运用图形性质 寻找解题思路

王其淼

考题再现

例1 （2020·江苏·扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA = OB = OC = OD = 2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD，OD交于点E，F.

（1）求证：OC[?]AD;

（2）如图2，若DE = DF，求[AEAF]的值;

（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求[DEDF]的值.

考点剖析

1.知识点：本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练运用这些图形的性质是解题的关键.

2.数学方法：构造法.

学情分析

解题思路：（1）由等腰三角形的性质及角平分线的定义证得∠ADO = ∠DOC，则可得出结论;

（2）如图3，过点E作EM[?]FD交AD的延长线于点M，证得∠M = ∠ADF = 45°，由直角三角形的性质得出EM = [2]DE = [2]DF，由△AME ∽ △ADF，得出[AEAF] = [EMFD] = [2];

（3）设BC = CD = x，CG = m，则OG = 2 - m，由勾股定理得出4 - （2 - m）2 = x2 - m2，解得m = [14]x2，可用x表示四边形ABCD的周长，根据二次函数的性质可求出x = 2时，四边形ABCD有最大值，得出∠ADF = ∠DOC = 60°，∠DAE = 30°，由直角三角形的性质可得出答案.

解：（1）∵AO = OD，∴∠OAD = ∠ADO.

∵OC平分∠BOD，∴∠DOC = ∠COB.

又∵∠DOC + ∠COB = ∠OAD + ∠ADO，

∴∠ADO = ∠DOC，∴OC[?]AD.

（2）如图3，过点E作EM[?]FD交AD的延长线于点M，

设∠DAC = α，∵CO[?]AD，∴∠ACO = ∠DAC = α，

∵AO = OC，∴∠OAC = ∠OCA = α.

∵OA = OD，∴∠ODA = ∠OAD = 2α.

∵DE = DF，∴∠DFE = ∠DEF = 3α.

∵AO = OB = OD，∴∠ADB = 90°，

∴∠DAE + ∠AED = 90°，即4α = 90°，

∴∠ADF = 2α = 45°，∴∠FDE = 45°，

∴∠M = ∠ADF = 45°，∴EM = [2]DE = [2]DF.

∵DF[?]EM，∴△AME ∽ △ADF，

∴[AEAF] = [EMFD] = [2].

（3）∵OD = OB，∠BOC = ∠DOC，OC = OC，

∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC = CD.

设BC = CD = x，CG = m，则OG = 2 - m，

∵OB2 - OG2 = BC2 - CG2，

∴4 - （2 - m）2 = x2 - m2，

解得m = [14]x2，∴OG = 2 - [14]x2，

∵OD = OB，∠DOG = ∠BOG，∴G为BD的中点.

又∵O为AB的中点，∴AD = 2OG = 4 - [12]x2，

∴四边形ABCD的周长为BC + CD + AD + AB = 2x + 4 - [12]x2 + 4 = - [12]x2 + 2x + 8 = - [12]（x - 2）2 + 10，

∵- [12] < 0，∴x = 2时，四边形ABCD的周长有最大值10，∴BC = 2，

∴△BCO为等边三角形，∴∠BOC = 60°，

∵OC[?]AD，∴∠DAB = ∠COB = 60°，

∴∠ADF = ∠DOC = 60°，∠DAE = 30°，

∴∠AFD = 90°，∴[DEDA] = [33]，DF = [12]DA，

∴[DEDF] = [233].

拓展变形

例2 （2020·山东·德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图4，△ABC中，AB = 6，AC = 4，AD是中线，求AD的取值范围. 她的做法是：延长AD到E，使DE = AD，连接BE，证明△BED ≌ △CAD，经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：

（1）小红证明△BED ≌ △CAD的判定定理是：.

（2）AD的取值范围是.

方法运用：

（3）如图5，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE = EF，求证：BF = AC.

（4）如图6，在矩形ABCD中，[ABBC] = [12]，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且[EFBE] = [12]，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG = CG.

（作者单位：辽宁省大连市第九中学）