积累活动经验 渗透数学思想

梁慧慧 徐争 赵立新 杨光伟

【摘 要】  课题学习追求的目标不仅是知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过自主参与探究过程，感悟其中的数学思想，积累有效的活动经验.以“格点多边形的面积计算”一课为例，学生在对格点多边形的面积规律探究过程中，经历实验、猜想、归纳、验证、建模等活动过程，积累基本活动经验，渗透化归、函数、建模等数学思想，凸显初中数学课题学习的育人价值.

【关键词】  活动经验;数学思想;课题学习

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出基本思想和基本活动经验是数学学习的基础，强调让学生在实践、探索、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验，促进学生核心素养发展[1].史宁中提出数学教学中一方面需保持“双基教学”合理的内核，另一方面又能创设合适的教学情境，让学生感悟基本思想，积累基本活动经验，形成发展学科的核心素养[2].因此，基本思想和基本活动经验应渗透在数学教学过程中，成为落实数学核心素养的有效途径.

数学课题学习是指将研究性学习的思想和方法体现在数学学科教学中，使数学教学过程变成一种类似“科研”或“微科研”那样的研究过程[3].作为初中数学“综合与实践”内容领域的重要呈现，课题学习的目的是让学生通过自主探索和合作交流，解决一些综合性问题，使得数学教学过程成为一个课题研究的过程.因此，课题学习追求的目标不仅是知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过自主参与探究过程积累有效的活动经验，感悟其中的数学思想方法，提升数学核心素养.本文通过课题学习——“格点多边形的面积计算”的教学实践，积极引导學生对格点多边形的面积规律展开探索，在探索中学生积累基本活动经验，渗透数学思想，掌握数学实验探究的思维过程.

1  教学目标

（1）了解格点多边形的概念;

（2）在探索格点多边形面积计算的方法中，经历实验、猜想、归纳、验证、建模的活动过程;

（3）逐步掌握探索数学规律中的化归、函数、建模等数学思想与方法，并丰富问题解决的活动经验.

2  教学重难点

重点：经历格点多边形面积的探索过程，积累蕴含的数学思想和方法.

难点：格点多边形面积计算公式的确认.

3  教学实施

3.1 创设情境，引入新知

问题1  观察图1中不规则五边形桌面，说说可以采用哪些方法求桌面的面积？

师生活动  不规则多边形面积常借助方格纸计算，因此教师将不规则桌面进行抽象，置于图2的格点图中，学生回答通过分割、添补、数格子等方法进行面积计算，教师讲解何为割补法.

教师  利用正方形网格除了数格子的方法外，还有没有其他求解面积的方法？本节课我们一起探究正方形格点图中多边形面积的求解方法.

设计意图  联系生活实际创设问题情境，激发学生学习动机，希望学生以已有知识经验为基础，展开丰富想象，以此培养学生的发散思维能力，同时割补法的应用渗透化归思想.设置疑问“还有没有其他求解面积的方法”，激发学生的求知欲，并明确本节课的学习目标.

3.2 探究新知，提炼方法

教师  如果一个多边形的顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，那么这样的多边形称为格点多边形.

师生活动  教师借助图2中的格点五边形进行概念阐释.

问题2  你能求出图3中各格点多边形的面积吗？请试一试.

师生活动  学生独立完成面积计算.

追问1  以图3中（3）为例，你是如何求出该格点多边形的面积的？

师生活动  学生起身回答“先找到底和高”.

追问2  底和高的大小是如何确定的？

师生活动  教师引导学生得出观察格点多边形上的格点数就可以知道格子数目，从而得出底与高.

教师  仔细观察图3中各图形覆盖格点的位置，一部分在多边形的内部，一部分在多边形边界上，因此我们将格点多边形覆盖的格点分为两类，为边界上的格点和内部的格点.

师生活动   教师和学生一起数出各格点多边形边界上格点数和内部的格点数，结果如图4.

S=1边界上格点数4内部的格点数0  S=1×3=3边界上格点数4内部的格点数2  S= 1[]2[SX）]×2×4=4边界上格点数4内部的格点数3       S=2×4=8  边界上格点数12  内部的格点数3   S= 1[]2[SX）]×（1+2）×4=6  边界上格点数8  内部的格点数3

问题3  观察并比较各格点多边形的面积、边界上格点数与内部格点数，你发现了什么？

师生活动  学生分组交流讨论，得到结论：前3个图形边界上格点数相同，内部的格点数不同，面积不同;后3个图形，内部的格点数相同，边界上格点数不同，面积也不同.

追问1  因此可以猜想格点多边形的面积与什么有关？

师生活动  学生回答“格点多边形的面积与内部的格点数和边界上格点数均有关”.

设计意图  设置环环相扣的问题，引领学生的思维进入有序思考的状态，让学生在观察比较中自己去发现，体会格点多边形面积与内部的格点数和边界上格点数有着密切的关系，为下一步探究活动指明方向，同时也为接下来的探究中渗透“控制变量法”做铺垫.

教师  接下来我们一起探究它们之间的数量关系.设格点多边形的面积为S，内部的格点数为a，边界上格点数为b，现要研究三个变量之间的关系，目前还没有此方面的经验，但在学习函数时已经研究了两个变量之间的关系，如何进行转化呢？

师生活动  学生思考无果，教师提出借鉴科学实验中的方法——控制变量法，通过控制变量转化为研究两个变量间的关系.

教师  不妨令内部格点数a为定值，研究格点多边形面积S与边界上格点数b之间的关系.

设计意图  学生习惯研究两个变量之间的关系，探究三个变量之间的关系，对学生是一种新体验，为此借鉴科学实验中的方法——控制变量法，转化为研究两个变量之间的关系，体现了化归的数学思想及数学与其他学科的联系.并用S，a，b三个字母分别表示面积、内部的格点数和边界上格点数，渗透符号意识，引导学生用符号语言表达数学规律，体现由特殊到一般的数学思想.

活动一

教师  从最简单的开始探究，令a=0，下表中①②③④都是满足a=0的格点多边形，请完成表格剩余部分.

师生活动  学生独立完成表格剩余部分.

问题4  填完表格，为使规律更加直观，我们借助直角坐标系画出S和b的函数图象，先描点，再连线，如图5，请同学们观察这是哪一类函数？

师生活动  学生观察这四个点均在同一直线上，可得S是b的一次函数.

追问1  如何求S关于b的函数表达式？

师生活动  学生共同回答可以采用“待定系数法”，教师板书求解得到函数解析式S= 1 2 b-1（b≥3）.

追问2  为什么解析式中要求b≥3？

师生活动  学生起身回答“b为边界上格点数，边界上格点数最少要3个，因此b应该为不小于3的正整数”.

设计意图  设计活动一，画若干个满足a=0的格点多边形，学生计算填表，处理数据，积累原初经验，使得在活动二中自主探索S与b数量关系时有了方向与方法.其次，活动一是从最特殊的a=0的情况开始入手，把研究的问题简单化，符合学生认知要求.

活动二

师生活动  学生分组探究a分别为1，2，3，4的格点多边形中，S与b之间的数量关系.得到结果：

a=0时，S= 1 2 b-1;

a=1时，S= 1 2 b;

a=2时，S= 1 2 b+1;

a=3时，S= 1 2 b+2;

a=4时，S= 1 2 b+3.

问题5  观察这些式子，你发现了什么？

师生活动  教师引导学生从各式相同和不同之处两个角度进行回答.

追问1  因此我们可以猜想S和a，b之间具有怎样的数量关系？

师生活动  学生通过不完全归纳得到S= 1 2 b+a-1.

设计意图  有效的数学活动是学生积累活动经验的保障，此环节是本节课的高潮.对于活动二，教师没有提供图形和表格，而是鼓励学生利用在活动一中积累的经验，分组开展探索活动，并通过组内分配任务，让所有学生参与进来，学生在经历合作交流、观察类比、分析归纳、猜想等过程中，发展逻辑思维能力，养成自主探究，善于总结的良好学习习惯，同时渗透建模思想.

师生活动  教师分别用S= 1 2 b+a-1和割补法对图2的格点五边形进行面积计算，从而验证学生猜想的正确性，并强调这是一个验证的过程并不是证明的过程.

教师  这个公式早在100年前就被奥地利数学家皮克发现并证明，其称之为“皮克定理”，“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定理”之一.

设计意图  波利亚曾说：“在数学领域中，猜想是合理的，值得尊重，是负责任的态度.在有些情况下，猜想比教会证明更重要.”[4]但如果只有猜想而无法验证，那只能是空想，然而由于本节课时间限制和学生知识的局限，课堂上难以用演绎推理证明其正确性，只能借助割补法对其进行验证，培养学生形成严密而科学的思维习惯.

3.3 借助模型，应用新知

（1） 兄弟两人各得到一块地来种梨树，如图6.哥哥说：弟弟的地要大，弟弟的地外面一圈可以种17棵树，而我的地外面一圈只能种15棵树.弟弟说：哥哥的地要大，哥哥的地里面可以种17棵树，而我的只能种16棵树.

（2） 请你计算图7中格点△FGH的面积.并求△FGH的边GF上的高.

设计意图  让学生在理解皮克定理的基础上对实际问题和数学问题加以应用，体验探究成果给我们带来的方便，收获成功的喜悦，培养学生的数学应用意识.

3.4 小结新课，梳理新知

学生畅所欲言，回顾本节课的学习过程与收获，教师总结：

①一个实验探究过程：实验→猜想→归纳→验证→建模，该过程中还应用了控制变量法.

②两种面积计算方法：割补法、皮克定理.

③三种数学思想：化归思想、函数思想、建模思想.

设计意图  总结探究的过程与收获的数学思想，使学生从更高的视角来看待问题探究，凸顯课题学习的价值.

3.5 思维拓展，推广新知      图8

如图8，每相邻3个点构成的三角形都是正三角形，且每个小正三角形的面积为1，这样的图叫正三角形格点图.“皮克定理”在正三角形格点图中成立吗？若不成立，试用同样的方法找一找格点多边形的面积 S和多边形内部的格点数a、边界上的格点数b 之间存在的数量关系.

设计意图  教师有意识地把一些拓展的问题留到课外，让学生利用课堂中获得的经验，在类比中灵活运用并推广皮克定理，使课堂教学具有延伸性.  4  课后思考

4.1 立足探究过程，积累基本经验

杜威指出：“所做的事情、动作和感受（或经历）的密切关系就形成了我们所谓的经验.”经验的获得是需要在“亲身体验”中“领悟”与“转化”的，因此，课堂中教师留给学生足够的时间和空间，让学生充分经历皮克定理的形成过程.本节课教师从生活情境出发，引导学生根据已有经验求解格点多边形的面积，并利用格点图探寻新方法，帮助学生明确本节课的学习目标;问题2和问题3的设计使得学生初步获得研究格点多边形面积的基本经验：格点多边形的面积与边界上格点数和内部的格点数均有关;为达成既定教学目标，教师重点设计活动一和活动二，学生在活动一中获得原初经验，在活动二中，经验再现，经历列表、画图、分析数据、寻找规律，获得了 S，a，b 三者之间特殊关系的直接经验，最后验证猜想发现“皮克定理”.同时在探究中积累了理性的数学经验：“在解决多个变量的问题中采用变量控制法这一科学方法”，真正体现了学生从“已有经验到直接经验再过渡到理性经验”的经验获得过程.

4.2 基于课题学习，渗透数学思想

米山国藏曾说“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益”，这就启示我们数学思想是数学教学的灵魂，课堂教学在引领学生经历知识建构的过程中，需注意数学思想的渗透.课题学习作为一种实践性、综合性、开放性和探究性的学习方式，是渗透数学思想、揭示数学本质的良好载体.本节课是在学习了平行四边形之后的一个课题学习，流程设计为“实验—猜想—归纳—验证—建模”.在讲授割补法和数学归纳法时，学生在教师引导下，逐步领会化归的数学思想，而在整个探究过程中还充分体现了函数和建模以及从特殊到一般的数学思想.因此，在教学中，教师要通过有意识的问题设计以及恰当的教学实践与引导，让学生感受和体悟潜藏在“课题学习”中的数学思想.

4.3 注重能力提升，发展核心素养

当前“知识教学”逐步发展为“能力教学”，现如今已进入“学生核心素养与学科教学融合”的新阶段，把发展学科核心素养作为课程的基本目标，而课堂是培养核心素养的主阵地.本节课利用割补法和皮克定理计算格点多边形的面积，发展学生运算能力.在分析对格点多边形面积产生的影响因素中，需要学生数格点，求底与高（或长与宽），培养和发展学生的几何直观素养.从得出内部的格点数和边界上格点数均会对面积产生影响，再确定每一个因素对面积产生影响的大小，每一步都经过严格的逻辑推理，尽管未对结论进行严格的证明，但整个过程都合情推理，充分体现并发展了学生的推理能力.从具体的图形面积逐步推导出皮克定理，再应用皮克定理解决现实问题和数学问题，就是一个建模的过程，发展了学生的抽象能力、模型观念和应用意识.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：86.

[2] 史宁中.推进基于学科核心素养的教学改革[J].中小学管理，2016（02）：19-21.

[3] 張思明，白永潇.数学课题学习的实践与探索[M].北京：高等教育出版社，2003：13-14.

[4] 王晓静.让“数学猜想”贯穿数学学习的生命线[J].数学学习与研究，2012（05）：70-72.