学科育人视角下“做数学”的课堂实践与反思

卞焕清 吕小兵 朱金霞

【摘 要】平铺直叙的教学方式忽略了数学知识生成的过程，往往让学生对数学产生了疏离感，失去学习数学的兴趣，阻碍了对数学知识整体性的认识，这样的教学方式亟须改进。文章以折纸活动为载体，设置系列问题链，探讨“做数学”教学理念在初中数学教学实践的应用。“做数学”视角下的课堂问题链的建构应凸显情境的真实性，紧扣学生的主体性，聚焦问题的整体性，挖掘学科的育人性，让学生在具身的学习体验中体会知识的自然生长，发展学生的数学核心素养。

【关键词】“做数学”；关键能力；问题链；学科育人

初中阶段对于图形变化主要研究轴对称、旋转和翻折，和小学阶段相比，对学生的几何直观、空间观念和推理能力提出了更高要求，而传统教学方式高度抽象、注重推理、片段性强的特征容易使学生失去数学学习的兴趣。随着基础教育改革的不断深入，很多学者及一线教师不断致力于传统教学方式的改进，以期解决传统教学模式的问题。

“做数学”源于杜威的“做中学”思想［1］，强调从真实的生活情境出发，发现生活中的数学问题，通过课堂上亲身体验，自主地探索数学知识，从而发展数学学科能力。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）也指出，数学学科教学应该注重启发式的应用，激发学生学习兴趣，引导学生在真实的情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、推理等方法分析问题和解决问题［2］。笔者从“做数学”的视角入手，依据苏科版九年级义务教育教科书数学实验手册中“折纸与特殊角的三角函数”内容，通过系列环节的设置，引导学生通过操作体验，发现折纸中的数学，探究通过折纸能够应用已经学习的数学知识解决数学问题。

一、教学目标解析

折纸活动中主要蕴含三种基本运动方式之一的轴对称，对于图形的运动，《课程标准》对各学段提出了具体要求（见表1）［2］。

从《课程标准》的要求中不难发现，对于图形运动的研究应从真实情境出发，用数学的眼光审视生活现象，从而发现问题、提出问题、分析问题并解决问题。初中阶段研究图形运动关注的不仅是能够描述图形的位置和运动，认识图形运动的变化特征，还需要关注学生的几何直观、空间观念和数学推理能力的发展。

在实际生活中，学生对折纸活动较为熟悉，能够折出一些基本图形，有一定活动经验基础。从知识储备上看，九年级的学生学习了平移、旋转和轴对称相关知识，能综合应用轴对称、直角三角形的性质和锐角三角函数等知识，其识图能力、空间想象能力已基本形成。从教学意义上看，利用折纸活动能帮助学生应用所学知识，架构知识模块之间的桥梁，培养学生直观想象能力和逻辑推理能力，发展学生数学思维，有助于实现数学教学的育人价值。

二、“做数学”理解下的“折特殊角”教学实践

（一）从生活情境出发，发现数学知识的真实性

传统教学方式强调数学的抽象性，疏远了学生与学生、学生与教师、学生与数学之间的距离，难以培养学生的学习兴趣。因此，“做数学”应从生活情境出发，引导学生关注生活实际，体会数学与生活的紧密联系。

【片段1】动手操作，发现折纸活动的数学维度

问题1 同学们，相信大家都会折纸，你能折出哪些奇妙的形状呢？其中蕴含了哪些数学知识呢？

设计意图：数学源于生活，而数学问题往往源于真实的生活情境。问题1引导学生从生活中熟悉的折纸中发现数学，让学生用数学的眼光审视生活，从自身生活经验出发思考数学问题，建立数学和生活实际的联系。

（二）以亲身体验为主，体验数学知识的生长性

在义务教育阶段，传统的教学方式较容易使得日常教学和学生生活经验产生冲突，限制了学生用自己的方式体验、组织数学知识的机会。因此，泛在学习视域下的“做数学”应让学生动手动脑，培养学生良好的探究习惯，让学生体会数学知识生长的过程。

【片段2】深入思考，探究翻折运动中的特殊角度

问题2 同学们，通过分析我们发现折纸本质上就是数学中的轴对称，其中蕴含了丰富的线段与角的知识。你能通过折纸获得特殊角吗？

追问1：我们能直观地获得哪个特殊角？

追问2：通过翻折得到45°角以后，我们还能获得哪些角？

设计意图：该环节问题的设置让学生梳理折纸活动的研究目标，明确研究路径，即我们要研究的是如何通过折纸获取30°、45°和60°这些特殊角，从这些特殊角获得哪些结论。

在课堂实践过程中，大部分学生会直接将正方形纸片沿着对角线对折获得45°（如图1），即“由角到角”；也有少部分学生利用直角三角形中锐角三角函数获得，如在Rt△ABD中，tan∠ABD=1，那么∠ABD=45°，即“由边到角”。在课堂中，教师要引导学生用两种不同的数学眼光来审视问题，发现从哪些视角探究获得特殊角，在获取45°角之后，还能获得哪些角度（如图2），继而跳出30°、45°和60°这些特殊角的桎梏，提升学生数学思维的延续性。

【片段3】发展思维，剖析特殊角度的获取路径

问题3 同学们，我们可以从哪些角度出发获得30°角？

追问 你能想出几种折30°角的方法？

设计意图：学科教学的根本价值在于引导学生学会思考、积累学习经验，折30°角（或者60°角）是本节课的重点也是难点，其探究的过程充分体现了学生对“从角到角”和“从边到角”两个思路的理解和应用。如果学生在实际操作过程中遇到困难，教师应适当引导学生思考：30°或者60°能够转化为哪些已知含有特殊角的图形？也可以考虑是否能够折出直角三角形，利用邊角关系来解决问题。经过探究，学生发现30°角的折法远不止以下几种折法：如图3中∠DC[′]F=30°，图4中∠EA[′]P=30°，图5中∠CB[′]F=30°。因此，发散性的问题能进一步激发学生的探究欲望，让学生能够主动利用课后时间动手探究多种解决方法。

【片段4】认识本质，整合折纸问题的边角关系

问题4 利用正方形纸片，请你折一个角θ，并满足tanθ=[12]。

追问 你还能提出哪些问题？

设计意图：在经历了一系列特殊角的折叠后，教学的内容不能仅仅局限于特殊角。该教学环节旨在引导学生从特殊走向一般，依据锐角三角函数和该锐角一一对应的关系来获取更多的角。同时，教师在引导学生思考能否折出角θ，使得tanθ=[nm]，其中m，n是正整数；或者tanθ=m，其中m是正实数。在分析如何解决这个问题的过程中，实际上只需要获得一边的等分点，这样就可以将问题转化为熟悉的等分点问题，实现边角关系的有机结合，从而从一个问题入手，提出一系列问题；从解决一个问题出发，认识问题的本质，形成解决问题的一般方法。

（三）以能力发展为指引，挖掘数学学科的育人价值

学科教学的过程其实就是帮助学生“悟学”的过程，也是引导学生体会知识发生的过程。而“悟学”的过程往往会充满困惑和挫折，正是经历了曲折的探索过程，学生才能形成解决问题的策略和方法，体会学习价值，领悟学科魅力，发展学科核心素养。

【片段5】挖掘历史，彰显数学学科的文化魅力

问题5 你能否折出10°角呢？

这个问题其实也是古希腊三大尺规作图难题之一的三等分任意角问题，如今数学家证明了这个三等分任意角不能用尺规解决，但折纸能解决这个问题。

设计意图：数学史有着丰富的内涵，生动有趣的故事、穿越时空的智慧、贴近生活的问题等［3］，可以充分调动学生学习的主动性，培养良好的学科情感和态度。古希腊三大尺规作图难题的引入不仅能让学生充分体会到古代数学家对数学问题的不懈探究和了解数学知识演变的悠久历史，还让学生产生进一步探究尺规作图为何不能三等分任意角和折纸为何能够三等分任意角，以及如何操作、如何证明操作的正确性的欲望。

【片段6】归纳总结，梳理问题探究的一般策略

问题6 请你来谈一谈我们是如何研究折特殊角的。

设计意图：如何折特殊角只是本节课要研究的知识目标，数学课堂也不能局限于知识的获取，如何研究折特殊角才是本节课的价值所在。该问题的设置旨在引导学生回顾本节课解决问题的一般路径，归纳探索问题的一般思路，再一次激发学生的学科思维，让学生学会思考、形成习惯、积累素养，从而充分挖掘数学学科的育人价值。

三、教学感悟

折特殊角是“做数学”教学活动的一次有效尝试，本节课从生活实际情境出发，发现折纸中的数学，探索如何利用折纸获得特殊角，提出并解决一系列问题，其价值建立在丰富的数学思维活动之中。当然，抛开数学思维，如果“做数学”只定位于程序性的机械操作，也就失去了数学学科味道，缺乏数学教学价值。因此，笔者认为育人视角下的“做数学”教学活动应从以下几个方面进行建构。

（一）关联情境，落实生活数学的有机结合

数学源于生活，反之数学也能有效地描述自然界现象和社会现象。因此，“做数学”的教学活动应关联生活情境，引导学生用数学的眼光观察生活现象，落实生活实际和数学学科的有机结合。折纸活动用数学的眼光看是轴对称运动，但折纸几何学在医疗和航空航天领域等也被广泛应用。因此，折纸和生活的紧密联系不仅能提升学生学习的兴趣，还能激发学生探究折纸中数学奥秘的积极性，提高折纸活动的深层价值，形成数学学习的闭环（如图6）。

（二）深度思考，挖掘问题本质的深刻价值

“做数学”教学活动往往容易陷入数学思维含金量不高、操作价值利用率不大、数学本质迁移性不强等困境。因此，“做数学”需要提升数学活动的思维含金量，深挖问题的深刻价值。“折特殊角”由两条思维线索，即“由角到角”和“由边到角”。“由角到角”借助翻折得到相等的角，继而利用多次翻折可以解决高维度的三等分任意角问题；“由边到角”借助锐角三角函数解决“折角θ，满足tanθ=m，其中m是正实数”的问题。实际上，“由边到角”的问题只需要获取正方形纸片的“m分割点”即可，也就是说折纸问题实际上就是研究纸片翻折前后角与角，线段与角之间的关系，实现了对边角关系探究的有机统一（如图7）。

（三）高位理解，助力思维品质的稳步提升

数学教学的价值不是解题能力的提升，而是在于帮助学生学会思维、形成习惯、发展素养，也就是帮助学生获取能够解决实际问题的基本技能、基本思想、基本经验和基本素质。本节课要传授给学生的不仅仅是如何折特殊角，而是如何利用现有的知识经验来研究“折特殊角”问题，如何挖掘“折特殊角”的数学本质，进而归纳、总结出解决问题的一般路径，思索还能提出并解决哪些问题，进而稳步提升学生的思维品质。

总的来说，“做数学”理念下的“折特殊角”教学活动能够引导学生发现生活中的数学，更好地激发学生学习兴趣，动手动脑的教学样态让学生通过动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，在一定程度上能够影响学生对数学认知结构的建构，帮助学生更好地理解数学，培养学生的数学品质及发现和创造的能力，真正实现数学学科的育人价值。

参考文献：

［1］董林伟，石树伟.做数学：学科育人方式的实践创新［J］.数学通报，2021（4）：22-24，62.

［2］中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］汪晓勤.HPM：数学史与数学教育［M］.北京：科学出版社，2017.

（责任编辑：陆顺演）