以“误中悟”为引领 构建“6W”活动主线*

唐录义 刘东莲

摘    要：“误中悟”方式以素养为导向，以问题为引领，围绕挑战性学习主题，创设适切情境，能实现深度学习，达成学习目标.其课堂活动主线由“博学格物”“审问疑雾”“慎思试误”“明辨顿悟”“笃行温焐”“反思务本”六个环节构成.教师要倡导怀疑和批判精神，善待错误，遵循目标导向，预设聚焦目标性“大问题”的层层递进的子问题串，及时、敏锐地捕捉错误，有序、有关、有用、有益、有效地展示情境，让学生经历联系、比较、试误、调整等过程，使认识从零碎、浅表、模糊逐步进阶到整体、深刻、清晰.

关键词：“误中悟”方式;“6W”活动主线;数学教学

一、“误中悟”方式“6W”活动主线简介

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出“优化课程结构，突出主线，精选内容”的基本理念，其中突出主线就是突出数学学科的内在逻辑，站在整體的高度把握数学知识的发展脉络，揭示知识脉络所承载的数学思想方法和数学核心素养培育的价值.数学教学就是要通过设置恰当的数学活动实现数学知识在学生心灵中的发生发展.因此，数学教学活动需由两条明线（知识主线、活动主线）和两条暗线（思想方法主线、素养主线）构成[1]，四条主线明暗呼应、交织相融，渗透数学思想方法，发展数学学科核心素养.教师要在“理解数学”的基础上确定知识主线，在“理解教学”“理解学生”后确定活动主线[2].因此，在“双减”背景下提高课堂教学质量，设计优质高效的活动主线至关重要.

多年来，笔者所在的名师工作室开展了安徽省教育规划课题“基于数学核心素养发展的‘误中悟教育方式及其课堂实践研究”的研究.“误中悟”方式就是围绕挑战性学习主题，创设适切情境，从“雾区”出发，以素养为导向，以问题引领学生经历“博学格物”“审问疑雾”“慎思试误”“明辨顿悟”“笃行温焐”“反思务本”六个课堂教学环节（“物、雾、误、悟、焐、务”六个字的读音都是“wu”，故称之为“6W”结构），实现深度学习，达成学习目标.

活动主线中包括数学化活动、再发现活动、元认知活动三大基本活动.这里的“元认知”是美国心理学家弗拉维尔提出的概念，意为对认知的认知.人们在学习时，一方面进行着各种认知活动（感知、记忆、思维等），另一方面又要对自己的各种认知活动进行积极的监控和调节.这种对自我的感知、记忆、思维等认知活动的再感知、再记忆、再思维就称为元认知.“误中悟”六环节中，前两个环节是数学化活动，中间两个环节是再发现活动，后两个环节是元认知活动.知识主线包括背景、概念、性质、应用、总结.活动主线与知识主线交织融合，潜移数学思想方法，默化数学核心素养，相依相伴、相辅相成、依序运行.下面以“求切线方程”教学设计为例，诠释活动主线各个环节的含义.

二、“6W”活动主线各环节诠释

（一）博学格物：格物迷离引入胜，博贯近思学究竟

致广大而尽精微.博学是一种求学的执念，是一种执着的态度，热情、坚持不懈、陶醉其中地探索自己内心的困惑.格物致知、悟物穷理，格物就是观察情境[3]，情境是指影响事物发生或对机体行为产生影响的环境载体和条件载体，情境所呈现给学生的刺激性信息，能引起学习兴趣，唤起强烈的问题意识.博学格物就是情境活动，旨在厚培知识的根基，厘清知识的本源和背景，让知识根植于广博、深厚、肥沃的情境土壤之中，生根发芽、开花结果，为新知的生成搭建厚博的平台，培根铸魂.

教师要创设博贯现实生活、近思已有知识经验、切问当前主题的情境，使学生博观约取、全身投入、沉迷陶醉，获取信息.好的情境具有四个特征.一是指向性：指向关键问题，关注学科本质.二是激趣性：激发学习兴趣，诱发自主探究.三是自然性：具有恰当的自然体验和思维梯度，有利于拾级而上挑战问题，培养科学精神.四是真实性：具有真实而简洁的特征，能快速引发数学观察和数学思考.

【环节1】基于情境，引发思考

问题1：回忆一下，我们在初中的哪个阶段接触过切线这个概念？

问题2：直线与圆相切时，只有一个交点，那么直线与曲线相切时是不是也只有一个交点呢？

回顾初中知识点，笔者发现不少学生有思维定式：对于切线的理解就是只有一个交点.由此，笔者在充分考虑高二学生求解三次方程还比较吃力的情况下，让他们求解一道因式分解比较简单的例题：过原点O（0，0）作曲线[fx=x3-2x2+x]的切线，求该切线的方程.

导语：观察情境，联系学过的有关知识和已有的经验，寻找情境中蕴含的数学问题.同学们，请睁开数学的慧眼，把这纷扰看个清清楚楚、明明白白、真真切切！

师生活动：教师布境、激情、启思;学生入境、动情、乐思.

（二）审问疑雾：雾中风景疑处始，审视洞照问中来

笛卡尔在《方法导论》中列举了方法论的四条规则，第一条就是“绝不承认任何事物为真，除非我明明白白知道它确实为真”，在他的《第一哲学沉思录》中，第一个沉思就是“质疑一切”.“误中悟”方式倡导怀疑和批判精神，在学生观察情境后，教师要诱其质疑，引其发问.

维果茨基“最近发展区”理论认为学生的发展水平包含现有发展水平和潜在发展水平，二者之间的区域叫最近发展区.最近发展区又包含自发展水平（通过自身努力可以达成的水平）和助发展水平（需要求助方可达成的发展水平），二者之间的区域就是“误中悟”方式所指的“雾区”.

针对“雾区”，教师要预设若干层层递进且聚焦目标性“大问题”（核心问题）的子问题串，引导学生从“雾区”出发，遵循目标导向，以数学的视角（即形状、位置、大小、度量、运算、关系、模型等），对情境看、想、发现、好奇、想问，把想问的问题提出来.教学过程中，学生可能会提出各种数学问题，它们也许与预设的核心问题偏离甚远，然而只要学生能勇敢地提出问题，即使很幼稚，都值得珍视和鼓励.教师要让学生大胆展示问题，并相机启发，顺势导出某课的核心问题.

【环节2】深入“雾区”，生发疑问

问题3：原点O（0，0）与曲线的位置关系是什么？如何判断？（将横坐标x=0代入，学生会发现原点在曲线上，从而认为切点就是原点）

问题4：问题3中的切线有几条？

部分学生因为切点在曲线上而误认为只有一条切线，部分学生认为有两条切线，课堂上产生了思维碰撞的火花.这使对切线概念理解有“雾区”的学生产生困惑，笔者于是进一步启发学生思考.

导语：通过对情境的观察、联想、思考，每人至少提出一个数学问题.请同学们展开想象的翅膀，让思维自由飞翔.

师生活动：教师追问、导向、诱发、鼓励;学生质疑、迷茫、困惑、发问.

（三）慎思试误：自主试误慎思中，此时无声胜有声

桑代克“联结—试误”理论认为，人类的学习过程就是刺激与反应之间的联结，知识与技能的獲得必须通过“尝试—错误—再尝试”的循环试误过程.错误、挫折的刺激，将引发观念冲突，产生强烈的反应.这种“刺激—反应”的联结，会触动心灵，让学生刻骨铭心，唤起深度学习.

克劳修斯熵增定律，用熵度量一个系统“内在的混乱程度”.在一个孤立系统里，如果没有外力做功，其总混乱度（熵）会不断增大.对抗熵增，必须主动做功、开放系统、智能化，以实现熵减.熵减的过程就是治理无序、实现有序的纠错过程，这个过程会促进智能跃升.

认识事物往往会经历这样一个过程：“观察、尝试、检验、否定—再观察、调整、再尝试、再检验、再否定……”从思维发展的角度来说，这就是思维的批判性，也是创造性思维的重要特征.那么如何减少尝试的盲目性？如何让否定更明智，不丢掉好的思路？知识的储备、分析问题的能力、经验的积累、克服困难的勇气，都会在一次又一次问题解决中得到成长.

试误需要沉浸式慎思，慎思就是要深思而慎取.问过以后还要通过自己的思维活动来仔细考察、思考、分析，以数学悟感为基础，充分发挥好奇心与想象力，大胆试误，积极寻求有效的问题解决方案，借助证据和合理推理进行有效论证.这一系列过程就是以悟感为基础的参悟过程，可培养学生分析问题的能力，使其学会用数学的思维思考现实世界.

【环节3】思维发散，尝试探究

问题5：那么到底有几条切线？我们能不能借助GeoGebra来观察、尝试一下？

笔者借助作图软件，让学生去感受，体会“过”与“在”的不同之处.首先作出以点O为切点的切线，学生会发现它与曲线[y=fx]还有另外一个交点.笔者由此强调直线与曲线相切，交点并不一定唯一，要求学生注意区分其与初中学习的“直线与圆相切，有且只有一个交点”不同.

问题6：曲线上还会不会有其他的直线与曲线相切经过点O ？

笔者让学生自己动手去操作、尝试，通过移动过点O的直线BO，发现其经过点C的时候与曲线相切，此时切点不是点O.在实际操作中，只需要让学生指出直线的存在，不需要说出切点，当然，学生可以猜出点C的坐标为（1，0），教师不需要给予肯定，而是要强调“形给的直观，应通过数去验证”.

导语：下面我们自主探究问题，请同学们开启思想的闸门，让思维自然流淌！

师生活动：学生直面核心问题，独立思考、自主探究、直觉猜想、大胆试误;教师明察误情、聚焦误点、助力破误、诊断点拨.

（四）明辨顿悟：百鸟争鸣明思辨，思维碰撞顿悟生

刘奎林“诱发灵感的机制序列链”理论认为灵感的诱发由五道程序组成机制序列链，即“境域—启迪—跃迁—顿悟—验证”.其间，创造者的灵感孕育一经达到饱和程度，恰遇某一相关信息偶然启迪，灵感就会以非逻辑质变方式，经过显意识与潜意识的交互作用，使潜意识进入一种跨越式的推理程序和非连续的质变过程，顷刻间就会发生思维跃迁，使人豁然开朗，产生顿悟.

教师要鼓励学生积极发表自己的意见，展示试误的结果，并合作交流，在互动中明辨问题，批判质疑，碰撞思维，擦出思想火花，互启灵感，诱发顿悟，生成发现.教师还要引导学生给出合理的评判和严谨的推理论证过程，得到定理、法则、公式的确认，然后用自然语言、图形语言、符号语言予以表达.如此，可培养学生解决问题的能力，使其学会用数学的语言表达现实世界.

【环节4】思维穿透，成果生成

问题7：通过刚刚这位同学的操作，我们发现这样的切线有两条，下面我们该如何去解答？切点不能确定的时候我们怎么办？（解题过程略）

导语：同学们，把你们探究的成果交流一下.

师生活动：学生交流观点、讨论明辨、互启顿悟、论证跟进;教师参与交流、收集成果、评价激励、提炼完善.

（五）笃行温焐：学以致用喜笃行，变式精练温焐成

王阳明认为“知者行之始，行者知之成”“知是行的主意，行是知的功夫”，即“知行合一”.在学生获得顿悟后，教师要精心设计适当的变式训练，注重基础性、探究性、实践性、综合性的练习，体现有关、有用、有效、有趣，巩固“误中悟”的成果，将所悟及时“温焐”，使其固化为本领和素养，即“悟之固”.教师应引导学生探寻“误之雾”的归因，探求“悟之固”的途径，从“雾下误”到“误中悟”，再到“悟后焐”.技能习得应当“小火慢炖”即“温焐”;训练要有梯度、循序渐进，要有温度，用心用情个性化量身定制，切忌“大火爆炒”“直通高考”.学生通过辨识、调用、迁移积累活动经验.辨识就是准确辨析和识别问题中所包含的数学概念、规则、方法并合理再现，准确理解问题的条件和假设，将真实情境转化为数学问题并加以表征.调用就是准确运用数学概念、事实、原理、性质、方法等有序开展推理和运算.迁移就是形成运用已有知识、经验、方法解决新情境问题的一般套路，获得解决常规问题的模型.“笃行温焐”旨在深化理解已学知识，厚积活动经验，焐熟技能方法，培养学生的应用迁移和问题解决能力.

【環节5】思维变通，迁移应用

变式：已知曲线[fx=x3-2x2+x]的切线，求在原点O（0，0）处的切线的方程.

这个变式对例题进行了简单的改编，目的是让学生通过对比，自主动手去完成，进而体会“在某点处”和“过某一点”的不同.

师生活动：教师提供变式、组织训练、巡察学情、评价矫正;学生实操练习、迁移体验、焐熟技能、提升思维.

（六）反思务本：反思过程务根本，大道至简悟真经

“反思”属于元认知的范畴，元认知理论认为，反思性学习就是学习者对自身学习活动的过程，以及活动过程中所涉及的相关信息、思维、结果等学习特征的反向思考.《论语·学而》中的“君子务本，本立而道生”，《学记》中的“先河而后海;或源也，或委也.此之谓务本”，说的都是这个道理.

学生经过浅出、薄发、聚合形成创新意识、科学精神、文化认同，领悟数学思想和数学方法，培养数学核心素养.学生主动反思该节课的学习过程、建立知识探究框架、触及数学本质、凝聚思想方法;教师在学生反思的基础上对学生进行评价指导，可以借助思维导图工具呈现认知结构，让学生回溯经历与经验，回忆结果与结论，回顾过程与方法，回味情感与价值.反思务本就是溯源导流、务元务本，达到深入浅出、厚积薄发进而由厚到薄、大道至简的境界.

【环节6】思维收敛，反思重构

问题8：用导数求曲线的切线方程，步骤是：先求出函数[y=f（x）] 在点[x=x0]处的导数;再根据点斜式写出切线的方程.

问题9：求在点P处的切线，点P一定是切点;求过点P的切线，点P不一定是切点.

导语：接下来，请同学们回顾在这节课的学习中：

（1）学到哪些概念、结论？怎样运用它们解决相关问题？（结果与结论——学会）

（2）获得这些结论经历了怎样的过程？（经历与经验——学历）

（3）在这个过程中，你悟出了哪些数学思想方法？（思想与方法——会学）

（4）你最感兴趣的是哪一点？（情感与价值——乐学）

师生活动：学生反思过程、触及本质、重新建构;教师解构结构、揭示本质、评价指导.

三、结语

理性批评主义认为：“在通向真理的道路上，每一个错误都有其价值，因为科学创造从来就升华于‘错误之中;同时，错误的发现与纠正也要依赖于大胆的理性批判.”以“误中悟”方式促进认知发展，错误的出现就暴露了学生已有认知水平与解决问题所需认知水平的“差距”，而“差距”的消除则标志着认知的发展.“误中悟”方式倡导怀疑和批判精神，以错误中的合理成分作为教学起点，转变学生“错误可耻”的观点，使其树立正确的“视误观”，培养求真求实的品质.教学中，尤其要注意如下五点。

一是教学设计一定要关注“雾区”分析和误点预判，预设聚焦目标性“大问题”的层层递进的子问题串，遵循目标导向.

二是要及时、敏锐地捕捉错误，机智地利用错误资源，因势利导，顺势而为，循天而行，随物赋形，展开“误中悟”，获得精彩的课堂生成.

三是展示情境要有序、有关、有用、有益、有效，既要整体呈现，又要重点凸现，既要博观全貌，又要细察一斑.在“审问疑雾”和“慎思试误”环节中要充分利用情境资源，寻找数学线索，挖掘数学元素，发现数学问题，让学生充分看、想、发现、好奇、想问.美国教育家鲁巴克认为“最精湛的教学艺术所遵循的最高准则就是，学生自己提出问题”.

四是“慎思试误”一定要让学生独立找到解决问题的起点，让学生在思维的堵点处迷茫与徘徊，经历不断联系、比较、试误、调整等过程，使认识逐步从零碎到整体、从浅表到深刻、从模糊到清晰.知识与技能的获得必须通过“尝试—错误—再尝试”这样一个循环的试误过程。疑雾、试误、顿悟逻辑相关.疑雾是试误的动机和动力，有了疑雾的心理冲突才有试误的行为冲动;试误是顿悟的前提，顿悟是试误的最终结果，有了试误的艰辛慎思、孕育蒂熟，才有顿悟的豁然明辨、自然瓜落。

五是增强“课堂是出错的地方”的意识.“误中悟”主张善待错误，包容错误，珍视错误，鼓励“犯”错误，并化错误为资源，从错误中学习，在学习中悟道，保护好奇心，发展想象力，唤醒创新意识.错误不是无情物，化作资源价更高. [□][◢]

参考文献：

[1]刘奇奇，吴立宝，陈键.中学数学教学内容主线分析的要素与结构——以三角函数为例[J].中学数学研究，2022（2）：1-5.

[2]章建跃.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，2008：69.

[3]唐录义，李巍.“误中悟”教育方式的实验探索[J].中国数学教育，2019（11）：17-21.