数随形变 变则归一

谢晓华

华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形的结合可以帮助我们直观地解决很多数学问题。不仅如此，在几何问题中，图形中的“位置关系”决定着“数量关系”。在圆这一章中，点、线、角、弧与圆位置关系的情况比较多，我们稍不注意，就会导致漏解、错解。

类型一 点与圆的位置关系

例1 点M是非⊙O上的一点，若点M到⊙O上的点的最小距离是4，最大距离是8，则⊙O的半径是。

【错解】6。

【错因分析】点和圆的位置关系有三种：点在圆内、圆外、圆上。此处忽略了点在圆外这种位置关系，导致漏解。

【正解】本题有如下两种情况：

如图1，当点M在⊙O内，连接OM，过点M作直径AB，则AM=8，BM=4。

∵⊙O的直径AB=AM+BM=8+4=12，

∴⊙O的半径=[12]AB=[12]×12=6。

如图2，当点M在⊙O外时，同理可得⊙O的半径=[12]AB=[12]×（8-4）=2。

综上，⊙O的半径是6或2。

【总结】处理点与圆的相关问题时，从“位置关系”来看有三种情况：点在圆内、圆外、圆上；从“数量关系”来看，点在圆内、圆外这两种情况对应圆的半径分别为：点到圆上距离的最大值与最小值之和的一半、点到圆上距离的最大值与最小值之差的一半。

类型二 圆心与圆内两条平行弦的位置关系

例2 ⊙O中两条平行的弦长分别为AB=6和CD=8，圆的半径为5，则两条平行弦AB和CD之间的距离为。

【错解】1。

【错因分析】圆心与圆中的两条平行弦有两种位置关系：圆心在两条平行线之间，圆心在两条平行线外。此处忽略了圆心在两条平行线之间的情况，导致漏解。

【正解】本题有如下两种情况：

如图3，当圆心在两条平行线之间时，过点O作OM⊥AB交AB于点M，延长MO交CD于点N，连接OB、OD。

∵OM⊥AB，

∴MA=MB=[12]AB=3。

在Rt△BOM中，∠BMO=90°，

∴OM=[OB2-BM2]=[52-32]=4。

又∵∠OMB=90°，AB∥CD，

∴∠OMB+∠OND=180°。

∴∠OND=90°。

∴DN=CN=[12]CD=4。

在Rt△DON中，∠OND=90°，

∴ON=[OD2-DN2]=[52-42]=3。

∴MN=OM+ON=4+3=7。

如图4，当圆心在两条平行弦AB和CD外时，同理可得两条平行弦间的距离为1。

综上，两条平行弦AB和CD之间的距离为7或1。

【总结】在圆中，圆心与圆内一组平行弦的关系，从“位置关系”来看有两种情况：圆心在两条平行线之间，圆心在两条平行线外；从“数量关系”来看，平行弦之间的距离等于圆心到两条弦之间的距离和或差。

类型三 圆心与圆周角的位置关系

例3 ⊙O的半径为2，弦AB=[22]，AC=[23]，则∠BAC的度数为。

【错解】15°。

【错因分析】圆心与圆周角的位置关系有两种：圆心在圆周角内，圆心在圆周角外。此处忽略了圆心在圆周角内的情况，导致了漏解。

【正解】本题有如下两种情况：

如图5，当圆心在圆周角∠CAB内部时，过点O作OM⊥AB、ON⊥AC，分别交AB、AC于点M、N，连接OA。

∵OM⊥AB，∴MA=MB=[12]AB=[2]。

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，

∴OM=[OA2-AM2]=[22-2]=[2]。

∴△AOM为等腰直角三角形。

∴∠AOM=∠OAB=45°。

同理，在Rt△AON中，NA=[3]，OA=2，ON=1，∴∠OAN=30°。

∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=45°+30°=75°。

如圖6，当圆心在圆周角∠CAB外部时，同理可得∠BAC=∠OAB-∠OAC=45°-30°=15°。

综上，∠BAC=75°或15°。

【总结】在圆中，对于圆心与圆周角，从“位置关系”来看有两种：圆心在圆周角内，圆心在圆周角外；从“数量关系”来看，∠BAC的度数分别为圆周角顶点和圆心的连线与圆周角的两边构成的两个角的和与差。

类型四 动点与弧的位置关系

例4 点P为⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上与A、B不重合的点，若∠P=30°，则∠C的度数为 。

【错解】75°。

【错因分析】点在圆上时，点与圆弧有两种位置关系：点在优弧上，点在劣弧上。此处忽略了点在劣弧上的情况，导致漏解。

【正解】本题有如下两种情况：

如图7，当点C在优弧[AB]上时，连接OA、OB。

∵PA与⊙O相切于A点，OA是⊙O的半径，∴∠OAP=90°。

同理，∠OBP=90°。

在四边形AOBP中，∠OAP+∠P+∠OBP+∠AOB=360°。

∴∠AOB=360°-∠OAP-∠P-∠OBP=150°。

∴∠C=[12]∠AOB=75°。

如图8，当点C在劣弧[AB]上时。

∵四边形ACBC'是⊙O的内接四边形，

∴∠C+∠C'=180°。∴∠C'=105°。

综上，∠C=75°或105°。

【总结】在圆中，对于点与圆弧，从“位置关系”来看有两种情况：点在优弧上，点在劣弧上；从“数量关系”来看，这两种情况下的两个角互为补角。同学们可以利用切线、圆周角定理、圆内接四边形求解。

“数”与“形”是数学知识的核心构成要素，尤其是在几何的学习过程中，数量关系和位置关系是数与形关系的直接体现。在圆这一章的学习过程中，我们要考虑点、线、角、弧在图形中的不同位置。位置关系不同，数量关系也会发生变化，更深入地分析可以发现：不同位置关系下对应的数量关系之间也存在着对应关系。也正是位置的不确定，我们才需要分类讨论出不同的数量关系。

（作者单位：江苏省南京市致远初级中学）