一分为二，图像交点

李昭平

一、题目【2022年高考全国乙卷理科第21题】

已知函数f（x）=ln（1+x）+axe-x，a∈R.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程;

（2）若f（x）在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围.

二、分析

本题第一问求当a=1时，具体曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程，属于基本问题，利用y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）即可. 第二问则是含有参数a的对数函数、指数函数和正比例函数的复合型函数问题. 显然，若直接对f（x）求导，利用导数研究其图像与x轴在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个交点，将会涉及到求f′（x）=0的实根和对参数a的讨论，比较复杂.

这让我们联想到：能否直接将方程ln（1+x）+axe-x=0“一分为二”成两个函数，即exln（1+x）=-ax，利用函数y=exln（1+x）（定曲线）和y=-ax（动直线）的图像的交点个数来处理呢？基于这种想法，得到下述解答.

三、解答

（1）函数f（x）的定义域是（-1，+∞）. 当a=1时，f（x）=ln（1+x）+xe-x，所以切点为（0，0）.

因为f′（x）=+（1-x）e-x，所以f′（0）=2.

故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x.

（2）函数f（x）=ln（1+x）+axe-x的定义域是（-1，+∞）. 由ln（1+x）+axe-x=0得到exln（1+x）=-ax.

令g（x）=exln（1+x），h（x）=-ax.

函数f（x）在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，即函数g（x）和函数h（x）的图像在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个交点.

g′（x）=ex[ln（1+x）+]，再令？渍（x）=ln（1+x）+，x>-1.

则由？渍′（x）=-=0解得x=0. 在（-1，0）内？渍′（x）<0，？渍（x）单减;

在（0，+∞）内？渍′（x）>0，？渍（x）单增.

因此？渍（x）≥？渍（0）=1，g′（x）>0，g（x）单增，

且g（0）=0，g（x）的图像如图1所示.

g′（0）=1，g（x）的图像在（0，0）处的切线是y=x.

要保证曲线y=g（x）与直线y=h（x）在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个交点，只要满足-a>1，a<-1. 故a的取值范围是（-∞，1）.

注意：将方程ln（1+x）+axe-x=0“一分为二”成exln（1+x）=-ax处理，比“一分为二”成=-或a=-处理简单得多.

四、结论

由上述解答，得到以下结论：设f（x）=g（x）-h（x），则f（x）的零点？圳f（x）=0的实数根？圳g（x）与h（x）图像交点的横坐标. 其中y=g（x）和y=h（x）是定曲线（含直线）或动曲线（含直线）.

对于关于含有参数的函数f（x），要研究其单调性、极值、最值、图像、零点等等，往往涉及f（x），其导函数f ′（x），或f ′（x）的导函数f ′′（x）的零点问题，或不等式问题，利用“一分为二，图像交点”的思想方法将复合型函数方程f（x）=0、f ′（x）=0、f ′′（x）=0或不等式f（x）>0、f（x）<0，分成两条曲线y=g（x）和y=h（x），运用函数思想、数形结合思想、导数思想、动静变化思想和极限思想来直觉和逻辑处理交点个数问题，常常能化繁为简、化难为易. 下面结合典例介绍应用.

五、应用

1. 处理函数的零点问题

例1.（2022年福建漳州模考）已知函数f（x）=lnx+ax+1有两个零点，则实数a的取值范围是             .

解析：函数f（x）=lnx+ax+1的定义域是（0，+∞）.

令g（x）=lnx. h（x）=-ax-1. 函数f（x）=lnx+ax+1有两个零点，即函数g（x）和函数h（x）的图像在右半平面必须有且仅有两个交点.

当a≥0时，两函数的图像只有一个交点，不合题意.

当a<0时，由于直线h（x）=-ax-1经过定点（0，-1），而曲线g（x）在点（1，0）处的切线方程是y=x-1，也经过点（0，-1）. 因此，直线y=x-1是直线h（x）=-ax-1的极限位置.

于是当-a<1，即-1

点评：本题直接将方程lnx+ax+1=0“一分为二”成lnx=-ax-1，利用函数g（x）=lnx和h（x）=-ax-1的图像的交点个数来处理.

例2.（2021年高考全国甲卷）已知a>0且a≠0，函数f（x）=（x>0）.

（1）当a=2时，求f（x）的单调区间;

（2）若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a取值范围.

解析：（1）易得，函数f（x）在（0，]上单调递增，在[，+∞）上单调递减. 过程略去.

（2）f（x）==1？圳ax=xa？圳xlna=alnx？圳=，两边是同构式.

令函数g（x）=，h（x）=. 则g（x）max=g（e）=. 又g（1）=0，当x趋近于+∞时，g（x）趋近于0，所以曲線y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g（x）与直线h（x）=有两个交点的充分必要条件是0<<，即0

故a的取值范圍是（1，e）∪（e，+∞）.

点评：本题曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，实质上就是函数ax-xa恰有两个零点的问题，进一步“一分为二”转化成我们熟悉的=形式，利用函数g（x）=的图像和直线h（x）=的交点个数来处理.

2. 处理函数f′（x）的零点问题

例3. （2021年山东济南模考）设a∈R，函数f（x）=ex+aln（x-1），其中e为自然对数的底数. 试判断f（x）极值点的个数.

解析：函数f（x）的定义域是（1，+∞）. 由f′（x）=ex+=0得，ex=.

令g（x）=ex，h（x）=.

当a>0时，两函数的图像没有交点，即函数f′（x）没有零点，此时f（x）没有极值点.

当a=0时，f（x）=ex，显然没有极值点.

当a<0时，如图2，两函数的图像只有一个交点，

设其横坐标是x0. 显然，在x

在x>x0附近，g（x）>h（x），f′（x）>0.

此时f（x）只有唯一极小值点x0.

点评：本题表面上是判断f（x）极值点的个数，其实质是考查其导函数f′（x）的零点. 将f′（x）=0“一分为二”成ex=，则问题立即转化为定曲线g（x）=ex与动曲线h（x）=的交点个数问题. 结合极值点的含义，观察图形，确定在极值点两旁附近f′（x）的符号，从而确定极大值点或极小值点.

例4. （2022年安徽安庆高二段考）已知函数f（x）=ex+acosx，其中x>0，a∈R.

（1）当a=-1时，讨论f（x）的单调性;

（2）若函数f（x）的导函数f′（x）在（0，？仔）内有且仅有一个零点，求a的值.

解析：（1）易得函数f（x）在（0，+∞）内单调递增，过程略去.

（2）由f′（x）=ex-asinx=0得，asinx=ex. 因为x∈（0，？仔），所以sinx>0.

因此，=a. 令g（x）=，0

由g′（x）=0得x=. 当00，所以g（x）min=g（）=e.

f′（x）在（0，？仔）内有且仅有一个零点，即曲线y=g（x）与直线y=h（x）在（0，？仔）内有唯一交点，故a=e.

点评：本题将 f′（x）=0“一分为二”成=a，利用定曲线g（x）=和动直线h（x）=a的交点个数来处理.

3. 处理函数f′′（x）的零点问题

例5.（2019年高考全国Ⅰ卷理科第20题改编）设函数a>0，函数f（x）=sinx-aln（1+x）， f′（x）是f（x）的导函数. 若 f′（x）在区间（-1，）内存在唯一极大值点，求a的取值范围.

解析：因为 f′（x）=cosx-，x∈（-1，），所以f′′（x）=-sinx+.

由f′′（x）=0得，sinx=. 画出函数g（x）=和h（x）=sinx的图像，如图3.

要使f′（x）在区间（-1，）内存在唯一极大值点，

必须两函数的图像在（-1，）内有唯一交点， 设其横坐标是x0.

当曲线g（x）=经过点（，1）时是极限位置，此时曲线g（x）=在y轴上的截距是（1+）2，因此0

显然，在x0.

在x>x0附近，sinx>，f′′（x）<0. 因此x0是函数f′（x）=cosx-在区间（-1，）内的唯一极大值点. 故a的取值范围是（0，（-1，）2）.

点评：本题是在原高考题的基础上，添加待定参数a，将要证明的结论变成条件，反过来确定a的取值范围. 这样逆向设置具有较高的思维层次， 给人以耳目一新之感. 由于三角函数的导数仍然是三角函数，因此利用导数研究其极值点有一定的难度. 要考察f′（x）的极大值点，必须研究f′（x）的导函数f′′（x）的零点，即f′′（x）=-sinx+的零点.“一分为二”成两个函数g（x）=和h（x）=sinx，根据它们图像的交点个数来处理， 解题过程果然简单快捷.

4. 处理不等式的整数解问题

例6.（2015年高考全国Ⅰ卷理科第12题改编）设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1. 若恰有两个整数x1，x2，使得f（x1）<0，f（x2）<0，则a的取值范围是         .

解析：f（x）<0就是ex（2x-1）

恰有两个整数x1，x2，使得f（x1）<0，f（x2）<0，就是不等式g（x）

利用导数知识确定g（x）=ex（2x-1）的图像：g′（x）=ex（2x+1）=0，x=-.

在（-∞，-）内g（x）单减，在（-，+∞）内g（x）单增，x=-是极小值点，且g（-）=-2e，g（）=0，g（x）<0（x<）如图4所示.

注意到直线h（x）=a（x-1）经过定点（1，0），显然a≤0不合题意.

当0

所以a<1，a<，a≥，解得≤a<. 故a的取值范围是[，）.

点评： 本题将不等式f（x）<0，“一分为二”成ex（2x-1）

5. 处理不等式恒成立问题

例7.（2021年湖北武汉联考）若不等式lnx+-k≥0（k∈Z）对任意x>2恒成立，则整数k的最大值是             .

解析：lnx+-k≥0就是xlnx≥kx-2（k+1），x>2.

令g（x）=xlnx，h（x）=kx-2（k+1），显然直线h（x）过定点（2，-2）.

利用导数知识可以画出曲线y=g（x）的草图（如图5）. 由图像可知，直线h（x）=kx-2（k+1）的极限位置是与曲线y=g（x）相切，设切点是M（x0，y0），

则切线方程是y-x0lnx0=（1+lnx0）（x-x0）.

将点（2，-2）代入，得-2-x0lnx0=（1+lnx0）（2-x0），

即x0-2lnx0-4=0. 则k≤1+lnx0=.

令？渍（x）=x-2lnx-4，x>2. 则？渍′（x）=1->0，

？渍（x）在（2，+∞）内单增.

又因为？渍（8）=4-2ln8=2（lne2-ln8）<0，？渍（9）=5-4ln3>0，在x0-2lnx0-4=0中x。∈（8，9）. 于是k≤∈（3，）. 故整数k的最大值是3.

点评： 本题考查恒成立不等式中整数参数的最值，是近期出现的一种新题型，在继承传统的前提下，增加了思维深度和运算难度. 利用“一分为二” 思想，将原不等式化成xlnx≥kx-2（k+1），則立即转化为定曲线g（x）=xlnx与动直线h（x）=kx-2（k+1）的交点个数与位置关系问题. 整个过程体现了“数→形→数”之间的对应，直观想象、逻辑推理和数学运算三种核心素养贯穿其中.

例8.（2022年全国新高考Ⅱ卷）已知函数f（x）=xeax-ex，a∈R.

（1）当a=1时，讨论f（x）在的单调性;

（2）当x>0，f（x）<-1，求a的取值范围;

（3）设n∈N？鄢，证明：++…+>ln（n+1）.

解析：（1）f（x）的单增区间是（0，+∞）单减区间是（-∞，0）. 过程略去.

（2）f（x）<-1就是>eax（x>0）. 令g（x）=，h（x）=eax，x>0.

则g′（x）=，再令？渍（x）=（x-1）ex+1，？渍′（x）=xex>0，？渍（x）单增，

因此？渍（x）>？渍（0）=0. 于是g（x）>0，g（x）在（0，+∞）内单增，且g（0）=ex=1. 曲线y=g（x）和曲线y=h（x）的起点都是（0，1），但不包括（0，1）.

显然，当a≤0时，不等式>eax（x>0）恒成立. 当a>0时，曲线y=g（x）在（0，1）处的切线斜率g′（x）===.

因为h′（x）=aeax，所以曲线y=h（x）在（0，1）处的切线斜率为h′（0）=a.

由图像可知，当且仅当0eax（x>0）恒成立

综上，a的取值范围是（-∞，].

（3）取a=，则xe-ex+1<0（x>0）. 令e=t，t>1. 则xe-ex+1<0（x>0）变为2lnt1）. 于是对任意的n∈N？鄢，有2ln<-，即ln（n+1）-lnn<.

故++…+>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1）成立.

以上我们从一道最新高考题出发，通过分析、解答，归纳出“一分为二 图像交点”的解题思想方法. 再通过在不同方面的五种应用，强化对这种思想方法的认识与理解. 在整个过程中，融观察分析、直觉逻辑、提炼概括于一体，锤炼了数学思维，拓宽了解题空间. 其难点是“一分为二”成什么形式比较恰当比较简捷. 上述解题过程给我们的启示是： 一般“一分为二”成定曲线与动曲线（含直线）比较好，这需要我们去认真训练、认真研究和认真感悟.

责任编辑 徐国坚