应用型本科离散数学课程分层教学改革与实践

李娟 黄承宁

摘要：针对应用型本科的离散数学进行分层教学改革，分析了当前离散数学教学遇到的问题，以分层教学思想为引导，从教学对象、分层教学的操作和教学评价三个方面进行分层，并阐述了具体的实施方法。

关键词：离散数学；教改；分层教学；计算机；应用型

中图分类号：G642      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）30-0131-03

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

離散数学主要研究离散对象的存在，计数、结构及其相互关系的一门课程，它是计算机科学与技术专业的核心基础课之一[1]，能够锻炼学生的逻辑思维和推理能力，并对计算机专业的其他课程提供一定的基础。离散数学不仅对计算机专业的其他课程如数据结构与算法、计算机组成原理有承上启下的作用，而且在计算机人工智能领域也有应用。

南京工业大学浦江学院是一所应用型本科院校，离散数学的授课对象有普通本科学生也有专升本的学习，学生的基础参差不齐，吸收知识的能力也有差异，学习积极性差，难以坚持。

主要表现在以下几个方面：

（1）教学内容单一。偏重理论的讲解，欠缺计算机相关联的实践操作。

（2）学生两极分化严重。好的学生存在“吃不饱”的现象，差的学生上课听不懂，很难激发他们的学习兴趣。

（3）考核手段单一。通过平时统一布置的作业难以衡量学生的实际水平。

因此对现有的授课模式必须做出调整，才能发挥这门课的价值。

1 分层教学理念

分层教学是指教师根据学生的现有知识、能力水平和潜力倾向把学生科学地分成几组各自水平相近的群体并区别对待，这些群体在教师恰当的分层策略和相互作用中得到最好的发展和提高，从而达到因材施教的目的。分层教学这一教学理念和因材施教殊途同归。这一理念在我国存在的历史非常悠久，比如孔子提倡的“因材施教”的教育思想[2]。在共同的教育目标下，根据学生的个体差异特点，有的放矢，因势利导地采用不同的教育措施。苏联教育家维果斯基提出“最近发展区”理论，每个学生有两种发展水平：一是个体的现有水平，即由一定的已经完成的发展系统所形成的心理机能的发展水平，二是即将达到的发展水平，即借助他人的启发帮助可以达到的较高水平，这两种水平之间的区域即“最近发展区”。教学应从学生现实的发展水平开始，不断创造新的“最近发展区”，让学生经过努力就能够得着，把学生的现有发展水平转化为最近发展区，并不断创造出更高水平的最近发展区，不断促进学生的发展。20世纪初分层教育被引入学校教学以来，众多科目采纳了这一思想，比如“高等数学课程分层教学改革探究” [3]“MOOC背景下《大学计算机基础》Python实验螺旋分层教学设计” [4]“体育教学中实施分层教学模式创新”，且都产生了良好的效果。

受到上述教学思想的启发，2020年秋以专升本这届学生共109名学生作为改革试点，将分层教学思想引入“离散数学的”课堂教学中。与上述方法不同的是，本文从离散数学的特殊地位出发，它是连接数学和计算机桥梁，在分层教学的过程中，教学内容与计算机软件设计、编程等相关能力结合[5]，同时对课程评价方式也做了相应的改革。在试题难度相当的情况下，通过学期末的评估，学生的学习兴趣，学习风气，学习习惯，总体成绩都有较大的提高。

2 分层教学理念在离散数学中的应用

2.1 教学对象的分层

结合离散数学这门学科的特点，既有讲授数学的基本原理和方法，也有利用计算机解决实际问题的算法实现，所以首次分层采用问卷调查的方式，问卷调查的内容涉及以上两个维度，让学生自主选择所在的层次，同时老师也可以根据问卷调查情况适当地给予引导调整。问卷调查表设计如表1所示。

在学习离散数学的过程中，学生在自我评价的基础上可以随时提出申请，或者教师在平时的成绩监控中发现学生的进步程度，提醒学生提出升层申请，从而达到各层次学生递进流动。具体划分的层次见表2。

A层：拔高层，即能力较高层，该层的学生理论知识扎实，自学能力强，善于动手实践。在本门课程之前所修的高等代数分数在75分以上，具备良好的数学基础知识和素养，具备良好的数学建模能力；程序设计语言C/C++/Java/Python中分数在75分以上；对数据结构与算法有一定的了解；参与过具体的项目。

B层：发展层，即能力中等层，该层的学生基本掌握理论知识，熟悉基本的编程规范。在本门课程之前所修的高等代数分数在65～75之间；程序设计语言C/C++/Java/Python中分数在65～75之间；具备一定的学习兴趣，但是学习较为懒散，没有较好的自制力，考前突击型，缺乏自主学习的能力。

C层：基础层，即学习习惯差，学习没有明确的目标，上课不听讲，经常抄袭作业。在本门课程之前所修的高等代数分数在65以下；程序设计语言C/C++/Java/Python中分数在65分以下。

2.2 分层教学的操作

2.2.1 教学内容分层

教学内容的分层设计是整个分层教学改革的核心内容，是分层教学改革的成败关键。分层设计的过程见图1。

以教学大纲为指导，结合课程总体教学目标对教学内容进行分解和细化，对可以分层的内容进行挖掘和识别，最终形成五个模块的教学内容。

学校现阶段使用的教材是屈婉玲、耿素云等人编写的“离散数学”，此教材符合B层次的学生对教材的需求，对C层的学生而言，一些定理的证明和推理过于抽象晦涩，因此需要对这一个层次的学生降低难度，但对于A层次的学生，这本教材缺乏一些离散数学解决实际问题的实例且与计算机学科联系的实例较少，使得A层的学生得不到最大限度地锻炼。因此再搭配一本稍高层次的教材美国Kenneth H.Rosen编写的“Discrete Mathematics and Its Applications” [6]，现以离散数学中的关系这章为例来说明教学内容分层设计，见表3。

2.2.2提问分层

显性分层可能会给学生的自尊心带来负面影响，适当地采用隐形分层策略，即只有授课老师和学生个体清楚所在的层级，学生之间是封闭状态，以达到最大程度减少分层带来的心理落差甚至厌学。因此，提问的问题应该面向全体学生，应设计出有层次的、灵活多样的问题，使不同学习水平的学生都有话可说。提问时要注意必要的铺垫，形成阶梯，以有利于学生给出答案。对A类同学的提问，难度可以稍微大点，侧重于培养学生的思维能力；对B类同学的提问，注重开发学生的潜能；对C类学生，以巩固基础知識的基本技能为主，重点在于掌握与巩固，要保护他们的自尊心和积极性。

2.2.3 分层练习

离散数学的作业分为理论题和实验操作两大部分，对理论题要针对学生的差异，结合教学内容的分层，从题库选择对应的题目进行分层布置作业，在作业量方面，也要体现适度的分层，基础不牢固的学生适当增加基础题，吸收知识较快的同学增加难度稍大的题型。对实验操作采用的是分组合作的方式，为了让每个层级的学生能有互相学习的机会，取长补短，每个组内的同学都有A、B、C层次的学生。以图论这章的内容为例。实验目的：理解图论的基本概念，图的矩阵表示，图的连通性，图的遍历，以及求图的连通分支方法。通过实验，让学生把离散数学中的概念、性质和运算以及逻辑思维能力融入用计算机具体求解问题中去；通过实验让学生领悟编程设计的思想，通过完成简单的算法设计和分析增强自己的自信心、夯实自己的专业基础课。同时提交的实验报告也锻炼了学生总结实验结果的能力。通过实验报告的编写，掌握目录、页码等文档编辑技巧。见表4。

通过几个流程，不同层次的同学参与的侧重点也有所不同，结合实验的难易程度，分工可以有所调整。也利用各个层级之间的动态流动。

2.3 教学评价的分层

分层的教学不是一种目的，而是一种教学的理念[7]。只有针对不同层级的学生给予不同层次的评价机制，才能使分层教学得到落实和监督。分层教育注定评价的方式要多样化，传统的评价方式过分重视静态的、可量化和浅层次的学习成果， 评价内容片面、评价方式单一， 不利于学习者的全面发展[8]。为了能够实现评价的分层，采用过程性评价。评价主体上，以教师评价为主，学生自评、同学互评为辅。评价内容上主要包含学生的课前预习，课堂表现，课后表现。其中课堂预习主要以中国大学生慕课国家精品课程为导学和线上提供的预习资料为主。课堂表现主要包括课堂考勤、课堂热身提问、课堂讨论、回答问题、作业展示、课堂测验等。课后表现主要包含课后布置的作业，线上讨论参与的互动情况。以档案为主，观察表、评测表实时测评各个层级的表现，及时调整层级的流动，实现从低层到高层的提升，使分层教学形成一个闭环。

过程性评价得分细则：

学生的成绩如公式（1）所示：

[][G=i=1nwigi]                       （1）

其中G为课前、中、后总成绩，i表示项数标号（[1≤i≤N]）， [gi]表示第i项的成绩，[wi][wi]表示第i项的权重，通过下表给出评价的细则[gi]，设置好各项的权重，可以由学习通自动计算结果。

过程性评价中需要注意：

（1）制定完善的激励制度，合理地设置每项评价指标的权重。

（2）使用网络教学平台、精品课程平台进行大数据评价。

（3）制定每个层级的学习路径图和层级转化路径图。

（4）定期对收集的测评数据进行分析，唤醒每个层级学生转化与之能力匹配的等级。

（5）作业形式多样化。作业主要分为两个部分，一部分是教师统一准备作业本，主要包含基础概念，基本计算，基本证明，主要以教材【屈婉玲】的课后习题为主，另一部分是上机实验题，主要包含实际应用的求解或者算法实现的作业，视具体的作业难易程度，组织形式可以多样化，比如小组，自由组合，作业计入总成绩。

3 结束语

分层教育的教学方法已经在英语、数据、物理等基础课程取得了很好的教学效果，但应用到具体学校的离散数学课程中还存在诸多问题。要综合考虑学生的基础学科素养的差异和课程本身的结构特性，制定适合自己的课程分层设计。但通过一学期的观察和实践，学生对离散数学的认识从以前的枯燥、乏味到对课程感兴趣、愿意听、乐意动手操作，不失为一种教学改革的进步。下一步计划继续挖掘专业内涵，从学科发展前沿的技术引入到课程中来，在分层教学中与引入的教学手段相结合，让学生真正地做到学有所得，学有所用。

参考文献：

[1] 屈婉玲，耿素云，张立昂[著].离散数学[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 彭怀祖，杨建新.基于分层教育理论的榜样教育实效性研究[J].思想教育研究，2010（11）：88-91.

[3] 李伟彬，许有平.现代教育语境下大学英语隐性分层教育研究[J].外国语文，2011，27（S1）：159-161.

[4] 刘瑜，杜晶，杨玫.MOOC背景下《大学计算机基础》Python实验螺旋分层教学设计[J].计算机工程与科学，2019，41（S1）：114-118.

[5] 王晓英，黄维通，刘晓静，等.面向西部高校计算机专业的离散数学教改实践[J].计算机教育，2011（20）：43-48.

[6] Kenneth H.Rosen.“Discrete  Mathematics and Its Applications”[M].北京：机械工业出版社，2011.

[7] 胡琨，程恺.分层教学法在军队院校计算机教育实践能力培养中的应用[J].计算机工程与科学，2014，36（S2）：6-9.

[8] 上超望，韩梦，杨梅.基于大数据的在线学习过程性评价设计研究[J].现代教育技术，2018，28（10）：94-99.

【通联编辑：光文玲】