谈高中数学自我发现的课堂建构

蒋秋霞

[摘  要] 为了顺应时代发展，数学教学理应做出一些改变，打破传统的“以师为主”的教学模式，建立起以发展学生为核心的自我发现的数学课堂. 在教学中，教师要引导学生在观察、比较、总结、反思中学会发现和建构，进而培养出具有创造性的新型人才.

[关键词] 发展学生;自我发现;建构

在当代数学课堂上，教师要意识到，学生不仅是知识的传承者，更是新知的缔造者. 因此，教学中除了要引导学生掌握知识和技能外，还应引导学生学会发现和创造，只有这样才能培养出时代所需的，具有创造精神的新型人才[1].

那么，要让学生学会发现、学会创造，教师就需要转换自己的身份. 教师不再是知识的“灌输者”，而应是与学生共同学习、共同进步的“合作者”. 同时，教师要为学生营造一个宽松、平等的学习环境，引导学生自由表达、科学探究，进而成为创造性思维的促进者. 另外，在发现和探究的过程中势必会遇到挫折，那么教师要担当启发和引导的重任，成为学习的“启发者”和“领路人”. 可见，既要保证课堂有序进行，又要确保学生有所发现、有所收获，教师就要充分发挥其多重身份的价值，进而打造一个高效的数学课堂.

真正的学习并不是机械地模仿，它应该加入学生自己的想法，应该是一个学生自我发现和自我建构的过程. 因此，教学中教师应该给学生预留一些时间，创造一些机会，让学生有一个自我发展的空间，进而激发数学学习的兴趣，引导学生走上“真学”之路.

[?]在观察和比较中发现

当我们在解决一个问题时，首先要做的就是理清问题的来龙去脉，这样才能确保解决方案的科学性和合理性，才能确保问题能顺利解决. 解数学题时亦是如此. 不能看到题目就急于求解，应先弄清题意，比如先搞清楚已知是什么、未知是什么、条件是什么、已知与未知中还有哪些隐藏条件. 只有弄清了题意才能顺利地将已知与未知建立联系，进而应用已有经验找到最佳的解决方案. 然要经历这一系列过程，离不开学生细心的观察，所以教学过程中教师要引导学生多观察、多分析、多比较. 通过观察挖掘隐含于题设中的信息，这是问题顺利求解的前提;通过分析将已知与未知进行串联，进而寻找解决方案，这是顺利解题的必经之路;通过比较联系已有经验，进而优化解决方案，这是提高解题效率的有效手段[2]. 总之，在教学中要多让学生经历观察、分析、比较等数学活动过程，这样便于学生在参与的过程中发现问题，这对学习能力的提升是至关重要的.

例如，在解决三角函数的求值问题中，无论是已知角求值还是已知值求角，看到题目时，切勿急于动笔，而是先仔细观察，尤其是处理角与角的问题时更要认真观察，找到已知角与未知角的联系，如α=（α+β）-β=+=（α-β）+β，又如+α与-α，+α与+2α的关系. 这样通过观察和转化将看似毫无关联的两个角建立起联系，便于顺利找到解题的突破口.

例如，复习三角函数求值时，笔者带领学生共同探究了这样一个问题：

例1 已知<α<β<，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，求sin2α.

师：观察题目，中给出了哪些已知条件？

生1：给出了角α，β的范围，cos（α-β）和sin（α+β）的值.

师：求什么呢？

生2：求sin2α.

师：能否将2α与（α-β），（α+β）建立联系呢？

生3：2α=（α-β）+（α-β），即sin2α=sin[（α+β）+（α-β）].

师：很好，展开式子后即转化为求cos（α-β），sin（α+β），cos（α+β），sin（α-β）的值. 已知cos（α-β）和sin（α+β），则cos（α+β）和sin（α-β）的值由三角函数公式容易求出，这样各值得出后，问题自然就迎刃而解了. 当然，在求解过程中要注意角α，β的范围，在解数学题时一定要做到科学严谨.

为了巩固刚刚的战果，笔者决定“趁热打铁”，给出了一些练习题，引导学生先自我检测，然后再合作探究，进而在合作交流中发现自身的不足，通过优势互补实现共同进步，促进全班整体解题效率提升.

题1：已知α，β∈（0，π），tan=，sin（α+β）=，求cosβ;

题2：已知5sinβ=sin（2α+β），求tan（α+β）cotα;

题3：已知sin2α=sinβcosβ，求证：cos2α=2sin

-β

cos

+β

;

题4：若tanα与tan

-α

是方程x2+px+q=0的两个根，则p与q之间的关系是什么？

在设计题目时担心题目过多过新，学生难以顺利完成，然根据学生的反馈发现，大多数学生都能独立完成，部分学生在求解个别题目时会出现一些小意外，然通过有效交流也能顺利地完成. 问题顺利解答后，每个学生的脸上都洋溢着开心的笑容. 可见，让学生自主发现、自主建构能取得较好的学习效果. 学生的潜能是无限的，在教学过程中，教师要将其在教学中的地位由“主宰”变为“主导”，充分发挥学生的主观能动性，引导学生多角度进行观察和分析，从而突破固定思维的束缚，释放学生无限的潜能，高效地完成课堂教学任务.

[?]在巩固练习中发现

在数学学习中，练习是必不可少的，那么如何练才更高效呢？大多数师生在练习中选择了“题海战术”，然这种方法给学生带来了沉重的课业壓力，而且又容易造成思维定式，所以这并不是一种高效的提升方案. 笔者认为，在习题练习中要多观察、多总结，要在练习中发现一些有用的东西，形成自己的解题风格，这样学生自然能具备举一反三的解题能力.

以三角函数的教学为例，本章内容杂、公式多，若公式仅靠死记硬背很容易搞混淆. 因此，在复习时有必要引导学生自我推理、自我发现，进而形成自我的解题能力，这样即使出现遗忘，学生也能根据规律推理出结论、解决一切问题. 为了引导学生学会发现，笔者在复习本章内容时，引导学生通过对公式和“1”的处理来完成自我建构.

1. 对公式的处理

在教学中，笔者带领学生复习了sin（α+β）和cos（α+β）这两个基本公式后就没有再推导后面的公式，而是让学生根据已有经验，将两个公式进行变形，这样学生在不知不觉中就推导出了倍角公式、半角公式、诱导公式等多个公式，虽然推导过程相对于直接讲授多消耗了一些时间，然经历独立推导的过程，大大地提升了学生解决此类问题的信心.

2. 对“1”的处理

处理与三角函数有关的问题时，对“1”的灵活处理往往是解题的一个关键，因此教学中要引导学生关注“1”及其相关的变形.

师：在三角函数中有一个特殊值，这个值是什么？

学生：“1”.

师：很好，那你能总结出关于特殊值“1”的公式吗？

问题给出后，学生通过积极思考，将其分为了三种类型：第一类为同角三角函数公式，如tanα·cotα=1，sin2α+cos2α=1等;第二类为特殊角三角函数公式，如cos0=1，sin=1等;第三类是倍角公式或半角公式，如cos2α=1-2sin2α，tan=等. 通过回忆和总结，学生意识到了“1”的重要价值，进而为后期的变形和推导打下了坚实的基础.

例2 已知tanα=2，求sin2α-2cos2α+sinαcosα的值.

显然本题要对sin2α-2cos2α+sinαcosα进行变形，使之向tanα转化. 即将sin2α-2cos2α+sinαcosα除以“1”，将“1”转化为sin2α+cos2α，于是sin2α-2cos2α+sinαcosα=，這时分子分母同时除以cos2α，问题就可以迎刃而解了.

在例2的影响下，可以引导学生推导出用tanα表示sin2α和cos2α的情况. 这样通过不断地联想、变形、推导，学生不但掌握了较多公式，而且明晰了公式的推导过程，方便学生在解题时可以灵活应用，融会贯通. 同时，学生在此过程中思维能力和解决问题的能力也得到了较大的提升，有助于学生自主学习能力的发展.

[?]在总结反思中发现

在开展自我发现、自我创造的开放性教学时，一定要注意引导学生及时地总结和反思. 在学习中，有些发现和创造可能存在一定的偶然性，那么如何在偶然中发现必然的规律，将是思维的又一次飞跃. 因此，在教学过程中，要给学生时间进行总结和反思，这样往往会达到事半功倍的效果.

例3 a，b，c>0，a+b+c=1，求证：++<5.

经过学生对根号问题的反思，学生发现除了直接开平方外，还可以应用均值不等式进行转化，如≤=2b+1. 经过这样的转化，问题就迎刃而解了.

解决问题的方法往往不是唯一的，每个人的思维方式不同，解题时思考的方向也会有所不同. 在教学中，应鼓励学生进行不同的尝试，这样不仅可以丰富学生的解题经验，而且可以开阔学生的视野，这对学生创新意识的培养至关重要.

总之，教学中教师要为学生创造机会去观察、去发现，教会他们如何去分析、去总结、去概况，充分发挥学生的主体能动性，进而将学生培养成会合作、敢创新的新时代人才.