预科高等数学课程思政教学探索

王旭 苗丽 汪文帅

[摘           要]  预科作为高中向本科的过渡阶段，要针对性地开展思想政治教育和科学文化学习。预科高等数学的学习，将为预科生进入本科阶段课程的学习打下良好的基础。通过课堂教学“主渠道”，以拉格朗日中值定理教学设计为例，深入挖掘其蕴含的课程思政元素，探索适合预科生的课程思政教学模式，达到知识传授与道德育人的协同效应。

[关    键   词]  课程思政;预科;高等数学;拉格朗日中值定理

[中图分类号]  G642                   [文献标志码]  A                   [文章编号]  2096-0603（2022）35-0034-04

习近平总书记指出：“要提升思想政治教育亲和力和针对性，满足学生成长发展需求和期待，其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。”[1]

长期以来，高校思想政治教育与专业知识教育相互隔绝，普遍存在将高校思想政治工作当作思想政治理论课的事，或将思想政治教育看成辅导员、班主任和党团组织的事，各类课程教师主要是给学生传授系统的知识，忽视或不重视育人的崇高使命，出现“教书”和“育人”相互脱节的现象。在高校思想政治教育工作面临环境愈加复杂的今天，越来越多的高校教育工作者认识到，单纯依靠德育课或思想政治理论课已很难适应思想政治教育的现实发展需求，也不利于“立德树人”目标的实现。

一、课程思政理念的诞生

如何打破长期以来思想政治教育与专业教育相互隔绝的“孤岛效应”，将“立德树人”贯穿高校教学全过程、全方位、全员之中，推动思政课程与课程思政协同前行、相得益彰，构筑育人大格局，是新時代中国高校面临的重要任务之一。在这样的背景下，课程思政的理念与实践应运而生。

课程思政将思想政治教育的精神融入所有专业课程中，构建各类课程与思想政治理论课同向同行、形成协同效应的思想政治理论教育课程体系。近年来，这种教育教学理念得到广泛关注，相关研究主要体现在课程思政的内涵、高校课程思政建设实施路径以及课程思政建设存在的问题和原因等方面。

（一）课程思政的内涵

邱伟光认为课程思政就是让高校所有课程发挥思政作用，高校所有教师引导学生把所学知识内化于心，外化于行[2]。高德毅认为高校课程改革的各个环节都要把对大学生进行的思想政治教育融入课程思政，强调“课程承载思政”与“思政寓于课程”[3]。石书臣则从课程思政与思政课程的维度进行辨析，认为它的本质就是一种课程模式，是以润物无声的途径将思政元素融入正常课程教育教学之中，这种融入是全流程、全方位的，相比之前的德育教学更加立体[4]。赵鹤玲认为课程思政是将立德树人视为教育基本任务的综合教育理念，是一项系统工程，认为它从根本上回应了“培养什么样的人、如何培养人以及为谁培养人”的根本问题[5]。

（二）课程思政建设实施路径

石丽艳从协同育人的角度提出促进高校课程思政建设的实施路径，认为全面挖掘德育思政元素，应在构建全面思政体系上下功夫，形成各地区之间、各高校之间、各专业课程之间的课程资源协同育人机制;应在打造立体育人格局上下功夫，充分发掘课程体系德育元素;应在创新课程思政方法上下功夫，引导教师自觉践行立德树人理念[6]。陆道坤认为应该以课程为载体，将思想政治教育的原则、要求和内容与课程设计、教材开发、课程实施、课程评价等有机结合起来[7]。赵鹤玲从挖掘课程思政元素、找准学生兴趣点、教师思想道德修养和交流、顶层设计四个方面给出了高校课程思政建设的对策建议[5]。杨守金和夏家春提出了高校课程思政建设的几个关键问题：明确分工协作育人的理念;确立分工协作育人联动保障制度;抓好课程思政协作育人的关键环节[8]。

（三）高校课程思政建设存在的问题及原因探析

石书臣认为长期以来，实用性、知识性课程更受重视，而教导做人的思想政治教育课程受到忽视，甚至不受欢迎，特别是在一些专业课教育教学中轻视、忽视思想政治教育已经成为一个倾向[9]。赵鹤玲指出，当前课程思政面临的困境主要表现为思政课程大多采用传统大班教学，理论知识与实践结合不紧密，课堂缺少活力。专业课教学与思想理论课长期存在分离的情况，部分专业课只注重专业知识的教学，而忽视了学生思想道德的培养[5]。陆道坤从课程的视角分析课程思政在建设过程中存在问题的原因，他认为高校课程思政建设缺乏长久规划、缺乏系统规划、缺乏专业师资队伍、缺乏科学合理的评价体系和制度、缺乏课程间有效分工协作是制约高校课程思政建设的重要原因[7]。

二、预科数学课程思政的实施背景

预科教育作为高中向本科的过渡阶段，进行思想政治教育和文化课程学习的同时，还应进行民族团结教育，促进各民族交往、交流、交融，铸牢中华民族共同体意识。考虑到预科阶段的特殊性，探索适合预科生的课程思政教学策略显得尤为必要。

目前，宁夏大学民族预科教育学院主要开设大学语文、大学英语、高等数学等必修课。其中，预科高等数学课程的大致内容为：函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分和定积分及其应用。这些内容起到了衔接高中与大学数学课程的作用，其思想与大学的数学课程相同，从思想上引导更能激发学生对数学课程的兴趣，达到循序渐进的效果，因此这些内容成为融入课程思政的最佳载体。对于理科生而言，高等数学课程培养的思想、方法和兴趣，同样适用于本科相关数学课程及专业课程的学习，是学生后续进入本科专业学习的基础;对于文科生而言，更能让他们体会数学思想和文化，文理融合，培养兼具人文和科学素养的复合型人才。因此，预科高等数学课程在预科阶段的地位十分重要。然而，如何通过课堂教学主渠道探索适合预科生的高等数学课程思政教学模式，这就需要结合教学内容，充分挖掘课程所蕴含的思政元素，融思政和课程于一体。因而，关于预科高等数学课程思政的教学探索与实践的研究也显得尤为必要和迫切。

预科数学课程思政建设研究成果主要体现在两个方面。一是在预科数学课程融入课程思政的教学策略和具体路径研究方面，沈俊探讨了使预科生更好地理解数学知识、掌握数学技能、领悟数学思维的教学模式[10]，王勇兵从思政意识、思政元素和思政实践三个方向提出了预科数学课程与思政教育融合的具体路径[11]，李想调查研究了上海理工大学一年制预科生的学习特点，结合其学习效果提出了融入课程思政的高等数学教育教学策略[12]。二是在某个知识点的课程思政教学研究方面，赵娟等以函数的连续性为例，结合教学内容，以外交故事、自然现象等巧妙地渗透文化自信、价值引领，给出融入课程思政的教学策略[13]。由此可见，思政元素具体如何融入课堂教学设计的研究才刚刚起步，还有很大的研究空间。

三、拉格朗日中值定理的课程思政教学设计

微分中值定理一节包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，知识体系完整，蕴含思政元素丰富，知识体系和思政元素结合紧密。本文以拉格朗日中值定理的课程思政教学为案例，探讨如何将思政元素融入课堂教学，达到知识传授与价值引领的统一，最终达到“立德树人”的目的。

首先引导学生回顾前一节所学罗尔定理的条件与结论：

如果函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续;

（2）在开区间（a，b）内可导;

（3）端点处的函数值相等，即f（a）=f（b）;

那么在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ

教师启发学生体会：f（x）在闭区间上连续、开区间内可导容易满足，但端点处的函数值相等，即f（a）=f（b），该条件很特殊。当然，进一步引导学生认识到定理的结论f′（ξ）=0，ξ∈（a，b）也很特殊。从图像上看，定理的结论为f（x）在（a，b）内至少存在一条水平切线，几何意义直观。教师引导学生思考，如果旋转原图像，f（a）≠f（b），會有怎样的结果？此时，弦AB的斜率就是，启发学生发现曲线f（x）上存在与弦AB平行的直线。因而，师生一起探究得到如下结果，即至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=。

此时，引出拉格朗日中值定理：

如果函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续;

（2）在开区间（a，b）内可导;

那么在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ

f（a）=f（ξ）·（b-a）成立[14]。

进一步引导学生比较拉格朗日中值定理和罗尔定理的条件和结论，学生发现两个定理内在联系紧密，可尝试用罗尔定理证明拉格朗日中值定理。证明的关键在于构造函数φ（x），使得φ（a）=φ（b）。下面结合函数图像，引导学生体会，构造函数的关键是函数f（x）与弦AB在区间端点是重合的。抓住此关键点，可以构造满足要求的辅助函数，利用罗尔定理可证明拉格朗日中值定理。

进一步引导学生思考如下问题：常数的导数为零，那么它的逆命题成立吗？

逆命题：如果函数f（x）在区间I上的导数恒为零，那么f（x）在区间I上是一个常数。

引导学生分析：如果对于任意x1，x2∈I，均有f（x1）=f（x2），这样根据x1和x2的任意性，可知f（x）在区间I上是一个常数。

怎样证明f（x1）=f（x2）？引导学生进一步理解拉格朗日中值定理的实质，即函数增量和导数之间的关系，学生尝试利用拉格朗日中值定理给出证明：

函数f（x）在[x1，x2]上连续，在（x1，x2）内可导，因而利用拉格朗日中值定理可知f（x2）-f（x1）=0，即f（x2）=

f（x1）。

有了这个命题的证明后，教师引导学生尝试证明不等式：

当x>0时，

分组讨论，教师根据讨论情况适时启发：拉格朗日中值定理的实质是什么？函数增量如何构造？结合问题实际，巧妙利用ln1=0，就可找到破解问题的关键：构造函数f（t）=ln（1+t），t∈[0，x]，利用拉格朗日中值定理证明该不等式。

至此，拉格朗日中值定理的引入及定理的内容、证明和在解题中的具体应用已讲解结束。类似拉格朗日中值定理的学习方法，引导学生思考如果改变拉格朗日中值定理条件和结论是否会产生一个新的定理？引导学生通过思考、质疑自学柯西中值定理，并引导学生理解二者之间的关系，即柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。通过这节课的学习，一方面学生自然地明白了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系;另一方面这节课所学到的学习方法，尤其是以思考质疑的方式提出问题、分析问题和解决问题的方法，均适用于其他课程的学习或者实际问题的解决。

四、拉格朗日中值定理教学中体现的思政元素

（一）思考质疑的精神

罗尔定理中，f（x）在闭区间上连续、开区间内可导容易满足，但让端点处的函数值相等，即f（a）=f（b），这个条件是相当特殊的。教师引导学生思考如下问题：端点处的函数值相等，太特殊，它使罗尔定理的应用受到限制。如果去掉这个条件，会产生怎样的结果？

如果把f（a）=f（b）这个条件去掉，但仍保留其余两个条件，并相应地改变罗尔定理的结论，也许会有一个新的发现，这个发现其实就是拉格朗日中值定理，在微分学中具有十分重要的地位。

由此可见，通过思考和质疑，才能使学生更好地把握和理解这个定理的思想，增强自信，培养兴趣。在预科期间塑造的数学思想、方法和兴趣，同样适用于本科阶段数学课程及相关专业课程的学习。

在学习过程中，还可进一步引导学生查阅数学史或数学文化方面的著作，了解罗尔、拉格朗日和柯西的生平和成就，体会他们的科学精神。

无论时代如何变化，思考质疑的精神、自学的能力都会让学生受益一生。思考质疑是大学精神所在，自学能力也是学生成才之本。在以后的工作和生活中，学生才更能想干事、能干事、干成事，没有等出来的精彩，只有干出来的辉煌。刚好印证了习近平总书记所讲的“社会主义是干出来的，幸福是奋斗出来的”。

（二）求真务实的作风

利用罗尔定理可证明拉格朗日中值定理。类似罗尔定理，大多数学生可试着给出拉格朗日中值定理的几何意义。通过拉格朗日中值定理的提出、证明、几何意义和具体应用的学习，提高了学生认识问题、分析问题和解决问题的能力。学生进一步感悟到只有掌握定理的实质，结合具体情形，具体问题具体分析，才能正确解题。解题如此，做事、做人何尝不是如此？因而，学生的思想认识从具体的数学问题上升到学思结合、知行合一和求真务实的做人做事态度，体会到应该踏踏实实学习，从点滴做起。点滴浸润，微力无边，引起思想、学习和生活发生大的变化，量变引起质变，力争完美，止于至善。这样的课程思政教学设计自然地润学生于无声处，课程教学和思政教育无缝衔接，协同育人。

（三）谦虚谨慎的态度

罗尔定理中，端点处函数值相等，这个条件很特殊，结论也很特殊。利用数形结合的思想方法，可将罗尔定理的条件变得更宽松，结论更一般，然后进行证明。可依据问题的几何意义或定理的结论来构造函数，看构造的函数是否满足罗尔定理的三个条件，然后利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理。证明定理的思想和方法同时也体现了做学问的精神，即大胆假设，小心验证。

通过后面内容的学习，我们发现形式更一般的拉格朗日中值定理就是将要学习的柯西中值定理。定理的条件、结论以及证明与罗尔定理和拉格朗日中值定理是类似的。因而，通过微分中值定理的学习，可在具体的情景中，培养学生谦虚谨慎的态度。这种优秀的品质可使学生更加理性，更能合情合理地处理生活、工作中的问题，让学习、生活更美好。

（四）坚持不懈的习惯

罗尔、拉格朗日和柯西都是著名的数学家，我们来简单了解他们的成就。

罗尔（1652—1719），法国数学家。著名的有罗尔定理，出版著作《方程的解法》。

拉格朗日（1736—1813），法国著名数学家、物理学家。在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

柯西（1789—1857），法国数学家。在数学领域有很高的建树和造诣。很多数学定理和公式以他的名字命名，如柯西中值定理、柯西不等式、柯西积分公式等。

微积分的创始人之一牛顿说过，科学研究虽然是艰苦而又枯燥的，但要坚持，因为它给上帝的创造提出证据。我们认识到，科学家发现真理贵在坚持，是坚持成就了他们的人生。

因而，只有坚持思考、努力上进，才能更好地理解定理的精髓，取得新的进步。就像下象棋一样，日更一卒，长尾积累，锲而不舍进行预科高等数学课程的学习。只有通过长期坚持不懈的努力，才能成就未来，成就

人生。

五、结语

本文在充分厘清课程思政的提出背景、内涵和实施路径，高校课程思政建设存在的问题及原因的基础上，以预科数学课程思政建设现状为出发点，以预科高等数学课程中的拉格朗日中值定理教学设计为案例，充分挖掘其所蕴含的课程思政元素。通过课堂教学主渠道，培根铸魂，启智润心，在讲授知识点的同时，培养学生思考质疑、求真务实的科学精神，锤炼他们谦虚谨慎、坚持不懈的精神品质。这些精神和品质适用于个人的发展，亦适用于强国建设的需要。

同时，该课程的其他内容如极限与连续、导数与微分、不定积分和定积分等知识中都蕴含着丰富的思政元素，教师可结合授课内容，充分挖掘课程中所蕴含的思政元素，探索适合预科生的高等数学教学模式和培养模式，促使预科和本科的无缝衔接，达到课堂教学与思政教育的协同效应。如此，通过课堂教学主渠道，达到教书育人和立德树人的目的，更好地培养少数民族人才，更好地为民族团结服务，更好地为社会繁荣发展服务，更好地为国家的长治久安服务。

参考文献：

[1]习近平.把思想政治工作贯穿教育教学全过程开创我国高等教育事业发展新局面.人民日报[N].2016-12-09（1）.

[2]邱伟光.课程思政的价值意蕴与生成路径[J].思想理论教育，2017（7）：10-14.

[3]高德毅，宗爱东.从思政课程到课程思政：从战略高度构建高校思想政治教育课程体系[J].中国高等教育，2017（1）：43-46.

[4]石书臣.正确把握“课程思政”与思政课程的关系[J].思想理论教育，2018（11）：57-61.

[5]赵鹤玲.新时代高校“课程思政”建设的现状及对策分析[J].湖北师范大学学报（哲学社会科学版），2020，40（1）：108-110.

[6]石丽艳.关于构建高校课程思政协同育人机制的思考[J].学校党建与思想教育，2018（10）：41-43.

[7]陆道坤.课程思政推行中若干核心问题及解决思路：基于专业课程思政的探讨[J].思想理论教育，2018（3）：64-69.

[8]杨守金，夏家春.“课程思政”建设的几个关键问题[J].思想政治教育研究，2019，35（5）：98-101.

[9]石书臣.同向同行：高校思想政治教育协同创新的课程着力点[J].思想理论教育，2017（7）：15-20.

[10]沈俊.民族预科生数学教学模式探索[J].教育教学论坛，2020（26）：306-307.

[11]王勇兵.预科数学课程与思政教育融合的路径研究[J].大众科技，2021，23（6）：97-102.

[12]李想.融入课程思政的高等数学预科教学策略研究[J].数学学习与研究，2021（6）：2-3.

[13]赵娟，冯艳秋，马红霞.高等数学中融入“课程思政”的教学策略分析[J].高等数学研究，2021，24（4）：103-108.

[14]同濟大学数学系.高等数学（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

◎编辑 司 楠