由一道圆锥曲线问题引发的思考

魏白 袁志勇

在进行圆锥曲线习题训练时，经常会遇到两直线的斜率之和或斜率之积为定值的问题．这类问题侧重于考查圆锥曲线的方程、直线的斜率、韦达定理等．解答这类问题的运算量较大，那么，如何简化运算，提升解题的效率呢？下面结合一个实例来进行探讨．

此题主要考查同学们的直观想象以及数学运算能力．如果采用常规方法求解，运算量较大，困难重重，因此需调整解题的思路：将直线的方程与双曲线的方程整合为关于x、y的二次齐次式，然后将其变形为关于直线斜率的一元二次方程，再根据韦达定理建立有关两直线的斜率之和或积的关系式．

此题和上一题如同“孪生兄弟”，都是圆锥曲线中兩直线的斜率之和为定值问题，都可采用齐次化法来求解，运用齐次化法求解这类问题的步骤为：（1）巧设直线的方程；（2）将直线和圆锥曲线的方程化为齐次式；（3）利用韦达定理建立关系式，

由于圆锥曲线均为二次式，因此，在求解圆锥曲线中直线的斜率问题时，将直线与圆锥曲线的方程整合为齐次式，通过齐次化，能将问题简化为关于直线斜率的一元二次方程的两根的问题，利用韦达定理即可解题，这样能获得化难为易、化繁为简的效果．

（作者单位：广西柳州铁一中学）