化归思想在高中数学教学中的应用

陈建友

摘 要：化归思想是解决问题的一种重要思想，用于高中数学教学中可指引学生尽快地找到解题思路，提高解题效率与解题能力。教学实践中应基于对化归思想理论知识的认真学习，做好教学内容的认真规划，将化归思想融入相关教学内容中，深化学生对化归思想的理解，提高学生运用化归思想解决数学问题的能力。

关键词：化归思想;高中数学;教学;应用

化归思想是转化与归结的简称[1]。一些看似复杂的问题运用化归进行合理的转化，可化难为易，柳暗花明，迅速地找到解决问题的切入点。高中数学教学中应认识到化归思想的重要性，通过理论的讲解，化归思想的具体应用，使学生亲身体会化归思想在解题中的作用，增加化归思想学习的自觉性，增强化归思想的灵活应用意识。

一、在零点教学中的应用

直接转化是进行化归的常用方法，是化归思想的具体体现，指将问题转化为基本定理、基本公式、基本图形问题[2]。结合自身教学经验不难得知直接转化在零点问题中应用广泛，因此，教学实践中应注重直接转化的有效融入，提高学生对化归思想的认识。

零点是高中函数部分的重要知识点，在高中数学日常测试以及高考中时常考查。相关题型主要有判断零点个数、判断零点所在区间等。其中判断零点所在区间运用零点存在定理进行分析。在进行零点知识教学中为使学生掌握直接转化的相关细节，应做好基础知识的讲解[3]。课堂上通过鼓励学生开展自主学习活动，并给予针对性的引导，使学生吃透零点的含义，使学生认识到零点不是“点”，而是一个“数”，从函数角度来看指函数图像与轴交点的横坐标;从方程角度来看其是方程值为零的实数根。另外，因直接转化是将问题转化后更好地运用零点存在定理，因此，教学实践中应做好零点存在定理的教学。课堂上从学生熟悉的函数图像入手，运用多媒体屏幕展示某二次函数的图像，而后抛出如下问题要求学生思考：1.函数图像在哪个区间有零点？2.函数图像存在零点时其有什么特点？3.怎样使用数学语言刻画函数存在零点？课堂上如此引发学生思考，归纳出函数零点存在定理，更容易加深学生印象与理解。

待学生理解与掌握函数零点存在定理后，应注重相关例题讲解，为学生展示如何運用转化思想通过函数零点存在定理求解数学问题。例如，课堂上给出三个函数，要求学生比较三个函数零点之间的大小关系。显然解题时需要将问题转化为求函数零点所在区间问题，而判断函数零点所在区间需要运用函数零点存在定理。在该思路指引下，先观察给出的函数解析式能否直接看出其零点，若不能则运用所学知识先判断函数单调性，在此基础上尝试进行取点，代入到函数解析式之中，比较函数值和零的大小关系，当满足函数值大于零、小于零时则可断定零点就在该区间内，最终不难比较出零点的大小关系。

如此先夯实基础，再借助问题引导学生采用直接转化分析问题，帮助其积累解题经验的同时，能够体会到运用直接转化解决问题的成就感，以高涨的热情学习化归思想。

在数学知识教学中，数学思想贯彻整个学习过程，需要凸显数学知识主线，加深学生体验和感悟，深入理解数学内在关联，走出数学学习的困局，引导学生开展深入学习，为高效课堂奠定基础。

二、在向量教学中的应用

数与形之间的转化是化归思想中极具代表性的化归方法。高中数学很多问题的解决过程中都能看到数形转化的身影。高中数学中数与形之间的转化方法主要有：根据题干创设的问题情境画出相关图形，运用图形性质解答问题;将图形中的特点转化为具体坐标，借助坐标运算解答问题。前者体现的是由“数”向“形”的转化，后者体现的是由“形”向“数”的转化。

向量是高中数学重要基础知识，涵盖的概念与相关运算法则较多。解决向量问题依据的理论为向量的几何运算、向量的坐标运算以及相关定理[4]。无论是根据问题中对向量的描述画出对应向量，借助图形求解相关参数，还是构建坐标系将向量放到坐标系运用坐标运算进行解题，体现的均是“数”和“形”之间的转化。由此可见，数形转化是解决向量问题的重要方法。高中数学教学中为使学生能够灵活地运用数形之间的转化求解向量问题，应做好这一化归方法在教学中的渗透。一方面，为学生讲解向量的加减运算时应注重设计基础性问题，及时组织学生开展训练活动，使学生掌握向量加减运算法则之间的差异，能够搞清楚画向量时的起始位置，避免张冠李戴。同时，积极联系所学的已有知识储备设计问题，引导学生运用化归思想，从几何视角分析向量问题，有效突破其定式思维，更好地激活其解题思维[5]。另一方面，针对部分与向量相关的几何问题，采用向量的加减运算难以作答时，引导学生及时改变解题思路，构建直角坐标系通过坐标运算进行解答，将向量问题转化为数学问题进行求解。

例如，课堂上为学生展示求解向量模的取值问题，要求学生思考、作答。部分学生运用数量的向量积以及相关运算法则进行解答，虽然能够求解出最终结果，但是较为烦琐。课堂上引导学生运用数形转化进行分析。学生通过相关运算构建向量相关的内在联系，画出已知对应的几何图形，结果可直观地看到向量的模取得最大以及最小值时的情况，运用几何性质经过简单的计算也得出了正确结果。

如此开展教学活动使学生体会到了数形转化在解题中的便利，给其以后解答类似问题带来良好启示，使其在以后解题中少走弯路，提高效率。

三、在导数教学中的应用

构造转化是解决数学问题又一常用的转化方法。该转化方法难度较大，需要学生具备良好的抽象以及概括能力[6]。学生一旦找到正确的构造思路，解答问题也就顺理成章。构造转化法能够解决很多高中数学问题，其中在解答导数比较大小相关的习题时加以巧妙地运用可确保问题得以顺利突破。因此，在进行导数部分教学时应注重构造转化法的应用。

基于以往教学经验，认识在导数教学中应用构造转化法时应注重做好以下内容：其一，夯实导数基础。灵活运用构造转化法的基础是牢固掌握与导数相关的概念、运算法则，深入理解其本质。教学实践中应注重借助多媒体技术通过动态展示直线与函数图像的关系，使其深入理解导数的真正含义。同时，要求学生采用对比记忆法牢记求导计算公式，尤其复合函数的求导公式，避免记混淆。其二，做好例题展示。为提高学生运用构造转化解决数学问题的自信心，把握构造的相关思路与细节，应注重为学生讲解高考真题，使学生认识到构造转化法是高考的热门考点，指引其在构造转化法的学习上多下功夫，多花精力，争取掌握不同题型的构造思路。其三，开展专题训练。为提高学生运用构造转化法解答导数问题的灵活性，应注重及时组织学生开展专题训练活动，为学生设计不同的问题情境，学生通过运用构造转化法，运用函数性质顺利地解答，帮助其积累丰富的应用经验。

例如，课堂上可以给出导函数与导数之间的关系式，要求学生比较不同自变量下的函数值的大小关系。显然解答该类问题采用常规思路难以有效的突破。课堂上可引导学生认真观察给出的导函数与导数之间的关系式，联系记忆的求导计算公式，通过逆向推理构造出新的函数，判断构造函数的单调性。一般情況下构造的新函数往往是单调的，此时只要比较给出自变量的大小也就得出了对应函数值的大小关系。

导数知识教学中通过构造转化法的灌输，提高学生的应用意识。同时，通过开展针对性的专题训练活动，使学生亲身体会构造转化法的应用过程，通过不断的揣摩与总结，实现构造转化法应用水平的不断提升。

数学是一门系统化的学科，数学知识之间联系密切，利用化归思想引导学生感受新旧知识的联系，通过分析知识之间的联系和差异，帮助学生完善知识结构，深层次理解数学知识内容。

四、在三角函数教学中的应用

能够体现化归思想的方法较多，其中换元法时常被应用在解题中。学生对换元法并不陌生，在以往的数学学习过程中多少有所接触。运用换元法解答数学问题，可减少参数个数，能够直观地揭示参数之间的内在联系，使得复杂问题变得简单化[7]。高中数学教学中为使学生牢固掌握换元思路、换元技巧以及换元细节，应在讲解高中数学知识时有针对性地灌输换元法。

三角函数是高中数学中的重要函数类型，属于一种有界函数。部分高中数学习题并不是直接考查三角函数性质，而是将三角函数与其他函数进行复合，考查学生综合分析问题的能力。解答该类问题的常用方法为换元法。实践中为提高学生运用换元法解题的正确性，一方面，考虑到部分三角函数习题并不是直接能够换元转化，而是要求学生运用三角函数恒等式进行相关的转化运算后才能进行换元，因此教学实践中通过与学生进行互动，使学生掌握三角函数的恒等变形公式。在此基础上为学生讲解换元法解答三角函数问题时的注意事项，即将三角函数的定义域考虑在内，保证换元的等价性。同时结合具体例题讲解，使学生认识到换元前后保持等价的必要性，否则可能得出错误结果。不仅如此，为更好地加深学生印象，应注重教学思路的创新，尤其在讲解相关习题时可故意示错，要求学生认真观察解决过程，思考换元法应用得是否正确。当发现解题错误后要求其进行改正，如此能够加深学生认识，提醒其避免以后犯下类似错误。

例如，在课堂上为学生展示以三角形为背景的三角函数问题，为学生讲解如何进行换元，如何进行解答等。当然在解题的过程中可故意出错，如在换元的过程中没有考虑某一角度是否满足构建三角形的条件，而得出错误结果。课堂上给学生预留思考讨论时间，分析使用换元法解题的过程是否正确，如果错误该如何改正等。学生认真观察，联系所学不难得出换元前后并不等价，如此启发其在换元的过程中一定要认真分析自变量范围。如此将换元法融入三角函数教学中并通过示错，提醒学生运用换元法转化的注意事项，可给学生带来不一样的学习体验。

五、在立体几何教学中的应用

动静转化是一种解决高中数学运动类问题的重要转化方法。众所周知，高中数学部分习题会涉及一些运动的元素，对学生的想象能力要求较高。在动静转化解题方法指引下，运用所学分析运动对象与静止对象之间的内在联系，借助一些静止对象便可顺利解决问题。高中数学教学中应认识到动静转化在高中数学哪些知识点中应用较为广泛，做好充分的教学设计将该化归思想渗透教学的各个环节中，使学生牢固地掌握动静转化的常规处理方法[8]。

立体几何是高中数学的重要知识点，习题情境更是复杂多变。其中点、线、面运动相关习题时常在测试以及高考中见到。针对这一情况，立体几何教学中应注重动静转化知识的讲解。一方面，注重运用多媒体技术为学生讲解动静转化的相关例题，通过多种角度动态地展示运动对象的运动过程，使其对创设的问题情境有更为清晰的认识，更好地把握运动对象的运动规律，在头脑中清晰地构建相关运动模型，尤其通过动静转化顺利求解问题，使学生树立动静转化的意识，不至于在解答相关问题时一头雾水。另一方面，课堂上注重给学生预留空白时间，引导学生围绕动静转化开展学习与讨论活动。总结动静转化常用的数学知识点、动静转化常用的转化思路等。

例如，在课堂上为学生展示动点在正方体棱上运动的问题并且在运动的过程中满足一定条件，要求某一立体几何图形体积的最值。讲解该问题时可借助屏幕为学生直观展示动点的运动路径，给学生带来视觉上的冲击，使其在思考的过程中更具方向性与目的性。学生通过观察可以看到动点运动时达到某一点，立体几何图形体积达到最大或最小。而后要求其使用立体几何知识进行证明。如此进行教学便完成动静之间的转化，即将运动的点转化为静止的点，根据立体几何图形体积计算公式便可顺利解答。如此将动静转化融入立体几何知识教学中可增加学生解答运动类数学问题的自信心，为其数学解题能力的提升打下坚实基础。

在化归思想应用时，应当遵循数学化、熟悉化以及简单化的原则，通过对数学知识和问题进行观察，借助化归思想实现复杂问题向简单问题的转化，借助直观的展示，使得数学知识更加形象，提高课堂学习效果。

结束语

化归思想在高中数学中占有重要地位。很多数学问题的解答都离不开化归思想的有力支撑。高中数学教学实践中应注重总结化归思想常用的转化方法，并结合教学内容的讲解，使学生扎实地掌握，并在解题中加以运用。文章探讨了零点教学、向量教学、导数教学、三角函数教学、立体几何教学中融入直接转化、数形转化、构造转化、换元转化，以及动静转化等转化方法获得良好效果，可结合实际情况加以借鉴。

参考文献

[1]赵芳.浅谈化归思想在高中数学教学中的应用[J].试题与研究，2022（1）：28-29.

[2]舒华瑛.转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究[J].延边教育学院学报，2021，35（6）：190-195.

[3]王明建.数学思想在高中数学教学中的应用[J].广西教育，2021（26）：124-125.

[4]王勃.化归思想在高中数学解题过程中的应用[J].吉林教育，2021（15）：75-76.

[5]张海鹏.化归思想在高中数学教学中的应用[J].高考，2020（36）：54-55.

[6]王成强.化归思想在一类函数问题中的应用[J].中学数学研究，2020（11）：44-46.

[7]李德愿.化归思想在高中数学教学中的应用[J].数理化解题研究，2020（27）：8-9.

[8]蔡娟兰.浅议化归思想在高中数学解题过程中的应用[J].黑河教育，2020（7）：18-20.