怎样求解与三角形有关的问题

陈烨

与三角形有关的问题经常出现在解三角形、三角函数、解析几何试题中，其常见的命题形式是根据已知条件求三角形的边和角的大小、判断三角形的形状、求三角形的面积及其最值.解答与三角形有关的问题，通常要灵活运用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义、诱导公式、辅助角公式以及三角函数的图象、性质.下面结合实例，谈一谈与三角形有关的三类问题的解法.

一、求三角形边、角的大小

求三角形的边、角大小问题在解三角形中比较常见，通常要求根据已知的边、角及其关系，或某个角的三角函数值求三角形的边长、角的大小.在解题时，需根据题意，利用正余弦定理进行边角互化，或结合图形添加合适的辅助线，构造出规则的三角形，如正三角形、等腰三角形、直角三角形，再根据三角函数的定义、诱导公式进行求解.

本题是一类创新题，可从三个条件中任选两个进行求解.若选条件①②，则需根据已知条件，利用正弦定理将题目中边的关系转化为角的关系，并使其向特殊角靠拢，这样，就可以根据特殊角的三角函数值求得三角形的三个角的大小，进而求得 b，c 的大小.

求三角形边角的大小，除了要灵活运用正余弦定理，还需借助三角函数知识.同时还要注意挖掘隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ;（2）三角形中的大角对大边，小角对小边.

二、判断三角形的形状

常见的三角形有直角三角形、等腰三角形、等边三角形、锐角三角形、钝角三角形.在判断三角形的形状时，往往要借助正弦、余弦定理，将题目中的边角关系统一为边的关系式或角的关系式，然后根据三角函数的定义、辅助角公式求得三个角的大小或关系式，从而明确三角形的三个角、三条边之间的关系，以便判断出三角形的形状.

解答本题，需先将根据已知关系和余弦定理，求得 cosC 的表达式，然后借助基本不等式求得 cosC 的取值范围，进而确定角 C 的最大值，求得三角形中三个角的大小，这样，便可根据三个角之间的关系和正三角形的特点判断出该三角形的形状.

由于已知条件中给出了三角形的三个角之间的关系，所以要判断△ ABC 的形状，需重点研究角之间的关系.根据两角和的正弦公式和特殊角的值sin0=0，判断出 A = B ，即可判断出三角形的形状.判断三角形的形状，必须明确各种三角形的特点，如直角三角形中有一个角为直角，等边三角形的三边相等，等腰三角形的两腰相等，锐角三角形的三个角为锐角，钝角三角形中有一个角为钝角.

三、求三角形的面积

求三角形的面积问题比较常见，通常要用到三角形面积公式 S =1 2 ah 或 S =1 2 ab sin C .若容易求得三角形的高和底边长，则可根据公式 S =1 2 ah 求三角形的面积;若容易求得一个角的三角函数，则可根据公式 S =1 2 ab sin C 求解.无论运用哪种公式来求三角形的面积，都需灵活运用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义来求出三角形的边或角的关系式.

根据已知关系式和正弦定理可快速求得角 B 以及 a、b 的关系式，便可根据余弦定理求得 a 的大小，最后根据公式 S =1 2 acsin B 求得△ ABC 的面积.

由于已知三角形的两个角的三角函数值，所以可考虑运用公式 S△ABC =1 2 acsin B 来求三角形的面积.根据诱导公式以及两角和的正弦公式求得角 B 的正弦值和 a 的大小，将其代入面积公式即可解题.

由此可见，解答与三角形有关的问题，不仅要灵活运用正余弦定理、勾股定理進行边角互化，还需灵活运用三角函数中的基本公式进行三角恒等变换.这就要求我们熟练掌握解三角形、三角函数的有关知识，灵活运用数形结合思想、转化思想.