积一半与其中一个直角三角形面积相等，成功提出三角形面积公式：底×高÷2.同理而言，可将正方形视为两个全等等腰直角三角形，再在此基础上推导.针对平行四边形可将其看做被其一条对角线截成的两个全等三角形，以图5所示.从图片中可观察到，平行四边形的底边长来自被截取的其中一个三角形的边长，如果拿该边作为底，所画出的高与平行四边形高恰巧重合，所以，其中一个三角形面积与平行四边形面积一半相等，推导出公式：三角形面积：底×高÷2.

3 应用分类思想，提升解题效率

分类思想是贯穿初中数学整个教学阶段的思想方式，由于初中生首次接触分类思想，不了解其含义、作用和影响，要求数学教师在教学过程中先整理分类思想，使学生初步认识分类思想概念性内容，再将该思想逐渐渗透于计算题与证明题中，有利于加深学生对分类思想理解，为高效应用分类思想奠定基础.

例3 在解答线段间的比较问题，具体作法为在同一条直线上呈现两条线段并让二者其中的一个端点相重合，之后再去观察另一端点所在位置.

例题 讨论分析比较两条线段AB与CD大小.

解析 由于上述题目没有图形，需要学生动手画图，很多学生在画图中就会发现并未确定AB与CD的大小，故而需要根据具体情况展开讨论，使A点与C点重合，得出以下三种情况：①当点B在线段CD上，那么ABCD.

4 结语

初中数学涉及定理、定义、判定、性质等知识，上述知识均需运用分类讨论，数学教师在教学过程中需让学生了解到可运用分类思想解答上述问题并得出准确结论，使学生养成运用分类思想解题等良好习惯，提升解题能力.

参考文献：

[1]董明华.数学思想在初中数学解题中的应用研究[J].中学数学，2020（22）：62-63.

[2]黎松海.数学思想在初中数学解题中的应用[J].语数外学习（初中版），2020（07）：26-27.