在“变与不变”中感受数学思考的快乐

李敏娟

【摘 要】综合实践活动《周长是多少》是苏教版三年级上册第三单元的综合实践活动课，围绕教学目标，笔者设计了“拼一拼”“比一比”“剪一剪”“画一画”和“估一估”的活动。在“比一比”这一环节，笔者对图形周长的练习进行了适当的拓展，通过三次“变与不变”，由浅到深，层层启发，让学生思考图形的“周长不变” “周长增加”或者“周长减少”的条件;从“确定”到“不确定”再到“确定”的思维碰撞的过程，启发学生在图形的变化中进一步把握图形周长计算方法的本质，在计算和比较中获得启发，发现规律。

【关键词】数学思维 数学活动 数学体验

“长方形和正方形的周长计算”是苏教版数学三年级上册第三单元的教学内容。它是建立在理解周长的一般概念，并且掌握长方形、正方形的特征基础上的。在此基础上，教材安排了一节综合与实践活动《周长是多少》课，引导学生用所学知识解决实际问题，获得分析问题和解决问题的一些方法，体验方法的多样性，从而得到有价值的体验。此活动紧紧围绕周长的含义、计算，精心设计了五项具体环节“拼一拼”“比一比”“剪一剪”“画一画”和“估一估”。活动内容既涉及长方形等一些规则图形，也涉及一些不规则图形。本节课注重引导学生在实际操作中进一步使用并掌握周长的计算方法，感受不同的数学思想方法，通过类比、延展，提高学生的概括和推理能力。

作为学生数学学习的领路人，教师首先应从自身出发，认真钻研教材内容，领悟体会教材习题的意图，然后根据教材内容灵活组织习题，从而帮助学生巩固基础知识、掌握基本技能。同时，也应熟悉学生知识点的生长点，做到既要突出重点，又要挖掘习题的思维深层价值，让学生的思维水平得到进一步的提升。本堂课中，在“比一比”这个环节，教师适当拓展图形周长的习题，学生充分经历比较、归纳，探究同类题目，初步学会用探究的眼光看待看似静态的图形，深切体会“变与不变”的数学内涵，从而进一步地发挥习题的内在价值。

[片段一]“异”中求“同”

出示下列图形（如图1），并且说明图中每个小方格的边长都是1厘米。

师：老师这里有三个图形，看哪个图形的周长最大！比眼力的时候到了！3，2，1！

生1：我觉得第三个图形的周长最大！（一开始学生会有不同意见）

师：仔细观察这三个图形，说一说你有什么发现？

生2：我觉得这三个图形的周长相等。

师：到底是不是这样呢？我们一起从左到右来算一算它们的周长，先各自计算第一个图形的周长。

生1：6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

生2：6+5+6+5=22（厘米）。

师：第二个图形的周长呢？

生3：老师，我觉得可以“变形”。（随着学生的解说，用课件动态演示平移的过程）先把凹进去的边向上平移，向右平移，变成一个长方形。周长是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

师：第三个图形的周长呢？

生4：先把凹进去的边向上平移、向右平移，变成一个长方形。周长是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

师：通过计算，你现在有什么发现？

生：我发现这三个图形的周长都相等。

师：老师想“抠”去一个小正方形，那剩下图形的周长是多少厘米？

师：（追问）这三个图形的形状不同，但为什么周长相等呢？

通过反复地比较、开放的讨论，学生认识到：如果将第二个、第三个图形角上的两条短边分别平移，我们就能把这个图形转换成一个与第一个图形相同的长方形，因此得出转换后的长方形的周长等于原来的图形的周长。

[思考]学生的兴趣是从比赛开始的。在“比眼力”的过程中，从“3、2、1，开始！”，让学生的注意力集中在周长的变化上。虽然学生还没有学过面积的概念与计算方法，但是对于面积的大小是有一定的判断力的，所以一開始他们会认为周长会随着图形大小的变化而变化。但是通过平移、转化，再加上随后的计算却让他们惊喜地发现，图形的周长竟然没有发生变化，这激起了学生探究的兴趣。然后让学生指一指还可以“抠去”哪个部分，发现周长不变的规律，初步感知体会周长与图形的大小之间没有必然相关性。在面对一些具体的事物和现象时，我们需要引导学生在相似中寻找差异，在不同中把握共性，进而让学生发现和提出一些有价值的问题。

[片段二]“散”中求“联”

师：刚才我听到有一个同学说，从长方形“抠去”一个图形，周长都相等。那我们来看看这几个图形（如图2），它们的周长相等吗？

师：谁来说说你的发现？第一个图形的周长是多少？

生1：6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），所以它的周长是22厘米。

师：第二个图形的周长呢？和第一个图形的周长相等吗？

生2：它们的周长不相等，我觉得第二个图形的周长变长了。

师：这是怎么回事呢？周长怎么这会儿又变长了呢？

生3：先移一移，变成一个长方形，它的周长要比第一个图形的周长还多出了两条3厘米的边，所以它的周长是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），22+3+3=28（厘米）。

师：那第三个图形的周长呢？谁来说一说？

生4：第三个图形的周长和第一个图形的周长也不相等。它的周长要比第一个图形的周长多两条2厘米的边，它的周长是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），22+2+2=26（厘米）。

师：同学们，我们回过来看一看、比一比刚才这三个图形的周长，你有什么发现？

生5：在长方形的一角“抠去”了一部分，剩下图形的周长还是原来长方形的周长，如果在长或宽上“抠去了”一个图形，发现把边平移之后除了要算出长方形的周长之外还要加上增加的部分。

[思考]学生说的“从长方形中‘抠去一个图形，周长都相等” ，这是學生普遍认为长方形上“抠去”一个小正方形或者小长方形时，周长不会发生变化。教师立马出示三个图形，让学生观察、比较，引导学生打破思维定式。学生通过观察、思考、计算、交流有了新的发现。如果沿着一条边的中间“抠去”一个小正方形或一个小长方形，它的周长就会发生变化。从而让学生认识到“周长不变”是有条件的，就只能是在原来长方形的角上“抠去”一部分图形。在这个过程中，学生的认识是逐步深入的。从“周长不变”到“周长增加”（或者“周长减少”），在看似散乱的几组图形中找出了和原来长方形周长之间的联系，随着认识不断深入，学生自然就能体会到：在研究数学问题时，不能太急于下结论，而应该多一些观察、多一些思考，多从不同角度想一想，在不规则的散乱的图形中找到和原来长方形周长之间的联系。在本节课中，学生自己交流沟通、探索计算周长的方式方法，得出了“求解不规则图形周长的新思路、新方法之一是转化”，在看似散乱的图形中找到了它们与规则图形间的内在联系。

[片段三]“多”中求“深”

师：如果是在长方形的一头“抠去”一个小长方形，照这样的“抠法”，它的周长是变还是不变？

生1：在长方形的一头“抠去”一个小长方形，原来的长变短了，所以周长是有变化的。它的周长是5+4=9（厘米），9×2=18（厘米），所以它的周长变了，而且是变小了。

[思考]“比一比”活动的目的侧重引导学生感悟转化思想，使学生初步学会如何计算不规则的多边形周长的一种方法——“等长转化”。在之前的教学中，教师一方面需要鼓励学生利用开放性思维进行头脑风暴，利用之前已经学习过的相关知识来解决新的问题，另一方面还需要借助幻灯片动画等动态演示方式来帮助学生强化理解转化的具体过程。为了防止学生产生思维定式，教师于是设计了这个特殊的例子，这个例子再一次挑战了学生已有的认识，用特殊的“剪法”，引导学生思考周长到底是变还是不变，体会判断这个问题的关键是看到底是增加了还是减少了。在这一系列的探究中，学生对周长的变化有了更加深刻的感悟，也深刻体会到了周长的变与不变都不是绝对的，这样的习题设计有助于学生在比较中能够更加全面地掌握一些图形周长变化的特点。

在“比一比”这个活动中，教师需要基于教材中的一道基础性练习题，经过适度的拓展之后，设计由浅到深的三个层次的教学活动，通过一步步引导，让学生经历从“周长不变”到“周长增加”，再到“周长减少”，从“确定”到“不确定”的思维过程，引导学生从“会解题”逐步走向“会思考”，让学生在“变与不变”的思考中感受到数学的快乐，并且发展了空间观念，提高了数学思维水平。在这个过程中，学生不但能够加深对周长含义以及长方形和正方形的特征的认识，还能积累转化的经验、逆向思考的经验，进一步丰富“图形与几何”的学习经验，发展数学举一反三、层层递进的思维方式，为今后继续学习其他平面图形的知识以及周长和面积的计算奠定了扎实的基础。