2022年高考数学北京卷压轴题的自然解法

摘 要：2022年高考数学北京卷压轴题（即第21题，属组合数学范畴）以数列为载体，考查学生对新情境新知识的理解，让学生在阅读数学符号和认识新概念的基础上，即时学习并创新应用，体现了获取新知识的能力和创新意识.文章给出了一种自然解法.

关键词：2022年高考数学北京卷;压轴题;组合数学;自然解法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0042-03

题目 （2022年高考数学北京卷第21题）己知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j=n，则称Q为m-连续可表数列.

（2）若k=1，则数列Q：a1只可能是1-连续可表数列;若k=2，且数列Q：a1，a2为m-连续可表数列，则m≤3（因为由题设中的表述方法，最多只能表示出a1，a2，a1+a2共3个两两互异的数）;若k=3，且数列Q：a1，a2，a3为m-连续可表数列，则m≤3（因为由题设中的表述方法，最多只能表示出a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3共6个两两互异的数）.

同理，可证得一般的结论：若有穷整数数列Q：a1，a2，…，ak为m-连续可表数列，则m≤k+（k-1）+（k-2）+…+1=12k（k+1）.

①若数列Q的六项均是自然数，由题设a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，可得数列Q的连续项和均小于20（没有表示出20），与题设矛盾！所以数列Q中有负项且负项的项数是1（若存在两个负项，则数列Q的连续项和表示中会少两个正整数，至多能表示21-2=19个正整数，不满足题设）.

若数列Q的项中还有0，则数列Q的连续项和表示中会少两个正整数（负项与0），不满足题设，因而数列Q的项是一项负五项正（且这五个正项两两互异）.

还可得：数列Q的连续项和表示中除负项这个和外组成的集合是{1，2，3，…，20}.因为其中最大的是20，所以20的连续项和表示是最多的连续若干个正项之和（即对数列Q的连续正项全部求和）.

评注 这道压轴题的解法就是先找到切入点“数列Q：a1，a2，a3，a4，a5，a6的项满足一负五正且负项在首或尾（可不妨设負项在首）”，进而可得数列Q的所有正项之和是20，其连续项和表示中除负项这个和外组成的集合是{1，2，3，…，20}.接下来，消化这一条件就可证得欲证的结论成立.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2020年修订版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：甘志国（1971-），男，湖北省竹溪人，硕士，中学特级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（项目编号：FT2017GD003）.