巧借辅助圆简化初中数学解题

丛路路

【摘要】在初中数学的解题过程中存在很多的几何论证型题目，这些题目难以以常规思路解决.因此我们需要借助圆所具有的特征，结合题目的具体情况加以论证和解答.本文简单介绍了几种巧解辅助圆简化初中数学解题的思路，希望能给学生带来启示.

【关键词】辅助圆;几何解题;初中数学

1 利用圆周角定理构建辅助圆

通过对圆周角性质的学习，我们可以知道圆周角具备多重性质，包括圆周角定理：圆内相同一段弧或弧长相等的两道弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半.在遇到一些使用一般的几何方法难以解决的问题时，学生可以开阔思维习惯，利用圆周角定理和其各项引申定理进行辅助圆构造，从而发现隐藏条件解决几何问题.

例1 如图1，已知H是△ABC三条高的交点，连接DF、 DE、EF，求证：H是△DEF的内心.

分析 分别由B、D、H、F，C、D、H、E四点共圆，得∠FBH=∠FDH=∠ECH=∠EOH，DH为∠FDE的平分线.

证明 在四边形BDHF中，因为∠BDH=∠BFH=90°，故B、D、H、F四点共圆，所以∠DFH=∠DBH，同理，A、F、H、E四点共圆.

所以∠HFE=∠HAE，

因为∠DBH和∠HAE都与∠ACB互为余角，所以∠DBH=∠HAE，即：∠DFH=∠HFE，

同理可证得：∠FEH=∠HED，

所以，点H是△DEF内角平分线的交点，因此，H是△DEF的内心.

题后反思 分析本题要求可以发现，如果用常规思路求解证明原结论较为困难.因此，我们可以通过构建辅助圆的形式，利用圆周角定理和三角形内切圆的性质证明原结论.

2 利用圆的内外角和圆周角的关系构建辅助圆

圆内角指一个顶点在圆内，其两边與圆均相交的角，同理，圆外角是指一个顶点在圆外，其两边都与圆相交的角.圆内角与圆外角都较易与圆周角构建数量关系，因此在实际解题过程中，我们要善于构建辅助圆，并找到圆的内外角与圆周角之间的联系，以此找到解题突破口.

例2 如下图2，点P在⊙O内时，∠APB是AB所对的一个圆内角，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，若设∠AOB=m°，CD所对的圆心角为n°，则∠APB= .

分析 ∠ADB=12∠AOB=12m°，由

∠PAD=12∠COD=n2°，

∠APB为△ADP的外角，即可求解.

解答 如上图3，连接AD，OC，OD.

因为∠ADB是AB所对的圆周角，

且∠AOB=m°，

所以∠ADB=12∠AOB=12m°.

因为∠COD=n°，

所以∠PAD=12∠COD=12×n°=12n°，

因为∠APB为△ADP的外角，

所以∠APB=∠ADB+∠PAD

=12（m°+n°）.

故答案为12（m°+n°）.

题后反思 本题为圆的综合题，主要考查了外角定理、圆心角和圆周角的关系，这种探究类的题目，通常按照圆的内外角与圆周角的关系求解，难度不大，但需要学生准确发现题目中的隐藏条件和关系.

3 利用弦切角定理构建辅助圆

弦切角定理是圆中应用的较为广泛的定理，它指出弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数，也等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半.对于有些难以用常规方法解决的几何数量型题目，我们可以利用弦切角定理通过构建辅助圆的形式解决实际问题.

例3 如图4，CF是的直径，CB是⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P.

（1）如图①，若∠P=45°，PF= 10，求⊙O的半径长;

（2）如图②，若E是BC上的一点，且满足PE2=PB·PC，连接FE，并延长交⊙O于点A，求证：点A是弧BC的中点.

分析 对于（1），可由切线的性质定理知△PCF是等腰直角三角形，因此求出CF的长，进而求出半径;对于（2），利用弦切角定理，可以求出两个三角形中有一组角对应相等，然后利用相似三角形的判定及性质，可证出AC与AB所对的圆周角相等，从而证出点A是弧BC的中点.

解答 （1）因为PF是⊙O的切线，CF是直径，故△PCF是直角三角形.

又因为∠P=45°即PF=CF.设圆O的半径为r，则2r=PF=10，解之r=5，故圆O的半径为5.

（2）证明：如图5，连接FB.因为FP是圆O的切线，故∠PFB=∠FCB.

又∠P=∠P，则△PBF与△PFC相似.故PFPB=PCPF，即PF2 =PB·PC;

又因为，PE2=PB·PC，即PF2=PE2，

故PF=PE，即∠EFP=∠FEP.

因为∠EFB=∠EFP-∠BFP，

∠CFE=∠FEP-∠FCB，

即∠EFB=∠CFE.

故点A为弧BC的中点.

题后反思本题主要考查了弦切角定理地综合应用，同时考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理.是一道综合性较强的几何题，学生需要具备较强的知识迁移能力.

总的来说，在几何问题的解决过程中，我们可以巧借辅助圆以应对解决一些条件较为隐晦、难以用常规思路解决的综合性问题.在解答数学问题过程中，学生应当将自己的解题思路打开，灵活迁移各个章节的知识点，优化解题思路，掌握更多的解题方法，提高自己的解题能力.