基于高中数学核心素养的错题讲评课之探索与实践

摘 要：错题讲评课是一种重要的课型，教师在讲评时，不能满足于一题一讲，也不应止步于形式上的一题多解，一题多变，而应该抓住机会，适时引导，还主体于学生，鼓励他们独立思考，类比细究，拓展延伸，归纳感悟.

关键词：错题讲评；思维品质；细究感悟

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）30-0017-04

收稿日期：2022-07-25

作者简介：施浩妹（1980.7-），女，浙江省杭州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

如何在数学课堂教学中落实数学核心素养的培养，一直是一线教师的重要课题.错题讲评课是一种重要的课型，它不仅是知识掌握的一个必要环节，可以帮助学生找到思维盲区，纠正错误，拓展思维，开发创造性等，也可以帮助老师弥补新授课中的教学不足，同时，也能很好地提升逻辑推理、数学运算、分析问题、归纳概括等能力.但我们经常听到教师会抱怨，讲评过的错题，为何学生又错？自认为讲清楚了，其实学生还没有听懂；自认为简单的，学生觉得难；自己滔滔不绝40分钟，口干舌燥，学生却掌握甚少；学生课堂听懂了，课下又忘了......很是无奈.不能调动学生积极性，不能让学生思维处于活跃状态下的错题讲评课，仅有老师一人滔滔不绝的分析错因，讲解正确思路，哪怕老师讲得口干舌燥，学生也未必买账，效果必然是低下的.那如何能让讲评课收到好的效果呢？现笔者结合自己的教学实践，从四个方面对错题讲评方式展开探究与思考.

1 由此及彼，类比讲评

类比方法是一种重要的数学思维方法，它可以使知识条理化，把复杂的问题简单化，它能帮助学生融会贯通所学的知识，提高学生分析问题、解决问题的能力，同时能较好地培养学生的逻辑思维能力和创新能力.

题1 已知△ABC为等边三角形，AB=2.设点P，Q满足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，则λ=；

题2 在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF=2，则

AE·BF的值是.

评注 题1为上完新授课2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义后作业本中的题目，由于当时仅讲了数量积的定义，所以在作业讲评时仅讲了“基底法”，如何选基底，如何运算.题2为上完新授课2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（二）后作业本中的题目，由于此课时是数量积的坐标表示，所以“坐标法”必然是要讲评的.但作为一名教师，如果仅仅会当下学啥就只讲啥，那就太片面了，不利于学生数学知识的系统提升.笔者在讲评课时，遇到同类、相似问题就很喜欢让学生往前翻翻作业本，比如讲到题2时，等学生领会“坐标法”后，笔者就让学生翻到作业本57页，让学生比对这两道题，不说多余的话，就给学生充足的时间去比对，去思考，去动手演算，去感悟.结果学生自己就能发现原来这两道题是同一种题，题1也可以利用正三角形图形本身的对称性建系，从而用“坐标法”解决，题2中也可以选择模长、夹角均已知的BA，BC两向量为基底，从而用“基底法”解决.代数法（基底法，坐标法）是解决向量问题的重要方法，通过这样的类比讲评，重点突出，从老师引导学生类比，到学生自主类比，从而感悟总结，学生思路更清晰，理解更到位，知识更成系统，学生的思维能力也得到了很好的提升.

题3 若函数f（x）=log₂（x²+2ax-a）的定义域为R，则实数a的取值范围为；

题4 若函数f（x）=log₂（x²+2ax-a）的值域为R，则实数a的取值范圍为.

评注 题3与题4学生常常将“定义域为R、值域为R”搞混，只知道时而△<0，时而△≥0，但是弄不清楚何时用哪个.如果老师讲评时，能将这种“形同而质不同”的题目放在一起进行类比讲解，必能激发学生的好奇心、探究欲望，变被动思维为主动自觉思维，从而引发学生仔细掂量，认真剖析，真正从问题本质去挖掘，得到的学习效果也就自然不一样了.题3是定义域为R，即不管x取何值，对应的整个真数都要大于0，即转化为x²+2ax-a>0恒成立，所以△<0.题4是值域为R，也就是要确保整个真数能取遍一切正数，一个值也不能落下，那么只能y=x²+2ax-a这个二次函数与x轴有交点了，所以△≥0.学生做错题目不可怕，可怕的是学生仅停留在简单的记忆模仿上，时间一长必然忘记.通过类比讲评，让学生悟透问题本质，才能从根源上消除再次犯错的隐患，类比讲评很好地培养了学生的差异性思维，提升了学生的类比分析能力，对提升数学素养大有裨益！

2 借题发挥，拓展讲评

拓展讲评就是俗话说的在原有题目的基础上，增加新的东西，延展加深.老师在讲评作业本、试卷中的错题时，不要“就题讲题”，我们可以借题发挥，针对错题进行一题细研、一题多法、一题多变，它实现的不仅仅是表面上数量的变化，而是质量的变化.拓展讲评可以拓展学生思维的广度，挖掘思维的深度，提升思维的高度.

题5 已知向量a=（2，λ），b=（3，-4），且

a·b的夹角为钝角，则λ的取值范围为.

题6 已知角A=60°，a=3，求△ABC的周长的取值范围.

题7 已知数列a_n，a₁=1，a_n+1=3a_n+2，求数列的通项.

评注 题5不少学生都做出答案λ>32来了，少数学生错的题目是不是就不用讲评了呢？非也！要知道有时学生答案对，思维未必就严密.笔者抛出变式：如果a=（-2，λ），b=（3，-4），答案又如何？果然很多同学只考虑数量积小于0，而忽略cosθ>-1这个条件，出来错误答案λ>-32.笔者不动声色，在黑板上写下答案为λ>-32且λ≠83，大家觉得诧异，勾起了好奇心，开始探究讨论，发现其实应该满足-1

题6是三角函数章节检测中某题的第二问，少数做对的学生普遍是由余弦定理得b²+c²-9=2bccosA=bc，进而使用基本不等式得到3

题7为初学等比数列后的常见题目，在递推式的两边同时加1，得到a_n+1+1=3a_n+3=3（a_n+1），构造出一个公比为3，首项为2的新等比数列a_n+1问题就迎刃而解了.但是如果老师仅仅是就题讲题，泛泛而谈，尤其是后期复习阶段，学生拥有一定的构造能力时，更不能单讲题7，老师应抓住此题，借题发挥，进行一题多变，将递推式变为变式1：a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，变式2：a_n+1=2a_n+3ⁿ⁺¹，让学生观察变式1，变式2与原题的不一样之处，结合学生已经会处理a_n+1=Aa_n+B（B为常数）型的题目了，引导学生如何转化不熟悉题目为熟悉题目？学生很容易联想到将3ⁿ⁺¹位置变成常数就可以了，如何变为常数呢？只需两边同除3ⁿ⁺¹即可，后面就一切顺理成章了.借题发挥没有结束，继续抛出变式3：a_n+1=3a_n-4n+2，又将如何呢？似乎不能变成常数来处理了，老师可以再次引导学生观察原题a_n+1=Aa_n+B（B为常数）型，我们是如何找到一个新的等比數列的？本质是把常数B拆分了，使得左右两边刚好a_n+1+C=A（a_n+C），从而构成了新的等比数列.在此引导下，学生就会把握本质，将“-4n+2”进行拆分，找到a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），从而构造出新等比数列.借题发挥结束了吗？没有！变式2、变式3是否也可以直接拆分3ⁿ⁺¹呢？事实上变式3可以拆分为a_n+1-3·3ⁿ⁺¹=2（a_n-3·3ⁿ），这样就直接找到等比数列a_n-3·3ⁿ，而不需要变为a_n+1=Aa_n+B（B为常数）型再去构造等比了.

3 多题一法，归纳讲评

在学生的错题中存在一些“形不同而质同”的好题，它可以事半功倍地提升学生的思维品质、数学素养，但是光有好题不够，需要有一双发现它的眼睛，如果针对这些“形不同而质同”的题目，老师只是给一个正确解法，不去深究，那么题目依然是散的，学生听完后领悟不深刻，下次出错率依然会很高.

题8 已知tanα=-13，则sinα+2cosα5cosα-sinα=；2sinαcosα+cos²α=.

题9 已知等差数列a_n满足：a₄>0，a₅<0，数列的前n项和为S_n，则S₅S₄的a·（a+2b）取值范围是；

题10 平面向量a，b的夹角为60°，且a-b=1，则的最大值为；

评注 题8是在我们学习完“同角三角函数的基本关系”后必能碰到的题型，称之为“齐化切”思想，利用sinαcosα=tanα，分子分母同除cosα后，问题中的正弦、余弦转化为正切、常数，从而求值.第二空由于不是分式，引导学生利用平方关系sin²α+cos²α=1将它转化为分式后就又可以齐化切了.学生初学时觉得很赞，方法很妙，名字“齐化切”也朗朗上口.题9初看一道数列题，抓住首项与公差，转化为不等式组a₁+3d>0a₁+4d<0a₁>0，d<0，求5a₁+10d4a₁+6d的范围，然后学生的思路就终止了.题10是2020学年第一学期杭州市高三统测的填空题16题，学生会把条件平方得到a²+b²-ab=1，也会把目标变为求a²+ab的最大值，但是怎么求，没想法了.为何题8学生耳熟能详，看到都会做，但是面对题9，题10，却没了方向？问题是不是出现在我们老师讲错题时仅仅做到“就题讲题”，而没有很好地去引导学生总结归纳呢？所以学生看到的都是分散的，不系统的.如果我们老师平时讲评这些“形不同而质同”的错题时，能多多引导学生去观察、感悟、就不难归纳出这里是多题一法，就会发现他们本质是一样的，都是处理二元问题，那么只需要同“齐化切”一样，化二元问题为一元问题即可.题9中只需要分子分母同除d，令a₁d=t，则5a₁+10d4a₁+6d=5t+104t+6=54+52·14t+6，而条件变为-42+ab=a²+aba²+b²-ab=t²+tt²-t+1，其中t=ab，二元函数的最值问题变为一元函数的最值问题.我们常说要针对学生的最近发展区实施教学，既然题8是学生耳熟能详的，那为何不引导学生去悟透呢？三角、数列、向量看似三个不一样的知识区块，虽形不同但质同，老师需要实施多题一法，引导学生归纳总结出通性通法，通过有限道题的探究去领悟解决无限道题的数学机智，真正提升学生分析问题，解决问题的能力.

4 角色互换，学生讲评

富兰克林曾说：告诉我，我会忘记，教给我，我可能记住，讓我参与，我才能学会.错题讲评的目的是对学生所学的知识进行查缺补漏，必须充分调动学生的积极性，让学生直接参与到课堂中来是最有效的方式.故可以采用学生讲评和教师讲评结合的方式，与教师讲评相比，学生的思维相通，通过学生间的语言交流也许更能让那些不会的同学豁然开朗，学生讲评可以使学生在讲评中相互启发，共同提高.

题 10 平面向量a，b的夹角为60°，且a-b=1，则a·（a+2b）的最大值为；

再看题10，笔者讲评时为了突出多题一法，所以是引导学生将二元问题转化为一元问题来处理的.讲评完后，立马有学生举手示意了，他们有不一样的想法.这时老师千万不要因为讲评整张卷子时间紧张，而错失一次让学生展示、成长的好机会，就该让他们畅所欲言，各抒己见.

学生1：我是建系做的.令a=（x，0），b=（y，3y），则由条件得到（x-y）²+3y²=1，再使用三角换元，令x-y=cosθ，3y=sinθ，则x=cosθ+sinθ3，y=sinθ3，代入则a·（a+2b）=x²+2xy=cos²θ+4sinθcosθ3+sin²θ=1+2sin2θ3，从而得解.

学生2：建系我也想到了，就是后面要三角换元我没有想到.

师：很好！学生1讲了我们处理向量问题的基本法（坐标法），又很好地帮助我们复习了三角换元，太值得了！

学生3：老师，我当时做的时候，看到问题是求最值，也想到用函数去处理了，但不是像你那样处理的.因为a²+b²-ab-1=0，用求根公式得到b=a±4-3a²2，因为求a²+ab最大值，所以取b=a+4-3a²2，这样目标函数中就只有a一元了，虽然后面解析式比较繁，但用导数，也把它求出来了.

学生4：利用求根公式用a表示b，我也想到了，但是后面看着函数关系式太烦，不知道怎么求最值就放弃了，当时忘记用导数了.

师：不错！虽然计算看起来繁琐，但是把握住了函数思想的本质，条件给了二元a，b的关系式，必能用其中一个表示另一个，从而实现二元变一元.同时也提醒了大家，求最值的法宝导数.

错题讲评教学在数学教学中有着重要的地位，教师在讲评时，不能满足于一题一讲，也不应止步于形式上的一题多解，一题多变，而应该抓住机会，适时引导，还主体于学生，鼓励他们独立思考，类比细究，拓展延伸，归纳感悟.教师不只要交给学生数学知识、思想方法，更要教会学生如何思考，探寻从无到有，从有到优的思路，如此才能提升、优化学生的思维品质，这样的讲评课才是有效的.

参考文献：

[1] 唐俊涛.解题细节促能力 课堂教学育素养[J].中学教研（数学），2018（11）：8-11.

[2] 刘成龙，蒋红珠，叶薇.对一个二元最值问题的探究[J].中学教研（数学），2018（10）：19-23.

[3] 武瑞雪.摭谈数学试卷讲评课的“四要”“四不要”[J].中学数学教学，2017（5）：19-22.

[责任编辑：李 璟]