基本不等式中“1”的几种妙用

摘要：基本不等式问题一直是高考命题重点，考查形式多样，对于学生的逻辑推理，形式运算水平要求比较高.在实际解题中，需要重点关注“一正二定三相等”，因此一直是学生学习的一个障碍.但是一个小小的自然数“1”却能在基本不等式的解题中发挥意想不到的重要作用，本文将以例题浅要地分析“1”在解决此类问题中的妙用，帮助学生克服学习障碍.

关键词：基本不等式；数学解题；巧用“1”

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0110-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：李佳宾（1999-），男，辽宁省铁岭人，硕士，从事数学教学研究.

1 巧乘“1”，变换形式

例1已知a>0，b>0，且有a+b=1，求3a+5b的最小值.

分析通过观察题目中所给信息和所求问题，可初步判断此题考查基本不等式，若直接利用基本不等式的公式得3a+5b≥215ab，ab≤12，此时求得最值为415.这其实是学生在求解基本不等式问题中经常会出现的问题，整个过程看似十分流畅，但是忽视了求解此题时利用了两次基本不等式，两次等号取等的条件是不同的，因此这样求解是不正确的.此时就可以充分利用代数式乘1，代数式的值不变，巧乘“1”来改变代数式的形式将不等式右边的a和b消去，使得不等式右边成为一个常数项，以满足基本不等式求解的条件.

解析3a+5b=3a+5ba+b

=3+3ba+5ab+5

≥8+23ba·5ab

=8+215，

当且仅当3ba=5ab时等号成立，即3a+5b的最小值为8+215.

评注此题为巧乘“1”题目的最基础题目，此类题目的特点为：（1）首先满足基本不等式求解的条件；（2）两个等式中变量均以相同的表现形式出现；（3）已知数值的代数式和所求代数式中，变量分别位于分子分母的位置上.需要注意的是，由于我们发现直接利用基本不等式求解出现变量无法消去的情况，巧乘“1”的目的是构造出mba+nab（a，b为大于0的两个变量），以满足积定和最小进而求解.

变式1已知a>0，b>0，且有2a+1b=3，求2a+3b的值.

分析此题为例1的变式，和例1相比，首先是两种代数式的位置发生变化，这是无关紧要的，其次给出的是2a+1b=3，并不是等于1，所以需要将这个代数式进行变形为132a+1b=1，构造“1”，然后按照例1的步骤进行求解即可.变式2已知a，b为正实数，并且12a+b+1a+2b=1，则a+b的最小值为.

分析观察此题发现基本满足巧乘“1”的所有要求，只是12a+b+1a+2b=1这个代数式中出现了两个变量的和，变量的呈现方式不相同，如果我们直接相乘的话势必不会构造出mba+nab的形式

，此时，需要我们利用换元法改变变量，构造与例1相同的形式.

解析令M=2a+b，N=a+2b，

则由题意有1M+1N=1，（M，N均大于0）.

所以a+b=13M+13N

=13M+N1M+1N

=131+NM+MN+1

≥132+2NM·MN

=43，

当且仅当M=N时，即2a+b=a+2b，即a=b=23時，a+b有最小值为43.

变式3已知a，b为正实数，并且1a+2+1b+1=13，则a+b的最小值为.

分析此题和变式2类似，由于分母不是单独的变量存在，如果对1a+2+1b+1=13这个等式左右乘以3构造“1”再相乘，仍然不会出现mba+nab的形式，这里我们同样可以采用变式2中的换元法进行求解，但是对于此题，我们也可以选择另外一种求法，对所求代数式进行变换，使其变量的表现形式与等式中变量的表现形式保持一致.

解析因为1a+2+1b+1=13，

所以3a+2+3b+1=1.

所以a+b =a+2+b+1-3

=a+2+b+1-33a+2+3b+1

=3+3b+1a+2+3a+2b+1+3-3≥9，

当且仅当3b+1a+2=3a+2b+1时，a+b取得最小值为9.

2 巧凑“1”，迎刃而解

例2若0

分析第一眼看到此题，可能大部分学生的求解方式会和例1犯同样错误，因为题目中并没有给出其他的已知信息，学生难以找到解题的突破口，但是经过我们观察会发现2a2+11-a2中两个分母之和为1，即此题的隐含条件为a2+1-a2=1，可以通过巧凑“1”之和，便可以轻松发现此题求解方法.

解析2a2+11-a2=2a2+11-a2a2+1-a2

=2+2（1-a2）a2+a21-a2+1≥3+22，

当且仅当2（1-a2）a2=a21-a2时，等号成立，2a2+11-a2取得最小值为3+22.

例3已知a，b为正实数，并且2a+b-4ab=0，则a+b的最小值为？

分析此题在课堂测验中，学生的真实得分率很低，相比于变式1来讲，此题所给的条件十分隐匿，看似此题和“1”毫无关系，但是经过变形可得14a+12b=1，至此，就和我们前面讲的例1一样了.高中更加考查学生的运算能力，更加重视学生的数学思维，因此更多的情况下基本不等式的“1”往往藏身于题干中，这就需要学生解题的灵活和变通了.

3 巧变“1”，化繁为简

例4已知a>0，b>0，且a+b=1，求1a+ab的最小值.

分析本题看似和例1一样，仔细观察会发现，后面的代数式中出现的是ab而不是1b，此时我们不能利用巧乘“1”来求解，由于分子分母同时出现变量，无法构造出仅存在mba+nab这样的形式，此时可以利用巧变“1”进行求解题目

解法1因为a+b=1，

所以a=1-b.

所以1a+ab

=1a+1-bb

=1a+1b-1a+b≥3，

即當a=b=12时，1a+ab取得最小值为3.

解法2因为a+b=1，

所以1a+ab=a+ba+ab

=1+ba+ab≥3，

即当a=b=12时，1a+ab取得最小值为3.

例5（2020年江苏卷12题）已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），则x2+y2的最小值为.

分析此题虽出现数字1的等式，但是发现变量的形式并不符合巧乘“1”的形式，仔细观察题目发现，此题多次出现关于变量y的表达式，于是考虑利用等式将变量x用y表示出来.

解析由5x2y2+y4=1可得x2=1-y45y2.

因为x2≥0，所以0

所以x2+y2=1-y45y2+y2

=15y2+4y25≥45，

当且仅当15y2=4y25，即y2=12时等式成立，故x2+y2的最小值为45.

总结巧用“1”在解决基本不等式问题中有着重要的作用，但是对于学生来讲却一直是一个难点，究其原因，学生更愿意去记住一个固定的解题技巧，进而慢慢地就形成了思维定势.基本不等式解题的关键还是要关注“一正二定三相等”的条件，学生要有比较强的审题意识和目标意识，结合具体的题型，选择最合适的“1”的巧用方法.

参考文献：

［1］刘长柏.基本不等式运用中“1”的妙用[J].中学生数理化（高二数学），2020（11）：7-8.

[2] 陈启南.灵活变通 巧解不等式——例谈“1”在基本不等式中的“七个巧用”[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（23）：4-6.

[3] 李素文.例析基本不等式中“1”的代换及应用[J].中学生数理化（高考数学），2018（03）：21-22.