初中数学教学中论分类讨论法思想的渗透

石永昌

初中数学教学中，教师经常使用分类讨论法带领学生感受新知。同时，此也是行之有效的解题策略，作为一种常用的数学思想，学生在使用的时候可以深入分析数学问题，将复杂的问题，通过分类讨论法转换为简单的问题，更快速地解答出来。渗透分类讨论法思想，能够灵活运用数学知识解题，更快地解答數学问题。分类讨论法思想是数学问题过程中，经常使用的数学思维。如果分析的数学问题不是单一性的，就可以分门别类，然后使用分类讨论思想，解决问题。实际上分类讨论思想一直贯穿在初中数学教学的始终，蕴含更多的数学内容，然后图形讨论，都会渗透数学思想，分类讨论思想的运用更是常见。下面以知识点“圆周角”为例，阐述如何在数学课堂中运用分类讨论思想：

一、分析教学背景

本次教学是在学生掌握圆心角、圆的对称与圆的概念基础上进行的，主要分析圆周角的概念与定理，让学生知道圆周角与角的相关计算、与圆心角的关系、研究圆内接四边形、证明角弦弧相等、判定相似三角形等有密切的关系，特别是探究借助完全归纳法，探究圆周角定理过程的时候，对学生分类讨论能力的提升有促进作用。

二、教学中分类讨论思想的运用

（一）创建情境，引入新课

在教学开始，引入旧的知识引导学生思考，如什么是圆心角，然后展示多媒体图片，让学生思考圆O中，圆心角的定义是什么？有什么性质？让学生结合自己的已有认知，思考圆心角的概念与性质。其他同学与教师再纠正评价。通过此，明确圆心角的概念，了解圆心角的特点，如“圆心角的顶点在圆心”“等圆或者同圆中，圆心角若是相等，那么其对应的弧与弦也是相等的”在学生掌握基础知识点后，教师再借助信息技术，为学生创建情境，展示在海洋馆中，观光者在借助圆弧形的玻璃，观看里面神奇海底世界的图片，如图1，同学们分别站在O、C、D、E的位置，那哪个位置是最佳的观赏角度？

本环节教师借助多媒体让学生观察，然后结合图形，大胆想象，同时思考猜想是否正确。教师不给出明确的答案，而是通过设计悬念的形式，引出新的知识点——圆周角。

（二）合作探究，获得新知

结合图1，教师先带领学生认知什么是圆周角。提出问题1：图1中，∠AOB的顶点O在圆心上，那么∠AOB就是圆心角。请问∠ACB、∠ADB和∠AEB这三个角有什么关系？让学生独立思考，然后与同伴交流讨论，回答问题，最终确定这三个角的共同特点，即所有角的顶点在圆周上、两边都和圆相交。问题2：请你根据探究，总结出圆周角的概念。引导学生通过类比的方法，尝试回答问题，然后与同伴沟通，再进行补充与修改，最后得到圆周角的概念。问题3：同学们，你知道圆周角、圆心角有什么性质，它们的区别和联系是什么？此让学生独立思考，然后补充图形，利用多媒体课件，全面呈现圆心角与圆周角两者的区别与联系，通过列表格的形式，以图形、角的顶点、角的两边三方面分别阐述圆心角与圆周角的不同。问题4：出示小练习，如图2，让学生判断图中哪些是圆周角，哪些不是圆周角，并说明理由。学生在思考后，答到图（3）、（6）、（8）为圆周角，都符合顶点在圆上、两边都与圆相交的特点。在学生观察图片的时候，教师顺势提出问题5：你知道同圆中，相同的弧对应的圆周角与圆心角有什么位置关系吗？

这五个问题的设计，以学生为主体引导其自主思考或者小组内讨论，然后使用几何画板为学生在展示，以动态的观点促使学生深入观察，归纳知识点。最后总结圆心角与圆周角存在的三种位置关系，通过此为后期讲解圆周角定理的分类做铺垫，渗透分类讨论思想。

（三）实践观察，测量比较

以研究圆周角的性质为本环节教学的目标。在此，可以将学生分组，让其在白纸上任意画出一个圆，然后确定一条弧AB，作出对应的圆周角与圆心角，然后用量角器分别测出这两个角，记录下来，比较这些角的度数有什么关系？以此探究出圆心角与圆周角大小的关系，渗透分类讨论思想，让同学们在比较与测量的时候，快速总结数学规律，让学生更深入地感受分类讨论思想。

（四）提出猜想，完成验证

小组学生在完成实验观察、测量比较、记录讨论的基础上，就可派出代表总结圆心角和圆周角角度的关系。在学生提出猜想之后，就可利用几何画板，采用直观演示的方法，验证猜想。使用几何画板操作的过程为：在圆O中，∠AOB为圆心角，∠ACB为圆周角，先拖动点C，观察几何画板中弧AB对应圆周角虽然有无数个，但是弧AB，对应的所有的圆周角，角度都是相同的。然后再度量对应圆心角，发现圆周角是圆心角度数的一半;再拖动点A，转变弧AB的大小，发现圆心角和圆周角关系变化没有变化，∠ACB=∠AOB。通过几何画板的运用，让学生能够推导自己的猜想。学生在积极参与小组活动后，教师提出问题，推进学生反思，并思考本次的证明都使用了哪些数学思想。让学生在直观观察下，尝试写出已知，完成求证。可以从三种情况进行分类讨论：第一，圆心在角的一边上;第二，圆心在角的内部;第三，圆心在角的外部。让其有足够的时间进行讨论，然后针对学生讨论出的结果教师做知识整合，对三种情况进行完整证明。引导学生从数学符号、数学文字与数学图形三种形式，加强对圆周角定理的理解。本环节的证明，借助运用完全归纳法，引导学生在分类讨论与转化数学思想下，完成对圆周角从特殊到一般的认知规律。

（五）解决问题，加强反思

待学生正确理解圆周角定理后，就可解决在课前提出的实际问题了，让学生们解答问题，图1中，∠AEB、∠ADB、∠ACB是弧AB对应的圆周角，而∠AOB则是弧AB对应的圆心角，可以得到对应圆心角与圆周角的关系。所以可以得到站在点O的位置，观察的角度更大，视角越好。关键是掌握圆周角定理。

三、数学课堂中分类讨论思想运用的具体策略

上述案例的教学重点是研究圆周角的概念与其定理，使用自主与合作探究的形式，引导学生探究圆周角与圆心角的三种位置关系，在此就是通过分类讨论思想，对图形的形状与对应位置，进行分类讨论。除此之外，在初中数学教学中，分类讨论法还可运用在下面几点进行：第一，数学概念与定理、公式受条件限制进行的讨论;第二，分类讨论数学问题中，字母的多种取值;第三，做计算问题时，受实施条件的限制而引发的讨论。由此可知，分类讨论在数学教学中的广泛运用，并且从这节课中获得的启示为：在教学中渗透分类讨论，将不同层次的学生组成小组，完成探究。在小组交互中，完成学习任务，积极调动学生学习的积极性，提升学习效率。

再如在习题课中，渗透分类讨论思想，可以引导学生形成一种常态的数学思想来解决问题。在解答习题的时候，教師就可在不经意间，引入数学思想，让学生自己根据已有认知，挖掘有效信息，然后在数学思想的指引下，想到解决问题的思路，顺利解决问题。以几何知识为例，可多通过经典例题，提升学生的数与形的转换能力。如果有的题目没有确定的结合图形定量，就可使用结合图形的特点，转换成数，进一步计算。如问题，一次函数  y=kx + b的自变量x在2和6之间，y在-11和9之间，求此函数解析式。此问题就是使用待定系数法求解。需要学生对函数的形式有深刻的了解之后，就可使用分类讨论法，对于函数解析式的解答就迎刃而解了。

四、初中数学教学中渗透分类讨论思想的建议

教师作为数学课堂的主要组织者与引导者，要重视对学生思想观念的影响。但是经过问卷调查，发现已经有更多的教师意识到，数学课堂中渗透分类讨论法的重要性，但是在具体实践中，却很少在班级中贯彻分类讨论思想，而更多的教师也受多种原因影响，经常“换汤不换药”，运用传统的“重知识，轻思维”的教学方式。产生这一问题的原因，是教师还是不能深刻认知到教学中该如何渗透分类讨论思想。在此学校要对教师开展培训，提升其数学思想运用的意识，提升师资队伍的学习能力，增强教师的专业素养。基于此提出下面几点建议：第一，初中数学教师要建立终身学习的观念，为渗透分类讨论法保驾护航;第二，数学教师要深入分析教材，探究数学分类讨论思想，设计适合的教案;第三，教师要积累更多的数学思想教学经验，树立一套完整的数学思想渗透教育机制;第四，学校要多为教师进行教育培训，获得适合的教学经验，还可为教师提供专业化的教育期刊，帮助教师在定期交流讨论中建立乐教乐研的校园文化氛围。教育，作为长期发展的事业，需要教师一直提升自己的专业素养，才能更好地渗透数学思想。

另一方面，引导学生主动运用分类讨论思想解题。新时期，数学教育，即是课堂中师生进行有效的互动，不能是教师对学生单方面的教育。数学分类讨论思想在课堂中的渗透，需要以学生为主体，积极培养其探索性与积极性。在此，要想让学生意识到，数学分类讨论法在解题中的重要性，一定要转变高分数的畸形学习观，就要从本质上优化学生学习的方式和学习思维，以良好的成就感提升学习的内驱力。

综上，在教师有目的的引导下，可以帮助学生掌握分类讨论思想，在解答复杂问题的时候，能够注意分类讨论思想的运用，对学生后期学习更难的知识有所帮助，正确运用分类思想，提升解题能力。