指向深度学习的小学数学学具的开发与使用

费晓燕

深度学习是一种相对于浅层学习而言的学习方式，是一种主动的、探究式的、理解性的学习，要求学习者能主动建构知识，自觉将知识转化为技能，并迁移至新情境中，从而提升自身的认知能力、思维能力和创造能力。数学是一门相对抽象的学科，一些枯燥的、概括性高的数学知识理解起来不仅困难，而且空洞乏味，而学具恰好能弥补这一不足，帮助学生直观地理解知识本质，其独到优势是能让学生亲自动手实践，通过操作活动，化抽象为形象、充分调动学习兴趣，激发数学思维，促进深度学习的形成。笔者在实践过程中也发现数学课堂中有效地进行学具的开发与使用能发展学生的空间想象能力、提高数学表达能力、加强理解记忆能力，从而引发深度学习。

一、发展学生的空间想象能力

七巧板是中国古代一种著名的益智游戏，用它可以拼出很多好玩有趣的图案，应该说七巧板在学生的童年世界里并不陌生，手邊的数学学具袋里也有现成的材料，因此学生已经积累了一定的关于“七巧板”的活动经验。但此时的经验更多关注在了它只是一种“玩具”的层面上，如何在数学课堂中凸显出七巧板的数学之“巧”呢？

问：同学们，观察一下（图1）这是一个什么图形？

追问：它是怎样组成的？可以分为哪几种图形？各自的形状和大小有什么特点？

答：可以分为两个大的一样的三角形、两个小的一样的三角形、一个不大不小的三角形、两个四边形（正方形和平行四边形）。

引导：请你拿出三角形，验证是否真的有两块一模一样的大的，两块一模一样的小的。

学生拿出学具开始验证，验证结果与刚才的“基于观感的一样大”的结论吻合。

示范：老师用两块一模一样的三角形拼成了一个大的三角形（图2），你也能选两块拼成一个我们已经学过的图形吗？

学生操作后交流：我用两个一样的三角形拼成了一个正方形;我用两个一样的三角形拼成了一个平行四边形;我用一个三角形和一个正方形拼成了一个四边形·····

设疑：选两块能拼成已经学过的图形，那选三块呢，你觉得会怎样呢？

学生尝试后交流：我能拼成正方形、长方形、大三角形、平行四边形、五边形······

追问：与刚才只选用两块拼的情况相比，你有什么想说的？

答：我发现选的块数越多，拼出来的图形种类也越多，图案也更加丰富多样了。

引导：如果让你自由选择，你打算选几块，能拼成什么图案呢？试着拼拼看

学生开始自由尝试，很多有趣的图案应运而生：金鱼图、小猫图、帆船图、蝴蝶图······过程中老师不断记录下学生的精彩瞬间，并投屏展示在多媒体上，学生有了这些智慧的启发后催生出了更多的创作灵感，整个课堂氛围是融洽的、和谐的、精彩的。

再来看学生的评价：他拼出的这个蝴蝶图是对称的，感觉很漂亮，我在他这幅图的基础上挪动一下两块的位置还能变成一幅宝石图;他用五块板拼成了一只小船，我用的块数比他少，三块也能拼成一搜帆船;我觉得他的拼法很巧妙，七块板都用上了，但拼的图是鱼儿的一家三口，我觉得很有创意，我拼成了两棵圣诞树，也觉得很巧妙······学生评价凸显了低年级的思维特性，有认同、有赞赏、有比较、有模仿。

小结拓展：这正是七巧板的“巧”之处，用它可以拼出千变万化的图案，古代就有它的“巧用之处”，七巧燕几、七巧桌、七巧攒盘、七巧碗······

数学课堂是有一定逻辑性和层次性的，上述环节先是引导学生观察整个大正方形，初步感知通过“拼”是能组合成一定图形的。同时明确七巧板的组成结构，知道各种图形之间的大小关系;然后是老师的操作示范，学生通过进一步观察再次积累关于“拼”的感性经验，明确“拼”能呈现出熟悉的图形;接着变换成3块或以上的板，依旧拼成学过的图形，此时学生通过操作也发现随着板的数量的增加，拼的方法也越来越多了。但由于题干“拼成已经学过的图形”的限制，他们不得不思考在块数越来越多的情况下该如何有效地“拼”，用什么形状？用几块？哪两条边合在一起？因而“拼”的过程就是学生理性思考的过程;最后一次操作是学生的自由发挥，更多的是结合生活经验的想象，不再受教材的局限，思维空间打开了，所以此时呈现出来的图案就丰富多彩了。由此可见，有效使用现有学具，能很大程度上拓宽学生的思维，发展学生的空间想象能力。

二、提高学生的数学表达能力

数的组成是学生认识和理解位值制原理的重要知识点，在数学课堂教学中该如何加强认数的直观性，突出对数的本质意义的理解呢？

出示图片后问：图中的这两个数你会念吗，在这里分别表示什么意思呢？

答：一台电扇的价格是300元;一张桌子的高度是111厘米。

引导：小朋友们会读这两个数了，也知道在图中表示的含义了，那它们到底是多大呢？你能选择合适的学具表示出300和111吗？

学生自行选用学具进行操作、集体交流。（如图3）

生1：我用3大捆小棒来表示，因为每个大捆是100根，所以3大捆就是300。

生2：我用3板小方块来表示，因为每板是100个，所以3板就是300。

生3：我是用计数器来表示的，在计数器的百位上拨3颗珠子，这样也能表示出300。

师：小朋友们真了不起，用了三种不一样的方法来表示300，思考一下这三种方法之间有什么共同之处吗？

小结：三种方法都表示出了3个一百，所以“3个一百就是三百”。

师：那111又该如何表示呢？

生4：我用1大捆、1小捆，和1根小棒来表示，因为1大捆里有100根，1小捆里有10根，再加1根就是111。

生5：我用1板、1条和1个小方块来表示，1板里有100个，1条里有10个，再和1个合起来也是111。

生6：我也能用计数器来表示，在百位上、十位上和个位上分别拨1颗珠子，这样就表示出了111。

小结：这里的三种方法也都表示出了1个一百，1个十和1个一，所以“1个百、1个十和1个一合起来是111”。

追问：仔细观察一下这两个计数器，表示300和111分别用了几颗珠子？

答：它们都用了3颗珠子。

追问：怎么用的珠子的数量相同，但是却表示出了不一样的数呢？

答：因为珠子在不同的数位上，表示的意思也是不一样的。

总结：小棒的1大捆和方块的1板就相当于计数器上的“百位”;小棒的1小捆和方块的1条就相当于计数器上的“十位”;小棒的1根和方块的1个就相当于计数器上的“个位”;在百位上的数表示“几个百”，十位上的数表示“几個十”，个位上的数就表示“几个一”，其实三种学具表示数的含义的原理是一样的。

在以上的教学片段中，教师精心挑选了合适的学具，有小棒图、方块图和计数器，也根据每一种学具的特点突出了其位值制的设计，虽然三种学具的呈现方式不同，但其表示的数的认识的本质却是相同的：几百是由几个百组成的;几百几十几是由几个百、几个十和几个一组成的。将已有学具进行有效地搭配与使用，能加强学生直观操作的形象性，助推学生理解数的组成的本质，也水到渠成地在动手操作中提升了学生的数学表达能力。

三、加强学生的理解记忆能力

九九乘法表是二年级数学教材中要求学生背诵和掌握的内容，学生对于四则运算的学习从加减法到乘除法，是知识结构上的一次重要提升，因此必须要求他们扎扎实实地理解和掌握乘法的含义，熟练记忆乘法口诀并能灵活地进行口诀求商。

问：同学们，你能熟练背诵乘法口诀表吗？

大声齐答：能，一一得一、一二得二······九九八十一。

问：8×7等于多少？

生1（小声嘀咕）：一一得一······七八五十六，那八七也是56。

问：63÷7等于多少？

生2（也在底下轻声背）：一七得七、二七十四······终于背到了七九六十三。

虽然几乎所有的学生都能按顺序背诵乘法口诀表，但是当单独选出一道算式时，一小部分学生会采用从头到尾背一遍的方法找到正确答案，耗时又耗力，对于一些类似“8×7”而不是熟悉的“7×8”时反应会有迟疑，特别是在计算除法算式时，这种弊端会越来越明显。结合学生的实际情况，我们思考：是否可以让学生制作感兴趣的小学具，摆脱条条框框式的口诀，让口诀真正“动”起来呢，让他们在不知不觉中经历背诵，巩固记忆呢？

在学生的印象里，如果要让口诀“动”起来，那就应该是个圆形的物体，而且为了反映乘法算式中的两个乘数，这个物体就应该由两个圆形组成，基于以上的思考，有学生设计了如图4的“乘法大转盘”：这是由下层的大转盘、上层的小转盘和中心轴组成的，两个转盘均被平均分成了9等份。大转盘由中心轴开始，划分成十圈：靠近中心轴的第一圈呈现“1乘几”的乘积，第二圈是“2乘几”的乘积，由内向外以此类推，第九圈的最后一个数反映的即是“九九八十一”这句口诀;最外面的第十圈是乘法算式的其中一个乘数，依次是1-9;小转盘上的九等份也依次呈现1-9，当小转盘旋转时，恰好两个指针指向大转盘的等分线上时，就得到了两指针内部呈现的乘法算式和乘积了。

书上的习题也能提供灵感，参照苏教版二上数学教材中第84页的想想做做1，有学生设计了“乘法对称表”，课堂中笔者借助课件给学生描述每一个空的填写由来，讲解得数的规律时，总感觉有很多学生听不明白，更谈不上理解，而借助该生制作的学具，固定横框、再固定竖框后就会显示交叉重合的部分，而这个交叉重合的部分正是横框最左端的数乘竖框最上端的数的乘积，每移动一次横框就会变化一个最左端的数，每移动一次竖框就会变化一个最上端的数，因而会得到不同的乘积，结合横框、竖框的移动操作，学生会很明显地看到重合处的答案到底是“几乘几”得来的，便于学生理解。

以上的两个学具小制作，是基于学生的生活经验和学习经验而来的，“乘法大转盘”能真正转动起来，在转动过程中所显示的每一个乘法算式的得数都是正确的，这对于学生来说可不是一件简单的事，是要基于对乘法原理真正理解的基础上才能实现的，增添了背诵的乐趣。发现了乘积的规律;“乘法对称表”是对教材习题的“二次创造”，这也是建立在理解了习题内涵的基础上开发设计的，弥补了习题讲解的困惑，真正明白了答案是从何而来的。传统口诀表的背诵会让学生觉得枯燥，生硬的习题训练会让学生觉得无趣。运用数学小制作能让学生在“做”中学，在“玩”中学，在“做”和“玩”的过程中潜移默化地加强了学生的理解记忆能力。

总之，有效使用和开发数学学具，能让隐藏在枯燥的习题下的数学面貌变得生动有趣，能引导学生真正学有用的数学，学有价值的数学。当学生的空间想象打开了，数学表达提升了，理解记忆加强了，深度学习也就顺理成章地实现了。